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SEMINARIO. UNIVERSITARIO. MODULO B. UTN FRBA. Con la función valor absoluto es posible definir una función llamada función signo, su definición es: f : ...
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SEMINARIO

UNIVERSITARIO

MODULO

B

Con la función valor absoluto es posible definir una función llamada función signo, su x definición es: f : R − {0} → R / f ( x) = su gráfica es la siguiente: x y 1

0.5

x -1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

La forma de la gráfica está justificada en lo siguiente: Si x > 0 entonces • •

x x

=

x −x x = 1, y si x < 0 entonces = = -1 x x x

El conjunto imagen es If = {-1,1}. No tiene intersección con los ejes.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f : R → R/ f(x) = ax2 + bx + c, con a ≠ 0

Su gráfica es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Vamos a considerar distintos casos. 1) a ≠ 0, b = c = 0, su fórmula es: f(x)= ax2 y

y

x

0

f(x)=ax2

f(x)=ax2

a>0

0

Es una función par

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a0,c 0, c > 0

c

x

0

es una función par

3) a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0, su fórmula es: f(x) = ax2 + bx Para determinar su intersección con el eje x se resuelve la ecuación: ax2 + bx = 0, cuyas b soluciones son: x = 0 ∨ x = − a En este caso la parábola corta el eje x en dos puntos distintos siendo uno de ellos el origen de coordenadas. y

f(xV)

y

−b a f(x)=ax2+bx

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b a

0

x

f(x)=ax2+bx a0 −

xV

0

x

eje de simetría

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B

MODULO

y

0

f(x)=ax2+bx

x

−b a

a0

La ecuación del eje de simetría es: xV = −

b y las coordenadas del vértice son: ( xV , f ( xV ) ) 2a

4) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, su fórmula es: f(x) = ax2 + bx + c Observe los siguientes gráficos; cuando la gráfica posee ceros, éstos se encuentran resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0, cuyas soluciones reales son: x1 =

− b − b 2 − 4ac 2a

y x2 =

− b + b 2 − 4ac 2a

f(x) = ax2 + bx + c

y

y

c

x1

0

a 0

x

x2

a>0

yv x 0

xv

no tiene ceros y

c

0

x1

a>0

x2

x

c>0

x1 y x2 son los ceros de la función

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MATEMATICA

FISICA

Unidad 5

Ejercicio:

Determine los ceros, eje de simetría, coordenadas del vértice y represente gráficamente las siguientes funciones cuadráticas definidas en R. 1 1) f(x) = − x2 2 2) f(x) = -x2 + 1 3) f(x) = x2 + 3 4) f(x) = -x2 + 2x 5) f(x) = x2 – x 6) f(x) = x2 – 3x + 2 7) f(x) = x2 – 2x + 2 Representamos alguna de las anteriores:

y

y

y = x2-3x+2

y = -x2+2x

5

x -1

4

1

3

2

3

-1

2 -2

1

x -1

1

2

3

-3

4

Problema: La altura h de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una función que depende del tiempo t, en segundos dada por la ecuación h(t) = -4.9 t2 + 58.8 t, donde h está en metros. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima y cuál es dicha altura? Solución: Considerando la función h(t) = -4.9 t2 + 58.8 t, su gráfica es la siguiente:

h(t) 175 150 125 100 75 50 25

t 2

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4

6

8

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MODULO

B

Determinamos las coordenadas del vértice de la parábola y éstas resultan: 58.8 b tV = − =− = 6 y h( tV ) = −4.9.6 2 + 58.8.6 = 176.4 2a − 9.8 Por lo tanto la altura máxima es de 176.4 metros y se la alcanza en 6 segundos.

FUNCIÓN POLINÓMICA f : R → R f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + ......... + a1 x + a 0 con ai ∈ R e i = 0,1,2,........, n se denomina función polinómica.

Son funciones polinómicas por ejemplo: 2 1) f : R → R/ f(x) = x – 3 3 2) f : R → R/ f(x) = 2x3 – 2x2 + 6x – 5 3) f : R → R/ f(x) = 5 4) f : R → R/ f(x) = (x - 1)2 Graficamos algunas funciones. y = (x+1)3

y = x3-1

y

y

1.5 0.5

x

1 -1

1

2

3

0.5 -0.5

x -2

-1

1

-1

2

-0.5

-1.5

-1

-2

y =x4

y = x3-x2 y

y 0.2

0.1

0.1 0.08

x -0.5

0.06

0.5

1

1.5

-0.1 0.04 -0.2 0.02

-0.3

x -1

-0.5

0.5

1

No le proponemos a Ud. que las dibuje porque se le dará el método a aplicar en el curso de Análisis Matemático I. 142

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