ESTADÍSTICA I Unidad 8: Breve Resumen de Contenidos Teóricos. Prueba Chi-Cuadrada1 D.E.A. Lanza Mariano 1. PRUEBA CHI CUADRADA Muchas veces los resultados obtenidos a partir de muestras no coinciden de manera exacta con los resultados teóricos esperados. De esta forma, a menudo nos interesa saber si las frecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas. El estadístico χ proporciona una medida de la discrepancia existente entre la frecuencia observada y la frecuencia esperada y está dada por: 2

2 2 ( ( o1 − e1 ) o 2 − e2 ) χ = +

+ ... + e1 e2 oj = Valor observado del evento j. ej = Valor esperado del evento j. 2

(ok − ek )2 ek

k

=∑ j =1

(o

− ej )

2

j

ej

De esta forma, si las frecuencias observadas tienden a ser muy similares a las frecuencias esperadas, entonces la La aproximación de la

χ 2 tenderá a ser pequeña. χ 2 se corresponde con (k-m-1) grados de libertad, donde:

k = la cantidad de frecuencias o intervalos m = la cantidad de parámetros poblacionales que deben estimarse para realizar la prueba. De esta forma, la prueba ji- cuadrada ( χ 2 ) se la utiliza principalmente para: •

Probar si dos atributos son independientes (test de tablas de contingencia).

•

Probar si una variable sigue una distribución de probabilidades particular (Prueba de Bondad de Ajuste).

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Bibliografía consultada: Spiegel M. R y Stephens L. J. (2001): “Estadística”. McGraw-Hill. México. Lind D. A, Marachal W. G. y Mason R. D. (2004): “Estadística para Administración y Economía”. Ed. Alfaomega. México. De la Horra Navarro J. (2003): “Estadística Aplicada”. Ediciones Díaz de Santos. España. Moore D. S. ( 2000): “Estadística Aplicada Básica”. Antoni Bosch Editor S.A. España. Navidi William (2006): “Estadística para Ingenieros y Científicos”. Ed. McGraw-Hil. Gabriela Kurincic (1997): “Guía Teórica de Estadística General”. FCE. UBA. 1

1.A Tablas de Contingencia con Chi Cuadrada La prueba de tablas de contingencia es un test en el que se busca analizar si dos variables aleatorias son independientes (o no lo son). Es decir, se quiere probar si la ocurrencia o no de uno de los atributos condiciona (o no) la ocurrencia del otro. Características de los Atributos: Cada atributo que se somete a prueba se encuentra dividido en n estratos: • Mutuamente excluyentes • Completamente exhaustivos Hipótesis a Probar: Ho) El atributo X es Independiente del atributo Y H1) El atributo X no es Independiente del atributo Y Estadístico de Prueba: Sean: r= la cantidad de estratos mutuamente excluyentes en que se divide la V.A. X s= la cantidad de estratos mutuamente excluyentes en que se divide la V.A. Y Oi = frecuencias absolutas simples observadas en la muestra ei = frecuencias absolutas simples que cabría esperar si las variables aleatorias fueran independientes (se calculan mediante las probabilidades marginales).

χ

Si

2 [( r −1)*( s −1)]

=

k = ( r *s )

∑

(oi − ei )2

i =1

ei

χ e2 < χ t2 ⇒ NO SE RECHAZA H0

Pasos para realizar la tabla de contingencias χ 2 a) b) c) d)

Plantear las hipótesis. Definir el alfa y establecer la regla de decisión. Calcular el valor crítico teórico de la prueba χ t2 = χ (21−α ) [(r − 1) * ( s − 1)]gl Calcular el valor empírico realizando las siguientes pasos: d.1 Construir una tabla que contenga los valores observados. d.2 Construir una tabla que contenga los valores esperados para el caso que los atributos sean independientes. d.3 Calcular el valor empírico de la prueba utilizando los datos de las tablas anteriores

χ e2 =

n = ( r *s )

∑

(oi − ei )2

ei e) Comparar el valor teórico con el empírico y decidir sobre la hipótesis nula. i =1

2

1.B Bondad de Ajuste con Chi Cuadrada La prueba de bondad de ajuste intenta analizar si una variable aleatoria sigua una determinada distribución. Es decir, se intenta determinar que tan bien las distribuciones teóricas (como la distribución Normal, Binomial o Poisson) se ajustan a las distribuciones empíricas (aquellas obtenidas de datos de muestras). Hipótesis a Probar: Ho) La variable aleatoria X sigue determinada distribución de probabilidad (Ejemplo: La altura de los estudiantes de la UNRN sigue una distribución normal) H1) La variable aleatoria X no sigue la distribución planteada en la H0. Estadístico de Prueba: r

(oi − ei )2

i =1

ei

χ (2r − k −1) = ∑

Sean: r = cantidad de estratos (intervalos) que se presentan los datos de la variable aleatoria X. k= cantidad de parámetros que se deben estimar para realizar la prueba. oi = frecuencias absolutas simples observadas en la muestra ei = frecuencias absolutas simples que cabría esperar si la variable aleatoria siguiese la distribución planteada en la hipótesis nula. Si

χ e2 < χ t2 ⇒ NO SE RECHAZA H0

Pasos para realizar la tabla de contingencias χ 2 f) g) h) i)

Plantear las hipótesis. Definir el alfa y establecer la regla de decisión. Calcular el valor crítico (teórico) de la prueba χ t2 = χ (21−α ) (r − k − 1) gl Calcular el valor empírico realizando los siguientes pasos: d.1 Construir una tabla que contenga los valores observados. d.2 Construir una tabla que contenga los valores esperados si la VA sigue la distribución planteada. d.3 Calcular el valor empírico de la prueba utilizando los datos de las tablas anteriores r

χ =∑ 2 e

(oi − ei )2

ei j) Comparar el valor teórico con el empírico y decidir sobre la hipótesis nula. i =1

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