Al Paraguay que me adoptó,
NUEVOS METODOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA por Don Danny
11 de enero de 2015
[email protected]
Índice general Prólogo
i
Derecho de Autor
iii
Sobre el Autor
v
Capítulo 1. Introducción
1
1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.4.1 1.4.2
Fórmulas del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmulas de identidad Ecuación del segundo grado Resolución de un sistema de ecuaciones Los Determinantes Método del menor complementario para hallar los determinantes Método de Sarrus para hallar los determinantes
1
1 1 2 3
3 4
2
Principios de Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Fórmulas de la trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3
Los ángulos Unidades de medida de los ángulos Minutos y Segundos Clasi cación de los ángulos El triángulo El teorema de Tales La circunferencia
Ángulos positivos y negativos De nición de las funciones trigonométricas Representación general de las funciones Algunos valores de las funciones trigonométricas Identidades de base de la trigonometría
6
6 6 7 8 9 11 11 16 17 19 21 21
Índice general α 2
22
3.2.4
Identidades en función de
3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3
α Identidades en función de α 2
Seno, coseno y tangente de suma y diferencia Suma y diferencia de senos, cosenos π Identidades de funciones con α ± y α ± π 2 Funciones arcsin, arc cos, y arctan Los triángulos Notación de los triángulos Regla de los senos Regla de los cosenos
23 23 24 24 27 30 30 31 32
3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.5
Fórmulas de sen , y de cos 2 2 Regla de las tangentes Cálculo de la super cie de un triángulo Conclusión
33 35 36 37
4
A
A
Formulario de trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Capítulo 2. El punto
43
1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
Segmento rectilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
Sistema de coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 2.2 2.2.1 3.1 3.2 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.6
Segmento rectilíneo dirigido Sistema de coordenada lineal Distancia entre 2 puntos de segmento rectilíneo dirigido
Los cuadrantes Coordenadas del punto P Distancia entre 2 puntos en el sistema de coordenadas División de un segmento en una razón r dada Coordenadas del punto P qui divide un segmento según la razón r positiva Coordenadas del punto P qui divide un segmento según una razón r negativa Pendiente de una recta Coordenadas de la extremidad de un segmento de longitud L y de pendiente m
43 44 45 48 49 57 58 58 60 72 73
Índice general 3.7 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.8 3.8.1 3.8.2 3.9 3.9.1 3.9.2
4
Ángulo entre dos rectas 77 Condición para que dos rectas de pendiente m1 y m2 sean paralelas 79 Condición para que dos rectas sean perpendiculares 79 Mediatriz, lugar geométrico equidistante de 2 puntos 85 Transformación de los ejes coordenados 90 Traslación de los ejes coordenados 90 Rotación de los ejes coordenados 92 Rotación de punto 101 Rotación de punto al usar el origen de los ejes coordenados como pivote 101 Rotación de punto con centro de rotación O0(O0x , O0y ) 103
Formulario del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Capítulo 3. La Recta
109
1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2
De nición de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3
Ecuación general de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4
Ecuación normal de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 4.0.1 4.0.2 4.0.3 4.0.4 4.1 4.2
Las dos formas de ecuación de la recta Intersección de la recta con los ejes XY Recta paralela a los ejes de coordenadas XY Rectas paralelas y rectas perpendiculares La tercera forma de ecuación de la recta pasando por 2 puntos Ecuación simétrica de la recta Posiciones relativas de dos rectas Distancia de un punto a una recta
110 111 112 112 115 116 121 127
Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma normal 133 Recta bajo la forma normal pasando por un punto P (xP , yP ) 137 Ecuación en forma normal de la recta distante de d a un punto A y pasando por un punto P dado 145 Estudio del caso particular ∆x = d 151 Ecuación de la recta paralela distante de d a una recta R0 154 Ecuación de la bisectriz 157
Índice general 4.2.1 4.2.2 4.2.3
5
5.1 5.2 5.2.1 5.3
6
Fórmulas de ecuaciones de las bisectrices por el método de las rectas normales 161 ω1 + ω2 164 Estudio del termino tg 2 Ejemplos de cálculos de bisectrices donde una de la recta es de la forma Ax + C = 0 o By + C = 0 170
Algunas aplicaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . 178 Área del triángulo por los vértices Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante Condición para que 3 rectas sean concurrentes Baricentro del triángulo
178
181 182 186
Formulario de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Capítulo 4. La circunferencia
193
1
De nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2
Ecuación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2.1
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas
199
3
Familias de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4
La recta y la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.1 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3
Familia de curvas pasando por la intersección de 2 circunferencias 208 El eje radical 211 Estudio de las condiciones de intersección de dos circunferencias 212 Factor de intersección de dos circunferencias 213 Los puntos de intersección de dos circunferencias 216
La secante a la circunferencia 231 Coordenadas de los puntos de intersección de una recta con una circunferencia 231 Cálculo de las coordenadas de los extremos del diámetro con la circunferencia 234 Hallar las pendientes de las 2 rectas pasando por un punto P y cortando una circunferencia según una longitud de cuerda impuesta 236
Índice general 4.1.4 4.1.5 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.4 4.5
5
5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4
Determinar la recta de pendiente m dada que corta una circunferencia según una longitud de cuerda impuesta 239 Longitud de una cuerda 242 La tangente a la circunferencia 244 Ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un punto dado de contacto 245 Ecuación de la tangente de pendiente dada m a una circunferencia dada 247 Ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que pasa por un punto P exterior dado 252 Longitud de una tangente a la circunferencia 256 La recta normal en un punto P 257 Condición de intersección de una recta con la circunferencia. 258
Hallar la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Determinar la circunferencia inscrita a un triángulo 263 Determinar las coordenadas del centro de la circunferencia por las bisectrices 264 El método de las paralelas 267 Circunferencias perteneciendo a familia de circunferencias 269 Escribir la ecuación de la familia de las circunferencias pasando por un punto P (x1 , y1 ) 270 Escribir la ecuación de la familia de las circunferencias pasando por 2 puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) 271 Hallar la circunferencia pasando por un punto P y que pertenece a la familia de circunferencias Γ1 y Γ2 275 Hallar la ecuación de circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias Γ1 y Γ2 y cuyo el centro es sobre una recta dada de ecuación y = mx + b 277 Hallar las circunferencias tangentes a una recta y pasando por las intersecciones de dos circunferencias dadas 280 Hallar la ecuación de la circunferencia pasando por un punto P (xP , yP ) dado y por las intersecciones de una circunferencia Γ con una recta Re . 283 Hallar el radio de circunferencia de centro dado 286 Hallar el radio de una circunferencia conociendo las coordenadas del centro y una tangente 286 Hallar el radio de la circunferencia centrada en C cortada por una recta dada según una longitud de cuerda impuesta 287 Hallar el centro de la circunferencia de radio R dado 289
Índice general 5.4.1 5.5
Hallar el centro de la circunferencia de radio R y tangente a dos rectas 289 Hallar la circunferencia tangente a 2 rectas y pasando por un punto 295
6
La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . . . 299
7
Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.2 7.2.1 7.3 7.3.1 7.4
8
La cicloide Las Trocoides Cálculo de las coordenadas del punto M exterior a la circunferencia Cálculo de las coordenadas del punto N interior a la circunferencia Epicicloide Epicicloides por diferentes valores de N Hipocicloide Hipocicloides por diferentes valores de N Evolvente
1.1 1.2 1.2.1 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.4 1.4.1
306 308 310 312 313 315 316
Formulario de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . 318
Capítulo 5. La parábola
1
303 305
325
De nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Cuerda focal y lado recto Ecuación de la parábola Parábola de eje confundido con el eje Y Ecuación de parábola de vértice (xv , yv ) y con eje paralelo a un eje coordenado Ecuación de la parábola bajo la forma Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
326 327 329 331
332 338 340 341
La parábola de forma cuadrática y = ax + bx + c Hallar la ecuación de la parábola al aplicar la de nición Longitud del lado recto Hallar la parábola conociendo la directriz de la forma y = mx + b y las coordenadas del foco 342 Ecuación general de la parábola 344 La parábola inclinada y de vértice centrado al origen O(0, 0) 344 2
Índice general 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6 1.4.7
2
2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3
Ecuación general de parábola inclinada y de vértice de coordenadas (xv , yv ) 348 Coordenadas del vértice V , coordenadas del foco F , y directriz de una parábola de ecuación general 351 Resumen de las fórmulas para hallar las coordenadas del foco y la directriz de una parábola de ecuación general 352 Fórmula de la ecuación general de la parábola a partir de las coordenadas del vértice, de la pendiente tg θ del eje focal y de la distancia focal p 361 Hallar la ecuación de la parábola por θ = 0 o θ = 90◦ 364 Característica de la parábola 365
La tangente a la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 La tangente trazada de un punto perteneciendo a la parábola 366 2 Tangente a un punto de la parábola de forma y = 4px 366 Tangente a un punto de la parábola de forma x2 = 4py 367 La tangente a la parábola de pendiente m dada 370 Tangente de pendiente m a la parábola de forma y 2 = 4px 370 Tangente de pendiente m a la parábola de forma x2 = 4py 370 Tangente trazada a partir de un punto P (xP , yP ) exterior a una parábola 372 Tangente trazada a partir de un punto exterior a una parábola de forma y 2 = 4px 372 Tangente trazada a partir de un punto exterior a una parábola de forma x2 = 4py 375 Tangente a la parábola de vértice (xv , yv ) 379 Tangente a un punto P (x1 , y1 ) de la parábola de eje horizontal de forma Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 379 Tangente a un punto P (x1 , y1 ) de la parábola de eje vertical de forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0 380 La tangente a un punto de la parábola Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 382 Fórmula general de la pendiente de tangente trazada a partir de un punto P (xP , yP ) exterior 386 Pendiente de tangentes trazada a partir de P exterior a la parábola de eje horizontal. 386 Pendiente de tangentes trazada a partir de P exterior a la parábola de eje vertical. 389 Pendiente de tangentes trazada a partir de P exterior a la parábola de eje inclinado. 391
Índice general
3
Propiedades de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
4
La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 407
5
Formulario de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
3.0.4 4.1 4.1.1
Demostración Geométrica
401
Altura y Alcance Alcance de una bomba
408 410
Capítulo 6. La elipse
427
1
De nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
2
Ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6
3
3.1 3.1.1
Elipse de eje focal coincidiendo con el eje Y 430 La excentricidad de la elipse 431 Cálculo del lado recto de la elipse 431 El método de Trammel para construir una elipse 432 Directriz de una elipse 435 Ecuación de la elipse de centro (xC , yC ) con los ejes paralelos a los coordenados 438 Ecuación general de la elipse 441 Ecuación general de la elipse de la forma Ax2 + Bxy + Cy 2 + F =0 446 Calcular la pendiente del eje de la elipse 448 Ecuación general de la elipse de la forma Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 458 Resumen de las fórmulas principales de la elipse bajo forma Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 466 Ecuación de la elipse por las coordenadas del centro (xC , yC ), a, b , y θ 471 Característica de la ecuación de elipse Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, B 2 − 4AC 472
La tangente a la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 La tangente trazada a partir de un punto perteneciendo a la elipse476 La tangente a la elipse de la forma
x2 y 2 + 2 =1 a2 b
476
Índice general 3.1.2
Las tangentes trazadas a partir de un punto P exterior a la
3.1.3 3.1.4
elipse de forma 2 + 2 = 1 a b Las tangentes a la elipse de pendiente m Tangente a un punto T de la elipse de forma
3.1.5
x2
y2
478 483
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 484 2 2 Tangente a una elipse de forma Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 trazada a partir de P exterior 486
4
Propiedad de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
5
Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
6
Formulario de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
Capítulo 7. La hipérbola
515
1
De nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
2
La ecuación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 2.4 2.4.1 2.5 2.6 2.6.1 2.6.2
Discusión de la ecuación de la hipérbola Hipérbola de eje focal coincidiendo con el eje Y Excentricidad Cálculo del lado recto Ecuaciones de las directrices de la hipérbola Las asíntotas de la hipérbola Hipérbolas conjugadas Hipérbola equilátera a2
518 518 519 519 521 523 525 528
Hipérbola equilátera de la forma xy = 528 2 Ecuación de la hipérbola de centro (xC , yC ) con los ejes transverso y conjugado paralelos a los coordenados 530 Ecuación general de la hipérbola de forma Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 531 Ecuación general de la forma Eje transverso paralelo a X
(y − yC )2 (x − xC )2 − =1a2 b2
(x − xC )2 (y − yC )2 Ecuación general de la forma − =1a2 b2 Eje transverso paralelo a Y
531 535
Índice general 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.15.1
3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4
4
Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbolas de ecuaciones
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 539 2 2 Ecuación de hipérbola de forma Ax + Bxy + Cy + F = 0 540 Cálculos del ángulo de inclinación θ, y de las longitudes de los ejes transverso y conjugados a, y b 541 Signo del ángulo de inclinación θ 546 Longitudes de los ejes transverso y conjugado a, b por θ = ±45◦ 552 2 Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola de forma Ax + Bxy + Cy 2 + F = 0 557
Hallar la ecuación de una hipérbola centrada al origen a partir de tg θ, de a, y de b 560 Ecuación de la hipérbola por las ecuaciones de las asintotas y por la media distancia focal c 566 2 2 Ecuación general de la hipérbola bajo la forma Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 571 2 2 Resumen de las fórmulas bajo la forma Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 573 2 La hipérbola y la hipérbola conjugada bajo forma Ax + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 578 Ecuación general de la hipérbola a partir de las coordenadas del centro C , de tg θ, de a, y de b 580 Las asintotas de la hipérbola de ecuación Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F 581 Característica de la ecuación de hipérbola Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, B 2 − 4AC 592
Tangente a la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 x2
y2
La tangente a la hipérbola de la forma 2 − 2 = 1 a b Las tangentes trazadas a partir de un punto exterior a la x2
y2
hipérbola de forma 2 − 2 = 1 a b Las tangentes a la hipérbola de pendiente dada m Tangente a un punto de la hipérbola de forma
593 597 600
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 603 2 2 Tangente a una hipérbola de forma Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 trazada a partir de P exterior 607
Propiedad de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
Índice general 4.0.5
Hallar la ecuación de la hipérbola a partir de un punto P de la hipérbola y dos focos utilizando la propiedad de la tangente en este punto
627
5
Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
6
Formulario de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
Capítulo 8. Geogebra
641
1
De nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
2
Entrar las ecuaciones y los comandos . . . . . . . . . . . . 653
3
Documentación de Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . 661
1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 2.1 2.2 2.2.1 2.3 2.3.1 2.3.2
El programa de base El setup El punto, la recta y las curvas El punto La recta La circunferencia Las cónicas
Entrar unos puntos y ecuaciones Medida de longitud y de distancia Medida de distancia Medida de ángulos y de pendiente Medidas de ángulos Medidas de pendiente
642 642 646 646 648 650 651
654 657 657 659 659 660
Bibliografía
663
Índice alfabético
665
Prólogo Por haber encontrado muchas personas que tienen di cultades en las matemáticas, y especialmente en la Geometría Analítica , decidí de escribir un libro sobre el asunto. Como profesor de matemática - que nunca he enseñado en un colegio o a una escuela - pero que di muchas veces clases particulares. Los alumnos presentan todos y todas los mismos problemas de comprensión. Para preparar un examen o un concurso los alumnos memorizan o estudian las etapas para resolver un problema sin entenderlo. Este libro propone una solución etapa por etapa para que los estudiantes entienden la Geometría Analítica. En este libro se da un punto de vista diferente de lo que se ve en los libros de matemática tradicionales. Para empezar, la introducción refresca la mente de los estudiantes al presentar una pequeña revisión sobre las fórmulas de álgebra, de geometría, y de trigonométrica, indispensable para seguir el razonamiento del curso. Cada capítulo trata un asunto preciso : Comenzamos por el punto, la de nición de las coordenadas, el cálculo de la distancia entre 2 puntos etc. . . , y el mas importante es la aplicación de la materia vista por muchos ejemplos. Los asuntos tratados desarrollan y demuestran las fórmulas de las propiedades. En este libro el autor desarrolla unos puntos que no se encuentran en otros libros para que sirve de ejemplo de la manera de considerar un problema. Los capítulos sobre el punto, la recta y la circunferencia, por ejemplo tratan los problemas de manera mas práctica y mas sencilla. Un especial esfuerzo fue desarrollado para que los estudiantes aplican las fórmulas directamente sin pasar por etapas inútiles en la solución de un problema - Sabemos como el tiempo es precioso en un examen.
i
ii
PRÓLOGO
En el capítulo de la circunferencia, se trata además de la circunferencia, tangente etc. . . de la cicloide, asunto muy importante, una aplicación de las ecuaciones paramétricas. Cada aplicación o ejercicio es acompañado por un dibujo para que el estudiante puede entender y clari car la solución del problema.
Capítulo 4/Sección 8
8 Formulario de la circunferencia Ecuación ordinaria de la circunferencia de radio R, y centrada en (xC , yC )
(x − xC )2 + (y − yC )2 = R2
Ver (1.1) Pagina 193.
Ecuación de circunferencia de radio R centrada al origen x2 + y 2 = R2 . Ver (1.2), Pagina 194.
Ecuación general de la circunferencia de radio R, y centrada en (xC , yC )
D E x2 + y 2 + Dx + Ey + F con xC = − , e yC = − 2 2 1√ 2 2 D + E − 4F Ver (2.2), Pagina 197. R= 2
Familia de circunferencias :
(x2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 ) + k(x2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 con k 6= −1
Ver (3.1) Pagina 208.
El Eje Radical : x(D1 − D2 ) + y(E1 − E2 ) + F1 − F2 = 0 Ver 3.2 Pagina 211.
Factor de intersección : λ =
|xC ∆D + yC ∆E + ∆F | √ con eje radical R ∆2 D + ∆2 E
x∆D + y∆E + ∆F = 0, ∆D = D1 − D2 , ∆E = E1 − E2 , ∆F = F1 − F2
y
(xC , yC ) coordenadas del centro de una circunferencia. Ver (3.3) Pagina 214.
318
©
LA PIRATERÍA MATA LA ECONOMÍA - FOTOCOPIAR ES UN DELITO
NUEVOS MÉTODOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA por Don Danny
2014-2018
Capítulo 4/Sección 8 Coordenadas de los puntos A y B de intersección entre una circunferencia de radio R, y de centro (xC , yC ) y el eje radical perpendicular a la linea diametral de pendiente mdiam , se conoce tambien el factor de interseccion λ.
R xA = x C ± p 1 + m2diam R yA = yC ± p 1 + m2diam R xB = xC ± p 1 + m2diam R yB = yC ± p 1 + m2diam
√ λ ∓ mdiam 1 − λ2
λmdiam ±
√ 1 − λ2
√ λ ± mdiam 1 − λ2 λmdiam ∓
√
1 − λ2 . Ver (3.4) Pagina 218.
Coord Posición Circunferencia xA , x B
Izquierda
Fórmula √ R 2 λ ∓ m xC + p 1 − λ diam 1 + m2diam
yA , y B
√ R 2 λm ± yC + p 1 − λ diam 1 + m2diam
xA , x B
√ R 2 λ ± m xC − p 1 − λ diam 1 + m2diam
Derecha yA , y B
Cuadro 2.
√ R 2 yC − p λm ∓ 1 − λ diam 1 + m2diam
coordenadas de los puntos de intersección de dos circunferencias
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Capítulo 4/Sección 8 Formulas de las coordenadas del diámetro con la circunferencia : R xA , xB = xC ± p 1 + m2diam Rmdiam yA , yB = yC ± p . Ver (4.1) Pagina 234. 1 + m2diam
Pendientes de secantes pasando por P exterior a una circunferencia de radio R p m=
∆x∆y ± d ∆x2 + ∆y 2 − d2 ∆x2 − d2
con ∆x = xP − xC y ∆y = yP − yC y d distancia de la cuerda al centro C . Ver (4.2), Pagina 237.
Ecuación de la recta de pendiente m cortando una circunferencia según la longitud Lcuerda de cuerda s :
A 2 L2cuerda 2 [( ) + 1] R − B 4 s L2cuerda 2 2 y − mx − (yC − mxC ) = ± (m + 1) R − 4 con Lcuerda ≤ 2R. Ver (4.3) Pagina 240. Ax AxC +y− − yC = ± B B
Longitud Lcuerda del segmento de cuerda perteneciendo a la recta cortando una circunferencia de radio R y de centro (xC , yC ) p Lcuerda = 2 R2 − dist2centro .
Con distcentro siendo la distancia de la recta al centro de la circunferencia. Ver (4.4) Pagina 242
320
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Capítulo 4/Sección 8 Ecuación de la tangente a una circunferencia en el punto P (x1 , y1 ) x(xC − x1 ) + y(yC − y1 ) = xC x1 + yC y1 − (x21 + y12 ). Ver (4.5) Pagina 246.
Rectas de pendiente m tangentes a una circunferencia
√ A Ax + By = AxC + ByC ± R A2 + B 2 con m = − . B √ o y − mx = yC − mxC ± R 1 + m2 . Ver (4.6) Pagina 249.
Pendientes mR de las rectas pasando por P (xP , yP ) y tangentes a la circunferencia de radio R y de centro C(xC, yC ). p ∆x∆y ± R ∆x2 + ∆y 2 − R2 con ∆x = xP − xC y ∆y = yP − yC . mR = ∆x2 − R2
Ver (4.7) Pagina 253.
Longitud de una tangente a la circunferencia. Ltang = P T =
p (xP − xC )2 + (yP − yC )2 − R2 . Ver (4.8) Pagina 256.
Ecuación de la recta normal a la circunferencia de centro C(xC , yC ) pasando por P (x1 , y1 ). y(xC − x1 ) = x(yC − y1 ) + xC y1 − x1 yC . Ver (4.9) Pagina 257.
Ecuación de la familia de circunferencias pasando por P (x1 , y1 ) x2 + y 2 + Dx + Ey − Dx1 − Ey1 − x21 − y12 = 0. Ver (5.1), Pagina 270.
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Capítulo 4/Sección 8 Coe cientes de la familia de circunferencias pasando por P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
D(x1 − x2 ) + E(y1 − y2 ) = x22 + y22 − x21 − y12 −x21 − y12 − x1 D − y1 E = F . Resolver el sistema de ecuaciones en función de F .
Ver (5.2), Pagina 272.
Radio de la circunferencia cortada por una recta según una longitud de cuerda impuesta. Ecuación de la recta Ax + By + C = 0 r R=
L2cuerda (AxC + ByC + C)2 + . Ver (5.3) Pagina 288. 4 A2 + B 2
Coordenadas del punto P (x, y) de la cicloide. La cicloide es descrita por el punto P de una circunferencia de centro C y de radio R rodando sobre el eje X . θ en radian es el ángulo entre P C y la linea vertical pasando por P . Coordenadas del punto P : x = R(θ − sen θ), y = R(1 − cos θ).
Ver (7.1) Pagina 304.
Coordenadas del punto M exterior a la circunferencia de centro C de radio R y rodando sobre el eje X con Re siendo igual a M C > R Coordenadas del punto M : xM = Rθ − Re sen θ, yM = R − Re cos θ. Ver (7.2) Pagina 307.
Coordenadas del punto N interior a la circunferencia de centro C de radio R y rodando sobre el eje X con Ri siendo igual a N C < R Coordenadas del punto N : xN = Rθ − Ri sen θ, yN = R − Ri cos θ. Ver (7.3) Pagina 309. 322
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Capítulo 4/Sección 8 Coordenadas del punto P describiendo la epicicloide resultando de una circunferencia satélite Γs de radio Rs rodando al exterior de una circunferencia planetaria Γp de radio Rp ja. Coordenadas del punto P :
xP = (Rp + Rs ) cos α − Rs cos [α(1 + N )], yP = (Rp + Rs ) sen α − Rs sen [α(1 + N )] R con N = p . Ver (7.4), Pagina 311. Rs
Coordenadas del punto P describiendo la hipocicloide resultando de una circunferencia satélite Γs de radio Rs rodando al interior de una circunferencia planetaria Γp de radio Rp ja. Coordenadas del punto P :
xP = Rs [(N − 1) cos α + cos [α(N − 1)]], yP = Rs [(N − 1) sen α − sen [α(N − 1)]] R con N = p . Rs
Tomar N ≥ 3 para tener una curva hipocicloide valida. Ver (7.7) Pagina 314.
La extremidad P (x, y) de un hilo tenso describe una curva, llamada evolvente cuando se desenrolla de una circunferencia Γ ja de radio R. θ es el ángulo que hace el radio de la circunferencia con la horizontal. La circunferencia siendo la bobina. Coordenadas del punto P : xP = R(cos θ + θ sen θ), yP = R(sen θ − θ cos θ), con θ en radian Ver (7.8) Pagina 317.
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Capítulo 5/Sección 1 Ejemplo
1.9. Hallar las coordenadas del vértice y del foco de la parábola
16x2 − 24xy + 9y 2 + 380x + 340y − 400 = 0
A = 16, B = −24, C = 9 D = 380, E = 340, F = −400 p −(A − C) ± (A − C)2 + B 2 Pendiente del eje focal : tg θ = pB −(16 − 9) ± (16 − 9)2 + (−24)2 = −24 √ 2 −7 − 25 4 −7 ± 7 + 242 = = = −24 −24 3 tg θ > 0 por B < 0 D tg θ − E p Ordenada vértice en X0Y 0 : y0v = 2(A + C) 1 + tg2 θ 380 · 4 − 340 1520 − 3 · 340 3 s y0v = 2 = 2 · 25√25 4 2(16 + 9) 1 + 3 1520 − 1020 = =2 250 E tg θ + D p Distancia focal : p = − 4(A + C) 1 + tg2 θ 4 · 340 + 380 4 · 340 + 3 · 380 3 s √ = − p=− 2 4 · 25 25 4 4(16 + 9) 1 + 3 1360 + 1140 2500 =− =− = −5 100 · 5 500 F − (A + C)y02v Abscisa vértice en X0Y 0 : x0v = 4p(A + C) −400 − (16 + 9) · 22 −400 − 100 x0v = = =1 4 · (−5) · (16 + 9) −500
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Capítulo 5/Sección 1
Coordenadas del vértice, x0v − y0v tg θ xv = p 1 + tg2 θ 2·4 1− −5 3−8 3 =s 2 = √9 + 16 = 5 = −1 4 1+ 3 x0v tg θ + y0v yv = p 1 + tg2 θ 1·4 +2 4+6 10 =s 3 =√ = =2 2 5 16 + 9 4 1+ 3
Coordenadas del foco, p xf oco = xv + p 1 + tg2 θ −5 −5 · 3 = −1 + s 2 = −1 + √16 + 9 4 1+ 3 15 = −1 − 3 = −4 = −1 − 5 yf oco = yv + p
p tg θ
1 + tg2 θ −5 · 4 −20 = 2 + s 3 = 2 + √ 2 16 + 9 4 1+ 3 −20 =2+ = 2 − 4 = −2 5
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Capítulo 5/Sección 1
Figura 13.
Hallar las coordenadas del foco y del vértice de la pará-
bola 16x − 24xy + 9y 2 + 380x + 340y − 400 = 0 2
Coordenadas del vértice V (−1, 2), coordenadas del foco F (−4, −2), Distancia focal : p = −5
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Capítulo 6/Sección 2 Ejemplo 2.8. Hallar la ecuación de la elipse con a = 4 y b = 2, centrada al origen y de eje focal 2y = x. 1 La pendiente del eje focal es tg θ = .
2
La ecuación de la elipse en el sistema de coordenadas X0Y 0 inclinado tal que tg θ = es entonces
x02 y02 x02 y02 + = 1. + = a2 b2 16 4
1 2
Reemplazar los valores x0 e y0 de la ecuación respectivamente por x cos θ + y sen θ y −x sen θ + y cos θ donde 1 tg θ cos θ = p ,y sen θ = p 2 1 + tg θ 1 + tg2 θ 1 2 1 1 2 cos θ = s 2 = √5 ,y sen θ = s 2 = √5 1 1 1+ 1+ 2 2 2x + y x0 = x cos θ + y sen θ = √ 5 −x + 2y y0 = −x sen θ + y cos θ = √ 5 La ecuación de la elipse en el sistema de coordenada original XY es entonces x02 y02 + 2 = 1 con a = 4 y b = 2 a2 b Al reemplazar los valores, tenemos,
2 2 2x + y −x + 2y √ √ 5 5 + 16 4 2 2 2 4x + 4xy + y x − 4xy + 4y 2 + 5 · 16 5·4 4x2 + 4xy + y 2 4(x2 − 4xy + 4y 2 ) + 80 80 2 2 2 4x + 4xy + y + 4x − 16xy + 16y 2
o sea :
=1 =1 =1 = 80
Ecuación de la elipse : 8x2 − 12xy + 17y 2 = 80
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Capítulo 6/Sección 2
Presentemos un otro método al aplicar la de nición de la elipse : el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a los focos es una constante. La constante es 2a. Sean las coordenadas de los focos siendo (xF , yF ) y (−xF , −yF ). xF = c cos θ,
yF = c sen θ,
con
tg θ =
1 2
y a=4
1 1 2 cos θ = p =s =√ 2 5 1 + tg2 θ 1 1+ 2 1 tg θ 1 sen θ = p = s 2 = √ 2 5 1 + tg2 θ 1 1+ 2 √ √ √ c = a2 − b2 = 16 − 4 = 2 3 r r 3 3 xF = c cos θ = 4 , yF = c sen θ = 2 5 5
Al aplicar la de nición, p p (x − xF )2 + (y − yF )2 + (x + xF )2 + (y + yF )2 = 2a p (x − xF )2 + (y − yF )2 = 4a2 − 4a (x + xF )2 + (y + yF )2 + (x + xF )2 + (y + yF )2 p − xxF − yyF = a2 − a (x + xF )2 + (y + yF )2 p a (x + xF )2 + (y + yF )2 = xxF + yyF + a2 a2 [(x + xF )2 + (y + yF )2 ] = (xxF + yyF + a2 )2 a2 x2 − x2 x2F − 2xyxF yF + a2 y 2 − y 2 yF2 + a2 x2F + a2 yF2 − a4 = 0 x2 (a2 − x2F ) − 2xyxF yF + y 2 (a2 − yF2 ) + a2 x2F + a2 yF2 − a4 = 0 r ! r ! r !2 r !2 3 3 3 3 − 2xy 4 2 + y 2 42 − 2 + x2 42 − 4 5 5 5 5 r !2 r !2 3 3 + 42 · 2 − 44 = 0 + 42 · 4 5 5
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Capítulo 6/Sección 2
Al dividir por 4, tenemos
r !2 r ! r ! 3 3 3 x2 4 − 4 − 2xy 2 + y 2 4 − 5 5 5 r !2 r !2 3 3 +4· 4 +4· 2 − 43 = 0 5 5
r !2 3 + 5
x2 (20 − 12) − 12xy + y 2 (20 − 3) + 4 · 42 · 3 + 4 · 22 · 3 − 43 = 0 5 8x2 − 12xy + 17y 2 + 192 + 48 − 64 = 0 5 8x2 − 12xy + 17y 2 + 192 + 48 − 320 = 0
Ecuación de la elipse : 8x2 − 12xy + 17y 2 − 80 = 0 1
Se nota la pendiente del eje focal de la elipse que es tg θ = versus el signo del 2 coe ciente B que es negativo.
2.9. Hallar el ángulo de inclinación θ, las longitudes de los ejes mayor y menor a y b a partir de la ecuación 8x2 − 12xy + 17y 2 − 80 = 0, donde A = 8, B = −12, C = 17, y F = −80. Ejemplo
Cálculo del ángulo θ,
p (A − C)2 + B 2 tg θ = pB −(8 − 17) − (8 − 17)2 − (−12)2 1 = = −12 2 −(A − C) ±
positivo por B negativo
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Capítulo 7/Sección 3 La relación −2Ax2 − 2Bxy − 2Cy 2 − Dx − Ey puedes ser escrita como −2Ax2 − 2Bxy − 2Cy 2 − 2Dx + Dx − 2Ey + Ey + 2F − 2F que es igual a Dx + Ey + 2F , porque −2Ax2 − 2Bxy − 2Cy 2 − 2Dx − 2Ey − 2F = 0.
Tenemos entonces
Dx + Ey + 2F = −2AxxP − BxyP − BxP y − 2CyyP − DxP − EyP
que es
La ecuación de la cuerda de contactos de la tangente a la hipérbola (3.5)
x(2AxP + ByP + D) + y(2CyP + BxP + E) + DxP + EyP + 2F = 0
a resolver con la ecuación Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, para obtener las coordenadas de los puntos de contacto T1 y T2
3.7. Hallar las tangentes a la hipérbola −11x2 − 16xy + y 2 + 75 = 0 trazada a partir del punto P (1, −2). Ejemplo
A = −11, B = −16, C = 1 D = 0, E = 0, F = 75 xP = 1, yP = −2
Ecuación de la cuerda de contactos de las tangentes : x(2AxP + ByP + D) + y(2CyP + BxP + E) + DxP + EyP + 2F = 0 x(2 · −11 · 1 − 16 · −2) + y(2 · 1 · −2 − 16 · 1) + 2 · 75 = 0 (−22 + 32)x + (−4 − 16)y + 150 = 0 Al dividir por 10 : x − 2y + 15 = 0 o : x = 2y − 15
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Capítulo 7/Sección 3
Se reemplaza el valor de x dentro la ecuación de la hipérbola −11x2 −16xy+y 2 +75 = 0 −11(2y − 15)2 − 16xy + y 2 + 75 = 0 −11(4y 2 − 60y + 225) − 16y(2y − 15) + y 2 + 75 = 0
o sea
− 75y 2 + 900y − 2400 = 0 y= = = y1 = y2 =
√
4502 − 2400 · 75 −75 √ −450 ± 22500 −75 −450 ± 150 −75 −450 − 150 =8 −75 −450 + 150 =4 −75 −450 ±
Los valores de x1 y x2 son x1 = 2y1 − 15 = 2 · 8 − 15 = 16 − 15 = 1 x2 = 2y2 − 15 = 2 · 4 − 15 = 8 − 15 = −7
Las ecuaciones de las tangentes son y1 − yP (x − x1 ) x1 − xP 8 − (−2) y−8= (x − 1) da una pendiente igual a ∞ 1−1 x=1
y − y1 =
de donde
y2 − yP (x − x2 ) x2 − xP 4 − (−2) y−4= [x − (−7)] −7 − 1 6 y = 4 − (x + 7) 8 8y = 32 − 6x − 42 8y = −6x − 10
y − y2 =
Tangentes a la hipérbola −11x2 − 16xy + y 2 + 75 = 0 : x = 1, 8y = −6x − 10
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Capítulo 7/Sección 3
Figura 27.
Hallar las ecuaciones de las tangentes trazada del punto P
La fórmula (3.5) puede aplicarse a una hipérbola centrada al origen de la forma x2 y 2 − 2 = 1. a2 b
ordinaria
3.8. Hallar las tangentes a la hipérbola conjugada 4x2 − 5y 2 + 20 = 0. Las tangentes son trazadas a partir de P (−5, −2). Ecuación de la cuerda de contactos : Ejemplo
A = 4, B = 0, C = −5, E = 0, F = 20 xP = −5, yP = −2
D=0
Ecuación cuerda de contacto : x(2AxP + BxP + D) + y(2CyP + BxP + E) + DxP + EyP + 2F = 0
o sea : 610
x(2 · 4 · −5) + y(2 · −5 · −2) + 40 = 0 − 40x + 20y + 40 = 0 − 2x + y + 2 = 0 y = 2x − 2
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