SISTEMAS DE ECUACIONES Sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones es lineal si todas sus ecuaciones son lineales. Una ecuación es lineal si todos sus términos son de grado 1. -

Los métodos empleados para resolver los sistemas lineales son: Reducción Igualación Sustitución Método de Gauss o de reducción escalonada

Reducción. Operando con las ecuaciones se van eliminando variables hasta que solo quede una y se pueda calcular su valor. 2 x + 3 y = 1 Ejemplo:   x − 2y = 4 Solución.  E : 2 x + 3y = 1 Eliminar x : {E1 − 2E 2 } :  1 : (− ) : 7 y = −7 : y = −1 + = 2 x 3 y 1  2E 2 : 2 x − 4 y = 8 :   x − 2 y = 4 Eliminar y : {2E + 3E } :  2E1 : 4x + 6 y = 2 : (+ ) : 7 x = 14 : x = 2 1 2  2E 2 : 3x − 6 y = 12

Igualación. De cada ecuación se despeja la misma variable y se igualan las expresiones. 2 x + 3 y = 1 Ejemplo:   x − 2y = 4 Solución. 1 − 2x 2 x + 3y = 1 despejamos y : y = 3 1 − 2x x − 4 : Igualamos. : =  x 4 − x 2 y 4 − = 3 2  despejamos y : y = 2 2 ⋅ (1 − 2 x ) = 3 ⋅ (x − 4 ) : 2 − 4 x = 3x − 12 : −7 x = −14 : x =

1− 2 x 2  3→ y y=

= −1

Sustitución. De una de las ecuaciones se despeja una de las variables y se sustituye en la otra. 2 x + 3 y = 1 Ejemplo:   x − 2y = 4 Solución. 2 x + 3 y = 1 Despejamos y de la 2ª ecuación y lo sustituimos en la 1ª.   x − 2y = 4 x −4 2 x + 3 y = 1 y= x−4  2→ y = −1 = 1 : 4x + 3x − 12 = 2 : 7 x = 14 : x = 2    y = x − 4 : 2x + 3 2  2

Método de Gauss El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales es una reducción escalonada para obtener un sistema equivalente más sencillo, cuya forma permite averiguar si se trata de un sistema compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible y, en los casos de compatibilidad, resolverlo. En este primer curso se utilizará exclusivamente para resolver sistemas complatibles determinados de más de dos incógnitas. Método de Gauss para sistemas compatibles determinados de tres ecuaciones con tres incógnitas.

1

 a1.1x + a1.2 y + a1.3z = b1  S3×3 : a 2.1x + a 2.2 y + a 2.3z = b 2 a x + a y + a z = b 3.2 3.3 3  3.1 Del sistema de ecuaciones se extrae su matriz asociada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes.  a1.1 a1.2 a1.3 M b1     a 2.1 a 2.2 a 2.3 M b 2  a   3.1 a 3.2 a 3.3 M b 3  Operando las ecuaciones se hacen cero los términos a2.1, a3.1 y a3.2, obteniendo la matriz escalonada. a1.2 a1.3 M b1  a  a1.1 a1.2 a1.3 M b1  OPERACIONES    EQUIVALENTES  1.1  a 2.1 a 2.2 a 2.3 M b 2      → 0 a '2.2 a '2.3 M b'2   0 a  0 a '3.3 M b'3    3.1 a 3.2 a 3.3 M b 3 

De la matriz escalonada se obtiene el sistema equivalente escalonado que permite encontrar la solución de forma sencilla. a1.1x + a1.2 y + a1.3z = b1  S3×3 :  a ′2.2 y + a ′2.3z = b′2  a ′3.3z = b′3  De la tercera ecuación se obtiene z, sustituyendo el valor de z en la segunda ecuación se obtiene y, y por último con los valores de x e y en la primera ecuación se obtiene x.  x − 2y + z = 1  Ejemplo: 3x + y − 4z = 17  x+y−z =4  Solución. Se extrae la matriz asociada al sistema y se escalona operando con las ecuaciones. 1 − 2 1 M 1    E 2 = E 2 − 3E 1   3 1 − 4 M 17  =  =  1 1 − 1 M 4   E 3 = E 3 − E1   

Al principio, para acostumbrase a este tipo de operaciones, recomiendo que las hagáis fuera de la matriz y trasladéis el resultado a la matriz.

1 − 2 1 M 1  1 − 2 1 M 1  *    =  0 7 − 7 M 14  = {E 3 = 7 E 3 − 3E 2 } =  0 7 − 7 M 14  0 3 − 2 M 3  0 0 7 M − 21    * Operando directamente sobre la matriz. De la matriz escalonada se obtiene el sistema equivalente escalonado. x − 2 y + z = 1 x − 2 y + z = 1 x − 2 y + (− 3) = 1 x − 2 y = 4  Simplificando  : : {x − 2(− 1) = 4 : {x = 2  7 y − 7 z = 14    → y − z = 2 :   y − (− 3) = 2  y = −1  7z = −21  z = −3  

Solución: (2, −1, −3)

2

Sistemas de ecuaciones no lineales. Los sistemas no lineales se resuelven en la mayoría de los casos por sustitución. En algunos sistemas no lineales es posibles aplicar igualación o reducción.



Ejemplo:  2

x ⋅ y = −6

2 x + y − x + 2 y = 5

Solución. De la primera ecuación se despeja “y” y se sustituye en la segunda. −6  2 y= 36 12 −6  2 −6 =5 : x + −x+2 = 5 : x2 + 2 − x −   x  x x x 2 2   x x + y − x + 2 y = 5 Multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (x2), se obtiene una ecuación de cuarto grado que se resuelve por el método de Ruffini. 12   2 36  x + 2 − x −  ⋅ x 2 = 5 ⋅ x 2 : x 4 + 36 − x 3 − 12 x = 5x 2 : x 4 − x 3 − 5x 2 − 12 x + 36 = 0 x x  Factorizando (Ruffini).

Las demás soluciones no son enteras, por lo tanto no tenemos porque calcularlas. Si x =

−6 x →y 2  

y=

3

= −3