Junio 2014 Opción A 3 2 Ejercicio 1.- Sea f : R → R definida por: f (x) = x + ax + bx + c

a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abcisa x =

1 y que la recta 2

tangente en el punto de abcisa x = 0 tenga por ecuación y = 5 - 6x Para que la gráfica tenga un punto de inflexión en x =

1 '' 1 se tiene que cumplir que: f ( ) = 0 2 2

Además, el dato de la recta tangente nos da dos ecuaciones adicionales:

⎧ f (0) = 5 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ f '(0) = −6 ⎭ Por tanto sabiendo que:

⎧ f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c ⎪ 2 ⎨ f '(x) = 3x + 2ax + b ⎪ f ''(x) = 6x + 2a ⎩ Se nos queda el conjunto de ecuaciones

⎧ ⎪ f (0) =5 → c = 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f '(0) = −6 → b = −6 ⎪ ⎪ 1 3 ⎪ ⎛ 1⎞ ⎪ f '' ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 0 → 6 2 + 2a = 0 → 3 + 2a = 0 → a = − 2 ⎩ Y por tanto la función buscada:

f (x) = x 3 −

3 2 x + −6x + 5 2

b) Para a = 3, b = -9 y c = 8, calcula los extremos relativos de f 3 2 La función para esos valores se queda: f (x) = x + 3x − 9x + 8

Para calcular los extremos relativos derivamos.

f '(x) = 3x 2 + 6x − 9

A continuación, igualamos a 0 para obtener los puntos críticos:

3x 2 + 6x − 9 = 0; ⎧x = 1 x 2 + 2x − 3 = 0 → ⎨ ⎩ x = −3 Finalmente estudiamos el signo de la derivada para saber en qué intervalos la función crece y decrece:

←⎯⎯⎯ → −3 ←⎯⎯⎯ →1 ←⎯⎯ → f '(−4 )>0 f '(0)0 f '(0)0 π f crece

Por tanto, las dimensiones del triángulo han de ser:

r = 3, 41 u 125 h= = 3, 41 u π ⋅ 3, 412 Ejercicio 2.- Sea f la función definida por f (x) = x ln(x + 1) para x > -1. Determina la primitiva cuya gráfica pasa por (1,0). En primer lugar, para obtener la primitiva de f(x), a la que denotaremos como F(x), realizamos la integral mediante el método de integración por partes.

1 ⎧ ⎪⎪u = ln(x + 1) → du = x + 1 F(x) = ∫ x ln(x + 1)dx → ⎨ 2 ⎪v = xdx → v = x ⎪⎩ 2 2 2 x 1 x F(x) = ⋅ ln(x + 1) − ∫ dx 2 2 x +1 Para resolver la segunda integral, que se trata de una integral racional, procedemos a realizar la división:

D

r

∫ d =∫ c + ∫ d x +1

x2 −x 2 0

−x −x +x 0

x −1 1 1

x2 1 x2 dx = (x − 1)dx + dx = − x + ln(x + 1) ∫ x +1 ∫ ∫ x +1 2 Juntando este resultado con el anterior, se tiene que la primitiva F es:

F(x) =

⎞ x2 1 ⎛ x2 ln(x + 1) − ⎜ − x + ln(x + 1)⎟ + C 2 2⎝ 2 ⎠

Además, como F tiene que pasar por (1,0):

⎫ ⎞ x2 1 ⎛ x2 ln(x + 1) − ⎜ − x + ln(x + 1)⎟ + C ⎪ 1 1 1 1 1 1 2 2⎝ 2 ⎠ ⎬ ln(2) − + − ln(2) + C = 0 → + C = 0 → C = − 4 2 2 4 4 ⎪2 F(1) = 0 ⎭ F(x) =

F(x) =

⎞ 1 x2 1 ⎛ x2 ln(x + 1) − ⎜ − x + ln(x + 1)⎟ − 2 2⎝ 2 ⎠ 4

Ejercicio 3.- Considera las matrices

⎛ 0 1 1 ⎞ A=⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 ⎠ ⎛ 1 −1 1 ⎞ B = ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 2 3 ⎠ Determina, si existe, la matriz X que verifica AX + B = A 2

En primer lugar, despejamos X aprovechándonos de la propiedad de la inversa: AA −1 = I

AX + B = A 2 AX= A 2 − B

A −1 AX = A −1 ( A 2 − B ) X = A −1 ( A 2 − B )

A continuación, calculamos la inversa de A

⎧ 0 1 1 ⎪A = 1 0 0 ⎪ 0 0 1 ⎪⎪ A −1 → ⎨ ⎛ 0 ⎪ ⎪adj(A) = ⎜ −1 ⎜ ⎪ ⎝ 0 ⎪⎩

= −1

⎛ 0 −1 0 1 ⎜ →A = −1 0 1 −1 ⎜ −1 0 ⎞ ⎝ 0 0 −1 0 0 ⎟ ⎟ 1 −1 ⎠ −1

⎛ 0 1 1 Obtenemos también la matriz A = A ⋅ A = ⎜ 1 0 0 ⎜ ⎝ 0 0 1 2

⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞ ⎟ = ⎜ 1 0 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠

⎞⎛ 0 1 1 ⎟⎜ 1 0 0 ⎟⎜ ⎠⎝ 0 0 1

⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎟ =⎜ 0 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠

Finalmente, calculamos X

⎛ 0 1 0 X = A ( A − B ) = ⎜ 1 0 −1 ⎜ ⎝ 0 0 −1 −1

2

⎛ 0 1 0 ⎜ 1 0 −1 ⎜ ⎝ 0 0 −1

⎞⎛ 0 1 0 ⎟ ⎜ −1 2 1 ⎟⎜ ⎠ ⎝ 1 −2 −2

⎞ ⎛⎛ 1 0 1 ⎟ ⎜⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝⎝ 0 0 1

⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎞ ⎟ − ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎟ = ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎠ ⎝ −1 2 3 ⎠ ⎠

⎞ ⎛ −1 2 1 ⎞ ⎟ = ⎜ −1 3 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 2 ⎠

⎧ x + 2y − z = 3 ⎩2x − y + z = 1

Ejercicio 4 .- Sea la recta r definida por ⎨

a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas. En primer lugar, obtenemos el haz de planos que contiene a la recta r. Esto se obtiene realizando una combinación lineal entre los dos planos que definen la recta, de modo que dicha combinación quede expresada en función de un parámetro α

⎧ x + 2y − z = 3 ⎧ x + 2y − z − 3 = 0 →⎨ → x + 2y − z − 3 + α ( 2x − y + z − 1) = 0 ⎨ ⎩2x − y + z = 1 ⎩( 2x − y + z − 1 = 0 ) ⋅ α

A continuación, como el plano buscado tiene que pasar por el origen, obligamos a que el punto 0(0,0,0) cumpla la ecuación del haz de planos, lo cual nos permitirá calcular el valor de α que satisface esa condición.

0 + 2 ⋅ 0 − 0 − 3 + α ( 2 ⋅ 0 − 0 + 0 − 1) = 0 → −3 − α = 0 → α = −3 ⎧α = −3 → x + 2y − z − 3 − 3( 2x − y + z − 1) = 0 → −5x + 5y − 4z = 0 ⎨ ⎩ x + 2y − z − 3 + α ( 2x − y + z − 1) = 0 b) Calcular las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto (1,1,0). El plano buscado tiene como vector normal al vector de la recta r y pasa por el punto (1,1,0). Para calcular el vector de la recta, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen:

i

j

k

1 2 −1 = 2 −1 1

(1

−3 −5

!"

)=v

r

Por tanto, el plano buscado:

!" ! ⎧vn = (1,−3,−5) ⎧ x − 3y − 5z = D π≡⎨ →⎨ → x − 3y − 5z = −2 ⎩ P(1,1,0) → 1− 3 = D ⎩ P(1,1,0)