RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS (INDICES DE MULTIPLICIDAD) En esta ocasión pasaremos a encontrar todas las raíces racionales de un polinomio con coeficientes racionales. Teorema del factor (factorización): Si r es una raíz del polinomio P(x), entonces (x-r) es un factor de P(x). Por el contrario, si (x-r) es un factor de P(x), entonces r es una raíz de P(x). Ejemplos para discusión: 1. 2. 3. 4. 5.

¿Cuáles son las raíces de P(x) = x2 - x - 6? Demuestra que x + 1 es un factor de x25 + 1. ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 3(x - 5)(x + 2)(x - 3)? ¿Cuáles son las raíces de x4 - 1? ¿Cuáles son las intersecciones con el eje de x de la gráfica de P(x) = x2 - x - 6?

Ejercicio de práctica: Usa el teorema del factor para demostrar que x + 4 es un factor del polinomio P(x) = x3 - 13x + 12. 2. ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 2(x + 3)(x + 7)(x - 8)(x + 1)? 2 3. ¿Cuáles son las raíces de x + 4 = 0? 2 4. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de P(x) = x - 9? 1.

Teorema fundamental del álgebra: “LEER DOCUMENTO DEL TEOREMA” Índice de multiplicidad: Definición: Si un factor x - r ocurre k veces en la factorización completa de un polinomio P(x), entonces r es una raíz de P(x) = 0 con multiplicidad k. Ejemplos: Sea el polinomio P(x) = x2 - 10x + 25, que tiene raíz 5 con multiplicidad 2. Observamos que: x2 - 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)2. Un polinomio P(x) de mayor grado, con coeficiente principal 1 que tiene las siguientes raíces: -7 de multiplicidad 3 y 5 de multiplicidad 2 queda expresado de la forma factorizada como : P(x) = (x + 7)3 (x – 5)2. Teorema de las n raíces: Cada polinomio P(x) de grado n>0 se puede expresar como el producto de n factores lineales. De aquí que, P(x) tenga exactamente n raíces (no necesariamente distintas).

Ejemplo: El polinomio P(x) = 6(x - 5)3(x + 1)2(x - i)(x + i) es de grado siete y tiene siete raíces, no todas diferentes. Observa que 5 es una raíz demultiplicidad 3; -1 es una raíz de multilpicidad 2; i y -i es de multiplicidad 1. Así que este polinomio de grado siete tiene exactamente siete raíces tomando en cuenta al 5 y al -1 con sus respectivas multiplicidades.

Teorema de raíces imaginarias: Las raíces imaginarias de polinomios con coeficientes reales, si existe, ocurren en pares conjugados. Ejemplo: Al hallar las raíces del polinomio P(x) = x2 - 6x + 13 por la fórmula cuadrática encontramos que las raíces son 3 + 2i y 3 - 2i, que son números conjugados imaginarios. Teorema de las raíces racionales: Si P(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1x + a0 es una función polinómica con coeficientes enteros (donde anes diferente de cero y a0 es diferente de cero) y b/c (de forma simplificada) es un cero racional de P(x), entonces b es un factor del término constante a0 y c es un factor del coeficiente de an. Ejemplos para discusión: Halla todas las raíces racionales para: 1) P(x) = 2x3 - 9x2 + 7x + 6 2) P(x) = 2x3 - 7x2 + 4x + 3

Ejercicio de práctica: Halla todas las raíces para P(x) = 2x3 + x2 - 11x - 10.