LEY DE FARADAY (Dos ejemplos)

LEY DE FARADAY. (Dos ejemplos). Roberto Oscar Pautasso. § 1. El área barrida y la variación del área concatenada. Sea C una curva matemática cerrada y ...
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LEY DE FARADAY (Dos ejemplos) Roberto Oscar Pautasso § 1. El ´ area barrida y la variaci´ on del ´ area concatenada Sea C una curva matem´atica cerrada y orientada, dibujada en un instante de tiempo fijo t en el sistema f´ısico (podemos pensar, por ejemplo, en el disco de Faraday). Parte de esta curva C podr´a estar inmersa en un medio conductor en movimiento y otra parte podr´a estar inmersa en vac´ıo. La velocidad de un punto P cualquiera de C es la velocidad del medio conductor que en ese instante ocupa ese punto P . Alternativamente, podemos pensar que cuando una parte de la curva C ocupa un medio conductor, este tramo de la curva debe imaginarse como pintado sobre el conductor mismo, de modo que el movimiento del tramo de curva pintada sea el del propio medio conductor. En caso de que un punto de C est´e situado en vac´ıo, su velocidad asociada ser´a cero. Podemos ahora determinar el ´ area barrida por esta curva C en un intervalo de tiempo dt despu´es del instante t, desplazando cada punto suyo lo que corresponda seg´ un su velocidad asociada. Este ´area barrida dA es un vector. Su m´odulo es el ´area barrida misma. Su direcci´on y sentido est´an determinados por el producto vectorial entre el versor asociado al desplazamiento de la curva y el versor asociado a la orientaci´ on de la misma (en este orden). En algunas configuraciones f´ısicas, se verifica que el ´area barrida por la curva cerrada C coincide con la variaci´on del ´area concatenada por dicha curva. Entendiendo que la superficie concatenada por la curva C es la superficie abierta de menor ´ area que est´a limitada por la curva cerrada C. El ´area barrida coincide con la variaci´ on del ´area concatenada en el caso particular del movimiento plano de una curva plana cerrada, es decir cuando la curva cerrada C est´a y se mueve siempre en un mismo plano. En las secciones § 2 y § 3 trataremos dos ejemplos particulares de este

caso. Pero hay otras configuraciones f´ısicas en donde esto no es cierto (es decir: el ´area barrida no coincide con la variaci´on del ´area concatenada). Consideremos, por ejemplo, una espira cuadrada de metal que puede girar alrededor de uno de sus lados. En este caso la superficie barrida por la espira cuando gira un peque˜ no ´angulo en el tiempo dt, es siempre perpendicular a la superficie concatenada por la espira en el instante considerado. Mientras que el ´area concatenada por la espira no var´ıa (la variaci´on del ´area concatenada es cero), el ´area barrida s´ı var´ıa. Vemos pues, en este caso particular, que el ´area barrida es distinta a la variaci´on del ´area concatenada. Cuando se da el caso en el cual el ´area barrida en el tiempo dt es distinta a la variaci´on del ´area concatenada en igual tiempo dt, hay que considerar dos contribuciones para calcular la variaci´on elemental del flujo magn´etico en la ley de Faraday. Una contribuci´on proviene del ´area barrida por la curva C en el tiempo dt y la otra proviene de la variaci´on del ´area concatenada en el mismo tiempo dt. No obstante, para una espira de ´ area concatenada constante que gira en un campo magn´etico uniforme, el c´ alculo es m´ as f´ acil si en lugar de considerar el ´ area barrida se considera la variaci´ on temporal del flujo magn´etico que proviene de la variaci´ on del ´ angulo subtendido por la direcci´ on del vector superficie con la direcci´ on del campo magn´etico.

§ 2. El disco de Faraday Visto de frente, el disco de Faraday gira en sentido antihorario y el campo magn´etico es perpendicular al disco—consecuentemente perpendicular al dibujo tambi´en—y de sentido saliente del plano del dibujo. Una parte C1 del camino cerrado inicial est´a materializado por el cable que une el contacto en el eje con

el contacto en el borde del disco. Los puntos materiales del cable tienen velocidad nula, de modo que ´esta parte del circuito permanecer´a fija en el tiempo y no barrer´a ´area ninguna. Los dos puntos de contacto pueden unirse—cerrando el camino—mediante un camino rectil´ıneo radial C2 . Los puntos de ´este tramo tienen la velocidad de los puntos materiales del disco met´alico que los ocupan en el instante inicial. Por ejemplo, el punto de ´este segmento rectil´ıneo que est´a a la distancia r del eje del disco tiene una velocidad ω r. Consideramos como orientaci´ on de la curva C a aquella que se corresponde con la orientaci´on radial y dirigida hacia el eje de rotaci´on, de la curva C2 . En un peque˜ no dt el segmento rectil´ıneo C2 del camino inicial gira conjuntamente con el disco met´alico alrededor del eje, barriendo un peque˜ no sector circular (de ´area casi triangular), mientras que el tramo C1 no barre ´area ninguna. El m´odulo del vector ´area barrida por C2 vale dA = ω R2 dt/2. La direcci´on y el sentido de este vector superficie elemental dA se determinan con el producto vectorial entre el vector desplazamiento (de los puntos de C2 ) y el vector orientaci´on (radial y dirigido al eje) de la curva C2 . Resulta el versor k. Entonces el vector superficie elemental dA tiene la misma direcci´on y sentido que el vector campo magn´etico B. El fujo magn´etico elemental barrido en el tiempo dt, es entonces: dϕ = B · dA = B dA = ω B R2 dt/2. Este flujo magn´etico barrido representa el cambio en el flujo magn´etico concatenado por la curva C entre t y t + dt.

de las coordenadas. Sea B = B k el campo magn´etico constante. Resolveremos el problema de hallar la fem inducida en la varilla, por dos caminos alternativos: 1) usando la ley de Faraday; 2) usando la definici´on de fem. 1) Consideremos un camino C de forma rectangular situado en el plano xy. Uno de sus lados lo ocupa la varilla—digamos, el lado derecho—y el resto del camino, en forma de U, es un camino puramente matem´atico fijo al plano xy. Apliquemos la regla formal—que ya enunci´aramos en la primera secci´on—para el c´alculo del vector dA. Recuerde que este vector elemental dA representa el ´area barrida por la varilla en el peque˜ no intervalo de tiempo dt. Para aplicar la regla formal debemos determinar dos vectores: a) el vector desplazamiento de la varilla, y b) el vector que representa la orientaci´on de referencia para la varilla. El vector desplazamiento de la varilla viene dado por v dt i, siendo v la velocidad de traslaci´on constante de la varilla en la referencia xy. Establecemos ahora una orientaci´on de referencia (cualquiera) para el camino rectangular cerrado en un instante fijo de tiempo; convengamos en recorrer ese camino rectangular en el sentido antihorario. Entonces la varilla adquiere una orientaci´on que permite representarla por medio del vector h j, siendo h la longitud de la varilla. Entonces la regla formal dice que el vector dA se calcula como el producto vectorial del vector desplazamiento de la varilla por el vector que representa a la varilla orientada: dA = (v dt i) × h j = h v dt k = dA k, donde: dA = h v dt,

Aplicando ahora la ley de Faraday, obtenemos para la fem: 1 ε = − ω B R2 . 2 El signo negativo, en esta f´ormula, indica que la corriente circula por el camino C siguiendo la orientaci´on opuesta a la que hemos establecido como referencia.

§ 3. Varilla met´ alica en un campo magn´ etico uniforme y estacionario Consideremos el caso de una varilla met´alica movi´endose en un campo magn´etico uniforme y estacionario. La varilla, de longitud h, est´a dispuesta verticalmente en el plano xy y est´a movi´endose con rapidez constante v en la direcci´on x en el sentido creciente

es, precisamente, el ´area barrida por la varilla en el tiempo dt. En general, siempre es posible y conveniente, separar en la determinaci´on formal del vector dA, el c´alculo del m´odulo de este vector (el ´area barrida dA, como cantidad positiva), del c´alculo del versor (direcci´on y sentido) asociado a dA. En el ejemplo de la varilla, este versor se calcula como el producto vectorial del versor i—asociado al desplazamiento de la varilla— por el versor j, asociado a la orientaci´on adquirida por la varilla al elegir la orientaci´on de referencia antihoraria para el camino rectangular cerrado C. Como el movimiento de la varilla es un movimiento plano—pues al moverse, la varilla est´a siempre en

el mismo plano xy—sabemos que el ´area barrida por la varilla coincide num´ericamente con la variaci´ on del ´ area concatenada por el camino rectangular. Entonces la variaci´on dϕ del flujo magn´etico concatenado por el camino rectangular es num´ericamente id´entico al flujo magn´etico asociado al ´area barrida por la varilla. De donde, en el c´alculo del producto escalar entre el vector campo magn´etico y el vector ´area, podemos usar para este u ´ltimo vector, el vector ´area asociado al ´area barrida por la varilla. Entonces, como el vector campo magn´etico y el vector ´area barrida tienen ambos la misma direcci´on y sentido—las del versor k—resulta que su producto escalar se reduce al producto de sus m´odulos: dϕ = B dA = B h v dt. Aplicando la ley de Faraday: ε = −B h v. Esta es la fem que aparece en la varilla. Recuerde que hemos tomado la orientaci´ on antihoraria como la orientaci´on de referencia positiva para el camino rectangular cerrado. El signo negativo en la u ´ltima f´ ormula establece que si el camino en forma de U estuviera materializado por un conductor fijo al plano xy, la corriente inducida positiva en el camino rectangular cerrado circular´ıa en el sentido horario, es decir opuesto al de referencia. La varilla est´a funcionando como una pila cuya polaridad fuera la siguiente: el extremo superior de la varilla negativo y el inferior, positivo. La corriente inducida ser´ıa entonces horaria, como exige la ley de Lenz (el campo magn´etico inducido merma el campo magn´etico exterior debido a que el ´area del camino cerrado est´a aumentando). 2) Identifiquemos con 1 al extremo inferior de la varilla y con 2 al extremo superior. Por definici´on la fem de movimiento es la integral de l´ınea de la fuerza por unidad de carga a lo largo de un camino cerrado. En este caso se trata del camino rectangular cerrado C y la fuerza—de origen no el´ectrico—es la fuerza magn´etica, la fuerza responsable de separar las cargas el´ectricas en el interior del volumen de la varilla met´alica, polariz´andola. El u ´nico tramo del camino cerrado que es distinto de cero es el tramo materializado por la varilla: ∫ 2 ε= (v × B) · dl. 1

Hemos utilizado la expresi´on de la fuerza magn´etica para escribir la u ´ltima f´ormula, ya que es—insisto—

esta fuerza la responsable de separar las cargas el´ectricas en la varilla met´alica. El producto vectorial del integrando tiene la direcci´on vertical y el sentido descendente. El elemento de camino dl tiene igual direcci´on pero sentido opuesto (orientaci´on codificada por los l´ımites de integraci´on). Consecuentemente, el producto escalar del integrando es un n´ umero real negativo. Finalmente, teniendo en cuenta que la velocidad y el campo magn´etico son perpendiculares, resulta: ε = −v B h. Al integrar desde el extremo inferior de la varilla al superior, ha resultado un valor negativo para la fem. Ello indica que si el camino cerrado C estuviera materializado por un camino conductor, por ´el circular´ıa corriente en el sentido opuesto al de referencia (este es el significado del signo menos en la f´ormula). Esto implica que el extremo inferior de la varilla es el positivo y el superior, el negativo. Sin embargo, para determinar la polaridad de la varilla es mucho mejor m´etodo averiguar hacia qu´e extremo de la varilla desplaza la fuerza magn´etica a las cargas positivas. Ese extremo de la varilla es su extremo positivo.