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Unidad 2: Ecuaciones

UNIDAD 2 – Ecuaciones...................................................................................................... 25 Introducción ......................................................................................................................... 25 2.1.- Ecuaciones algebraicas ........................................................................................... 25 2.2.- Ecuación de primer grado con una incógnita ........................................................... 25 2.2.1.- Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita .......................... 26 2.3.- Ecuación de segundo grado con una incógnita ........................................................ 30 2.3.1.- Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita ...................... 31 2.3.2.- Tipos de soluciones de una ecuación cuadrática .............................................. 31 2.3.3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas ...................................................... 32 2.3.4.- Ecuaciones de segundo grado factorizadas ...................................................... 33 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 2 .............................................................................. 35 1.- Ecuaciones de primer grado ........................................................................................... 35 2.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado ....................................... 35 3.- Ecuaciones de segundo grado........................................................................................ 37 4.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado.................................... 38 5.- Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones...................... 39 6.- Problemas ...................................................................................................................... 39

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Unidad 2: Ecuaciones

UNIDAD 2 – Ecuaciones Introducción Es muy importante para un estudiante de Ingeniería adquirir la capacidad de resolver situaciones problemáticas. En la mayor parte de los casos las condiciones que se plantean en un problema pueden expresarse a través de ecuaciones. En esta Unidad se abordará la formulación y solución de ecuaciones lineales y de ecuaciones cuadráticas con una incógnita, convencidos de que su estudio es necesario para facilitar el aprendizaje de los temas que se tratan en las unidades que siguen. Las actividades propuestas han sido diseñadas para que el alumno pueda ejercitar y desarrollar habilidades para interpretar enunciados y modelar matemáticamente situaciones problemáticas sencillas, empleando las ecuaciones apropiadas.

2.1.- Ecuaciones algebraicas Las siguientes expresiones matemáticas reciben el nombre de ecuaciones. E1: x

3=2

E2:

x2 = 3

E3: x + y = 9

Una ecuación algebraica es una igualdad en la que aparecen números y letras ligados mediante operaciones algebraicas. Las letras cuyos valores son desconocidos se llaman incógnitas. Resolver una ecuación significa encontrar los valores de las incógnitas que verifican la igualdad. Estos valores constituyen lo que se llama conjunto solución de la ecuación. Por ejemplo, en el caso de E1:

x = 5 es solución, porque verifica la igualdad, es decir 5 3 = 2 .

2.2.- Ecuación de primer grado con una incógnita La propuesta consiste en plantear una ecuación para cada uno de los problemas siguientes y luego encontrar el conjunto solución. 1. En una competencia internacional, los nadadores deben nadar tres estilos. De la longitud total (medida en metros) que deben nadar para completar la

2. Un cable de 20 m de longitud debe cortarse en dos partes, de modo tal que una sea igual a

3 lo deben hacer en estilo 8 1 en croll y 700 m en mariposa, 3

la otra. ¿Cuál es la longitud del trozo más corto?

prueba:

espalda. ¿Cuántos metros recorren los nadadores que completan la prueba?

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2 de 3

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Problema 1 ¿Cómo escribir en lenguaje algebraico el enunciado del problema? Longitud recorrida en estilo mariposa.

+

Longitud recorrida en estilo croll.

+

700 m en

=

estilo espalda.

Longitud prueba

de

la

La longitud (en m) de la prueba es la incógnita y se designará con x . La longitud recorrida en estilo mariposa es

La longitud recorrida en estilo croll es

3 3 de x , es decir x. 8 8

1 1 de x , es decir x. 3 3

Por lo tanto, la ecuación que modela el problema 1 resulta:

3 1 x + x + 700 m = x 8 3 Dado que el mayor exponente al que está elevada la incógnita x es 1, la ecuación planteada recibe el nombre de ecuación de primer grado o ecuación lineal con una incógnita. Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión de la forma: a x + b = 0 con a, b R; a 0 2.2.1.- Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver una ecuación de este tipo, es decir, para encontrar el único valor de x que la satisface (llamado también raíz de la ecuación lineal), es necesario tener en cuenta las siguientes propiedades de la relación de igualdad: • Si se suma a ambos miembros de una igualdad una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente. • Si se multiplican ambos miembros de una igualdad por una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente. Se recuerda que se llaman ecuaciones equivalentes conjunto solución.

a aquellas que tienen el mismo

Ejemplo: Resolución de la ecuación que modela el Problema 1:

3 1 x + x + 700m = x 8 3

Con la finalidad de reunir en el primer miembro todos los términos en los que figura la incógnita x , y dejar en el segundo miembro sólo el término independiente, se suma a ambos miembros de la igualdad la expresión x 700 m

26

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3 1 x + x + 700 m 8 3

x 700m = x

x 700m

Cancelando los términos que corresponda, se obtiene:

3 1 x+ x 8 3

x = 700m

Operando, resulta:

7 x = 700m 24 Se multiplican ambos miembros por el inverso de

7 x 24

7 24

24 = 700m 7

24 7

y simplificando se obtiene:

x = 2400 m La ecuación presenta una única solución x = 2400 m y por lo tanto el conjunto solución es

S = { 2400 m} .

La respuesta a la pregunta planteada en el problema es: “Los nadadores deben recorrer

2400 m para completar la prueba” Comprobación: Para verificar si el valor de x obtenido es efectivamente la solución del problema, se reemplaza dicho valor en la ecuación original comprobando si satisface la igualdad.

3 1 2400m + 2400m + 700 m = 2400m 8 3 Problema 2 Se deja como ejercicio el planteo y la resolución de este problema. Otros ejemplos: Ejemplo 1: Resolver x + 3 = 7 Si se suma a ambos miembros el opuesto aditivo de 3 , se obtiene:

x + 3 3 = 7 3. Reduciendo términos queda:

x=7 3 Curso de Ingreso

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Se observa que el 3 que aparecía sumando en el primer miembro de la ecuación x + 3 = 7 , pasó al segundo miembro restando. Entonces, x = 4 es la solución de la ecuación dada. Ejemplo 2 : Resolver 5 x = 12 Si se multiplican ambos miembros por el recíproco de 5 , se obtiene

1 1 5 x = 12 5 5 Simplificando, queda:

x=

12 5

El 5 que aparecía multiplicando en el primer miembro de la ecuación 5 x = 12 , pasa al segundo miembro dividiendo. Ejemplo 3 : Determinar el valor de x que verifica la siguiente ecuación:

2 3x 3

3 ( x 4) 1 + 3x =4 4 2

Se mostrará, a modo de guía, la resolución de esta ecuación que presenta varias de las dificultades que usted deberá superar. Se indican los posibles pasos a seguir, aclarando que no es ésta la única forma correcta de resolver el ejercicio. • En primer lugar se separan términos y se efectúan las operaciones indicadas, teniendo en cuenta la jerarquía, en lo que a orden de ejecución se refiere. Considerando que la ecuación dada, también puede expresarse del siguiente modo:

1 (2 3x ) 3 ( x 4) = 4 3 4

1 (1 + 3x ) , 2

si se aplica propiedad distributiva resulta:

2 3

x

3 x+3= 4 4

1 2

3 x. 2

• Se agrupan en un miembro todos los términos que contienen la incógnita x y en el otro, todos los términos independientes.

x

3 3 x+ x=4 4 2

1 2

2 3 3

• Se efectúan las sumas indicadas en ambos miembros.

1 x= 4

1 6

• Se despeja la incógnita obteniéndose la solución de la ecuación.

28

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1 : 6

x=

1 = 4

1 6

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( 4) = 4 = 2 6

3

La solución de la ecuación es x =

2 . 3

• Se verifica si el valor hallado satisface la ecuación original.

2 3

2 3

3

3 5 0+ = 4 2 5 5 = 2 2

2 2 4 1+ 3 3 3 =4 4 2

3 2

Al resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, de la forma ó su equivalente

ax = b

, la solución es única, dada por x =

ax + b = 0 b . a

Ejemplos: • 3 x 12 = 7 ( x

2) + 3

3 x 12 = 7 x 14 + 3 3 x 7 x = 14 + 3 + 12 4x = 1 x=

1 4

• 5 + 2x = 4x + 1 + 4

2x 4x = 1 + 4 5 2x = 0 x= 0 En ciertas ocasiones se pueden presentar expresiones algebraicas con apariencia de ecuaciones lineales, que no son tales. 1º Caso: Si a = 0 y b

0 , entonces la ecuación ax + b = 0 no tiene solución.

Ejemplo: • 5x

2( x 1) = 7 + 3 x

5x 2 x + 2 = 7 + 3x 5 x 2 x 3x = 7 2 Curso de Ingreso

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0x = 5 La ecuación no tiene solución, ya que no existe ningún número real x que satisfaga la igualdad 0 x = 5 . 2º Caso: Si a = 0 y b = 0 , entonces la ecuación ax + b = 0 tiene infinitas soluciones. Ejemplo: • 3x + 5

3x

x = 2x 3 + 8

x 2x = 3 + 8 5 0x = 0

Cualquier número real x satisface la igualdad, ya que es una identidad.

2.3.- Ecuación de segundo grado con una incógnita Se pide ahora plantear y resolver cada uno de los siguientes problemas: 2. El producto de dos números enteros consecutivos es 2070 . ¿Cuáles son dichos números?

1. Un diagramador debe definir las dimensiones de un folleto turístico. El área de cada página debe ser de 360 cm2 y se requiere que el largo sea 9 cm mayor que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del folleto para que se cumplan ambas condiciones?

Problema 1 ¿Cómo escribir en lenguaje algebraico la situación planteada? Ancho de la página

×

Largo de la página.

=

Área de la página.

El ancho de la página es la incógnita y la llamaremos x . El largo de la página es 9 cm mayor que el ancho, es decir x + 9cm . La ecuación que modela el problema 1 es:

x ( x + 9 cm ) = 360 cm 2 Si se aplica propiedad distributiva resulta:

x 2 + 9cm x = 360cm 2 , que también puede expresarse como

x 2 + 9cm x 360cm 2 = 0 .

30

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La ecuación planteada se llama ecuación de segundo grado con una incógnita o ecuación cuadrática ya que el mayor exponente al que está elevada la incógnita es igual a 2 . Una ecuación de segundo grado con una incógnita, una vez simplificada y ordenada, adopta la forma general:

a x 2 + b x + c = 0 con a

0;

a, b, c

R

2.3.1.- Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las soluciones de la ecuación general se obtienen aplicando la fórmula:

x1, 2 =

b ± b2 2a

4ac

El doble signo que aparece en la fórmula proporciona las dos soluciones x1 y x2 que tiene la ecuación. Las soluciones x1 y x2 se llaman también raíces de la ecuación cuadrática. Volviendo al problema 1, la ecuación que debe resolverse es:

x 2 + 9cm x 360cm 2 = 0 , donde a = 1 , b = 9cm y c = 360cm 2 . Sus soluciones se calculan aplicando la fórmula correspondiente.

x1, 2 =

9cm ± 9 2 cm 2 4 1 ( 360cm 2 ) = 2 1

x1 =

9cm + 39cm = 15cm 2

x2 =

9cm 39cm = 24cm 2

9cm ± 1521cm 2 2

La solución x 2 = 24cm se descarta porque no tiene sentido en este problema, ya que el ancho de la página no puede tener un valor negativo. Por lo tanto:

Ancho: 15cm

Largo: (15 + 9)cm

Se concluye que el folleto deberá tener 15 cm de ancho y 24 cm de largo. Problema 2 Se deja como ejercicio el planteo y la resolución de este problema. 2.3.2.- Tipos de soluciones de una ecuación cuadrática Analizando el radicando de la fórmula utilizada para el cálculo de las raíces, es decir:

b2

4ac es posible determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática

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ax 2 + bx + c = 0 . Por este motivo, dicha expresión recibe el nombre de discriminante de la

ecuación.

• Si b 2 4ac > 0 , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones) reales y distintas

2x 2 + 5x 3 = 0

Ejemplo: Resolver

b2

4ac = 25 4 2 ( 3) = 49 > 0 5 ± 49 4

x1, 2 = Soluciones: x1 =

1 2

x2 = 3

y

• Si b 2 4ac = 0 , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones) reales y coincidentes.

x2

Ejemplo: Resolver

b2

2x + 1 = 0

4ac = 4 4 1 1 = 0 x1, 2 =

2± 4 4 2

Soluciones: x1 = x2 = 1 • Si b 2 4ac < 0 , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones) complejas conjugadas.

x2

Ejemplo: Resolver

b2

4 x + 13 = 0

4ac = 16 4 1 13 = 16 52 = 36 < 0 x1, 2 =

4±

36 2

Soluciones: x1 = 2 + 3 i

y

=

4 ± 36 ( 1) 4 ± 36 = 2 2

1

=

4 ± 6i 2

x2 = 2 3 i

2.3.3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas Para que ax 2 + bx + c = 0 sea una ecuación de segundo grado, debe ser a 0 , pero puede faltar el término lineal, o el término independiente. Esto da lugar a ecuaciones incompletas de fácil solución. 2

• Si b = 0 , se tiene ax + c = 0 Ejemplo: 2 x 2

x2 =

3=0

3 2 32

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Soluciones: x1 =

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3 2

y

3 2

x2 =

2

• Si c = 0 , se tiene ax + bx = 0 Ejemplo: 2 x 2 + 5 x = 0

x=0 x (2 x + 5) = 0 si

o 2x + 5 = 0

Soluciones: x1 = 0

y

x=

5 2

5 2

x2 = 2

• Si b = 0 y c = 0 , se tiene ax = 0 Ejemplo: 3 x 2 = 0 Soluciones: x1 = x2 = 0 2.3.4.- Ecuaciones de segundo grado factorizadas En este caso la ecuación aparece descompuesta en factores e igualada a cero. Ejemplo: 4 ( x

2) ( x + 3) = 0

El primer miembro de la ecuación aparece como producto de tres factores y la igualdad se verifica cuando alguno de ellos es cero. Es evidente que, de los tres factores, sólo pueden anularse el segundo y el tercero. Por lo tanto,

4 ( x 2) ( x + 3) = 0 si

x 2=0

x=2

o x+3= 0

x= 3

De esta forma se han obtenido las dos raíces de la ecuación dada: x1 = 2 y x 2 = 3 . Si se aplica propiedad distributiva a la expresión factorizada, se obtiene la forma general de la ecuación de segundo grado.

4 ( x 2) ( x + 3) = 0 (4 x 8) ( x + 3) = 0

4 x 2 + 12 x 8 x 24 = 0 4 x 2 + 4 x 24 = 0

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Se puede comprobar que las raíces de esta ecuación, halladas a partir de la fórmula ya conocida, son efectivamente x1 = 2 y x 2 = 3 . Si ax 2 + bx + c = 0 tiene raíces x1 y x2 , entonces ax 2 + bx + c = a ( x

34

x1 ) ( x

x2 ) .

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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 2 1.- Ecuaciones de primer grado 1.1. Comprobar que x = 12 es solución de la ecuación 3 x 10 = 5 x + 2

x

1.2- Calcular el valor de x que verifica cada una de las siguientes ecuaciones. a. 5( x + 1) 3 = x b. ( x + 10 ) c. 2 x

(x

(2 + x )

2) = 4 ( x 1)

x+4 1 + 3x 2 = 6 3

d.

1 1 x+ x 2 3

x =x 1 2

e.

3 (x 1) 2 (2 x 4) = 1 5 3 2

f.

2x 3 x 1 12 x + 4 +x+ = 9 3 9

g.

4 x + 1 3(x + 5) 2 2 x = 5 6 4

h.

4x 6 12

3x 8 2 x 9 = 4 3

x

x 4 8

2.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado 2.1. La suma de dos números consecutivos da como resultado el cuadrado de 5. ¿Cuáles son dichos números? 2.2 La suma de dos números pares consecutivos es 74. ¿Cuáles son dichos números? 2.3. Hallar tres números consecutivos tales que el primero, más la mitad del segundo, más la tercera parte del tercero, sea igual a 58. 2.4. Averiguar un número tal que el duplo del mismo disminuido en 1 es a 8, como la mitad del número es a 3. 2.5. María tiene que subir rollos de tela en un ascensor en el que se pueden cargar hasta 350Kg. ¿Cuál es el mayor número de rollos que puede subir en cada viaje, si ella pesa 55kg y cada rollo pesa 18kg?

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2.6. Un padre tiene 36 años y su hija 6. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble que la edad de la hija? 2.7. Eduardo salió el sábado con sus amigos. La mitad del dinero que llevaba lo gastó en comer, la mitad de lo que le quedó lo gastó en ir a bailar y aún le sobraron $13. ¿Con cuánto dinero salió de su casa? 2.8. Después de recorrer

7 1 de un camino aún quedan km para completar la mitad del 15 3

recorrido. ¿Qué longitud tiene el camino? 2.9. El abuelo de Victoria se dedica a la cría de canarios. La semana pasada, distribuyó sus 250 pájaros en tres jaulas grandes: en la primera hay 30 menos que en la segunda, y en ésta, 10 menos que en la tercera. ¿Cuántos canarios hay en cada jaula? 2.10. Si gasté

5 del dinero que tenía y $20 más; me quedé con la cuarta parte de lo que 8

tenía y $16 más. ¿Cuánto dinero tenía? 2.11. ¿Cuál es el ancho de un rectángulo que mide 16 cm de largo si su área es equivalente al área de un cuadrado de 12 cm de lado? 2.12. En un rectángulo, el largo excede en 8 cm al ancho. Si el perímetro mide 72 cm. ¿Cuál es su área? 2.13. El perímetro de un cuadrado de lado 2m es igual al perímetro de un rectángulo cuyo largo es el triple del ancho. ¿Cuál es la superficie del rectángulo? 2.14. Todas las figuras tienen área 1m2. Hallar el valor de x. Expresar todos los resultados sin radicales en el denominador.

a.

(

5

b.

)

2 m

h = 7m

x x

c.

2m

x 6m 2.15. El señor López retiró el 25% de sus ahorros para comprarse una campera cuyo costo es de $250. ¿Cuántos pesos tenía ahorrados? 36

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2.16. Se vende mercadería en $77,60 perdiendo el 3% de lo que costó. ¿Cuál es el costo?

3.- Ecuaciones de segundo grado 3.1. Calcular los valores de x, v, t o z que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones. 2

a. 2 x + 8 = 0 2

b. x + x +

i.

1 =0 4

j.

2

c. t + 4t = 0 d. 2 x 2

12 x = 0

e. (v + 7 )(v

3) = 0

f. 4 x 2 + 4 x + 1 = 0 g. 5 x

2

3x + 1 = 0

x 3 2

1 2 t

2

2

1 =0 4 3 +1 = 3

k.

21x 6 = 3x

l.

1 3 25 x 2 + = 5 5 4

m.

1 5 3

2

t +3

1

=1

9 x=0 2

h. 2 x 2

3.2. Utilizar el discriminante para determinar qué tipo de soluciones tienen las siguientes ecuaciones: a. 4 x 2

9=0

b. x 2

2x 4 = 0

x2 4

x 3=0

d. 2( x

2 )2 = 4

e. 2t 2

4t + 1 = 0

c.

f. 2 x + x + 9 = ( x + 4 ) ( x + 1) 2

g.

x

1 2

(2 x 1) = 0

3.3 ¿Para qué valor de k la ecuación kx 2

2kx + 1 = 0 tiene raíces reales iguales?

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4.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado 4.1. ¿Cuál es el número natural cuyo cuadrado menos su duplo es igual a 15? 4.2. Calcular los números que cumplen: la suma entre el número y la mitad de su cuadrado es igual a 60. 4.3. Calcular un número tal que el producto entre la mitad de dicho número y su cuarta parte, más la tercera parte de su antecesor es igual a 37. 4.4. Calcular la edad de Lorena si sabemos que el cuadrado de su edad menos las tres cuartas partes del cuadrado de lo que va a tener el año que viene es igual a la edad que tenía el año pasado más 43 años. 4.5. Una sección de un piso de madera mide 450 cm2 de área. Esta sección está formada por 6 piezas rectangulares idénticas ubicadas como indica la figura. Calcular las dimensiones de cada pieza

x

x

.

4.6. Calcular el perímetro de cada una de las siguientes figuras. a.

b. 5cm

x

A= 84cm

x+1cm

2x-3cm

2

x+7cm

c.

d. x

x+1cm

x-3cm

x-7cm

e.

x+4cm

f.

x+9cm 4cm-8x

x+5cm

A=160cm

2x-5cm

2

x+2cm

x+11cm

A=90cm

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2

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4.7. En una empresa, la cantidad ”c” de conexiones telefónicas que se pueden hacer con un

1 n(n 1) . 2 El operador puede realizar con el conmutador 496 conexiones, ¿cuántos aparatos “n” están conmutador, al cual están conectados “n” aparatos, está dado por la ecuación c =

conectados?

5.- Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones. a. (4 x + 5) (3 x

2) = (2 x 3) (1 + 6 x )

b. ( x + 1) + 3 x

x2 = 3

2

c. 4

(x + 2) (x

2 ) = 8 x ( x + 5)

d. ( x 1) ( x + 1) = 0 e. (5 + x) ( x + 3) = 2 f. 2 = ( 2 x + 5) ( x + 1) g.

x + 1 15 x + 11 = 2 6

6.- Problemas 6.1. En la primera etapa de un viaje se ha gastado la mitad del contenido de combustible de un auto y en la segunda etapa se gastó la mitad de lo que quedaba. Aún quedan 15 litros. ¿Cuántos litros tenía el tanque de combustible al iniciar el viaje? 6.2. Sabiendo que la altura de un rectángulo es la mitad de su base y que su superficie mide 32cm2. ¿Cuánto miden la base y la altura? 6.3. Un filatelista dice poseer un número de estampillas tal que, triplicado y sumado a la mitad de su consecutivo es igual a 6122. ¿Cuántas estampillas posee? 6.4. En una cancha de tenis el largo, de 26m, excede en 2m al doble de su ancho. ¿Cuál es su ancho? 6.5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo perímetro es 10cm mayor que el perímetro de un rectángulo de largo igual al lado del cuadrado y de ancho igual a 4cm? 6.6. El cuadrado de un número menos su quíntuplo es igual a 6. ¿Cuál es el número natural que verifica esta condición? 6.7. Un hombre cercó un terreno rectangular cuyo perímetro es 400m y pagó $3720. El frente del terreno mide 60m. El precio por cada metro de cerca frontal es $2 más caro que el precio por cada metro del resto de la cerca. ¿Cuál es el precio por cada metro para la cerca frontal y para el resto?

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6.8. Encuentre dos números consecutivos enteros, cuyo producto es mayor en 41 a su suma. 6.9. De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte del resto y quedan aún 1600l. Calcular la capacidad del depósito en cm3. 6.10. El triplo de un número supera en 2 a su cuadrado. ¿Cuáles son los números que verifican esta condición? 6.11. La suma de tres corrientes es de 12 A (Amperes). Si la más pequeña es de 2A menos que la siguiente, la que a su vez es 2A menos que la mayor. ¿Cuáles son los valores de cada una de las tres corrientes? 6.12. Durante la mañana, se llenó la cuarta parte de la piscina de un club, durante la tarde se llenaron las dos quintas partes y aún faltan 4116 litros para llenarla completamente. ¿Cuál es la capacidad de la piscina? 6.13. Aldo y Bruno tenían cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos semanas de vacaciones. Durante la primera semana Aldo gastó la mitad de su dinero, durante la segunda semana gastó la tercera parte de su dinero y el resto lo ahorró. En cambio Bruno gastó la primera semana la cuarta parte de su dinero y logra ahorrar el doble de lo que ahorró Aldo. Si se tiene como información que Bruno ahorró $156. ¿Cuánto dinero gastó Bruno la segunda semana? 6.14. De una pileta con agua se extrae la tercera parte de su contenido, después la mitad del resto y quedan aún en la pileta 14875 litros de agua. a. Calcule el volumen de agua que había en la pileta antes de comenzar el vaciado. Exprese el resultado en m3 b. Determine el valor de la altura que alcanzaba el agua en la pileta, sabiendo que ésta tiene forma de paralelepípedo con 75dm de largo y 35dm de ancho. Exprese el resultado en m.

6.15. Con 29 baldosas más, el piso de mi habitación, que es cuadrada, tendría exactamente una baldosa más por lado (ver figura). Piso de mi habitación

n baldosas

(n+1) baldosas

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Curso de Ingreso

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ

Unidad 2: Ecuaciones

a. ¿Cuántas baldosas tiene el piso de mi habitación? b. La longitud del lado de cada baldosa es 25cm ¿cuál es el área del piso de mi habitación? 6.15. Una gota de aceite de 9x10-7kg de masa y de 0,918g/cm3 de densidad se esparce en un círculo de 41,8cm de radio sobre la superficie del agua. ¿Cuál es el espesor de esta “película” de aceite? 6.16. Como consecuencia del calentamiento global del planeta, el hielo de algunos glaciares se está derritiendo. Doce años después de que el hielo haya desaparecido, empiezan a crecer en las rocas unas plantas diminutas, llamadas líquenes. Los líquenes crecen aproximadamente en forma de círculo. La relación entre el diámetro de este círculo y la edad del liquen se puede expresar aproximadamente mediante la fórmula d = 7,0 (t 12 ) siendo d el diámetro del liquen en mm y t el número de años transcurridos desde que el hielo ha desaparecido. a. Calcular el diámetro que tendrá un liquen 16 años después de que el hielo haya desaparecido. b. ¿Qué puede decir de los líquenes cuando hayan transcurrido 8 años desde la desaparición del hielo en el lugar? c. Si el diámetro de un liquen mide 0,035m. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que el hielo desapareció del lugar? d. Si se mide otro liquen y se obtiene el doble del diámetro que en el caso anterior. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que el hielo desapareció de ese lugar?

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