INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

τ = tensión tangencial o tensión de corte. De la misma forma que se grafica la relación σ- ε, puede hacerse con la de τ - γ. Para el caso del acero común la ...

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ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 1.1.

RESISTENCIA DE MATERIALES

1.1.1. Conceptos Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la cátedra de ESTABILIDAD I, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones sería imposible resolver un problema de gran importancia práctica como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro. Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples. a) Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparación con la tercera, como caso particular, pueden ser de sección transversal constante y de eje rectilíneo.

Fig. 1.1: Barra de eje curvo

Fig. 1.2: Barra de eje recto

La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje de la barra. b) Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones.

Fig. 1.3: Placa /2004

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c) Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones.

Fig. 1.4: Bóveda

d) Bloque: Es un cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden. En la Resistencia de Materiales (Estabilidad II) se estudian principalmente, los casos de barras que tienen sección constante y eje recto. Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios motivos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la falla por rotura, deformaciones excesivas o pandeo. La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. Feodosiev ha dicho que la Resistencia de Materiales puede considerarse como Mecánica de Los Sólidos Deformables. La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas. Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos: a) Dimensionamiento b) Verificación En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido: § § §

Con seguridad En perfecto estado Con gastos adecuados

El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes.

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1.1.2.

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Hipótesis fundamentales

a) El material se considera macizo (continuo). El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detectarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada. Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones continuas. b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos). El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en esta hipótesis son satisfactorios. c) El material de la pieza es isótropo. Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades en todas las direcciones. d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas. Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen en un sólido no sometido a cargas. Esta hipótesis no se cumple prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se originan estas fuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigón durante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudio especial. e) Es válido el principio de superposición de efectos. Ya se ha hecho uso de este principio en la cátedra de ESTABILIDAD I, para el caso de sólidos indeformables. Al tratarse de sólidos deformables este principio es válido cuando: - Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños en comparación con las dimensiones del sólido. - Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas. Estos sólidos se denominan “sólidos linealmente deformables”. Por otro lado, siendo que las deformaciones son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio correspondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuración inicial, es decir, sin deformaciones. Lo que hemos enunciado en este último párrafo es válido en la mayoría de los casos, no obstante, cuando analicemos el problema del pandeo de una barra elástica veremos que este criterio no puede ser aplicado. f) Es aplicable el principio de Saint – Venant Este principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de las mismas. Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir un sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que puede conducir a la simplificación del cálculo. g) Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientemente prolongado. Las cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinámicas, y como veremos en el ca/2004

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pítulo 11, las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o cuasi-estáticas.

1.1.3.

Método

Al realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por la elección de un esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura se debe, ante todo, separar lo importante de lo que carece de importancia, es decir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellos factores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistema como tal. Este tipo de simplificación es en todos los casos absolutamente necesario, puesto que la solución del problema que considere todas las propiedades de la estructura es imposible debido a que, en general éstas son inagotables. Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cable de un ascensor. Debemos considerar ante todo el peso de la cabina, su aceleración y, en el caso de que se eleve a gran altura, el peso del cable. Simultáneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca importancia como la resistencia aerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométrica a distintas alturas, la variación de la temperatura con la altura, etc. Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes, según la exactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que interesa analizar. Por otro lado, un hecho muy importante a tener en cuenta es que a un mismo esquema de cálculo pueden corresponderle muchos objetos reales. Esto reviste gran importancia, pues al estudiar teóricamente cierto esquema de cálculo se puede obtener la solución de toda una serie de problemas reales comunes al esquema dado.

Fig. 1.5

Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones en: a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar con una barra. b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales. c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las cargas concentradas F ig. 1.1 prácticamente no existen en la realidad, sino que son las resultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeñas. d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hecho consideraciones al respecto. El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica del problema, para lo cual, las bases fundamentales de la Resistencia de Materiales se apoyan en la Estática, la que resulta sumamente importante en la determinación de las solicitaciones internas y de las deformaciones. Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las operaciones matemáticas pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejar bien en claro que el cálculo no consiste solamente en el empleo de fórmulas. En efecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el sistema real sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben ser adecuadamente interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo más próximo posible a la solución real. /2004

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Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de la Resistencia de Materiales, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puede enunciarse de la siguiente manera: 1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático). 2) Resolución matemática del problema 3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real.

1.2.

CONCEPTOS DE TENSIÓN Y DE DEFORMACIONES ESPECÍFICAS

Como introducción al tema observemos la máquina de la figura 1.6 la función de esta prensa es la de ensayar muestras de materiales sometidos a esfuerzos de compresión. Para ello se coloca la muestra sobre el piso de la base y se aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el volante del extremo superior. Esta acción somete así a la porción inferior del tornillo a compresión axial y a las barras laterales a tracción axial. Se observa también que la cruceta de cabeza está sometida a flexión y corte, y la parte superior del tornillo a torsión. Si consideramos los compone ntes de prensa, vemos que los mismos están sometidos a diferentes tipos de solicitaciones, las que como ya se ha estudiado en ESTABILIDAD I, generan esfuerzos internos. Por ejemplo, podríamos trazar los diagramas característicos correspondientes a momentos flectores y corte en la cruceta de cabeza. Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un corte como el a-a indicado, veremos que para que la parte superior se encuentre en equilibrio (ver figura 1.7), en esta sección debe aparecer una fuerza F que en realidad representa la acción de la otra parte eliminada. Ahora bien, ¿debemos suponer que en la sección indicada aparece en realidad una fuerza concentrada F? La intuición nos dice que eso no parece lógico, lo razonable es que aparezcan solicitaciones en cada punto de la sección considerada, que no son otra cosa que los esfuerzos que actúan en cada partícula manteniendo la continuidad del cuerpo. La ley matemática que podría corresponderle a estas solicitaciones podía ser la que se indica en la figura 1.7, aunque no lo podemos afirmar rigurosamente si no hacemos un buen estudio del problema. Fig. 1.6

σ

Fig. 1.7 /2004

=

Fig. 1.8 5

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Observemos a continuación el tornillo 2, vemos que en la sección indicada aparece un momento tordente. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es en realidad el resultante de un conjunto de solicitaciones que actúan punto a punto, y con una ley semejante a la indicada en la figura 1.8. También podemos observar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, ya que antes teníamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a la sección, mientras que ahora las fuerzas son yacentes en la sección, con intensidades y sentido cambiantes A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “Los esfuerzos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente. Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabemos que en la sección originada aparecerán fuerzas que mantienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y un entorno de área ∆Ω, sobre dicha área existirá una fuerza elemental ∆F. Haciendo el cociente de ∆F/∆Ω, con ∆Ω ∆ tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o ∆Ω tensión resultante en el punto P, al siguiente límite. ρ = lim

∆ Ω→ 0

∆F ∆Ω

(1.1) Fig. 1.9

La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: intensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg/cm2 (KN/cm2 )

Sistema Internacional de Unidades Fuerza Newton Momento Newton × metro Presión Pascal

1 N ≅ 0,1 Kgf N.m Pa = N / m2

τ

ρ σ

Fig. 1.10

El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas tensión normal (σ) y tensión tangencial (τ). Ver figura 1.10. Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando más gira el volante superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Se observa, así mismo, que la barra se estira ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento δ. Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento δ y la longitud L de la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “deformación unitaria o especifica”

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Fig. 1.11

ε=

δ L

(1.2)

Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un valor distinto de ε. De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una tensión y una deformación. Cabe entonces una pregunta: ¿las tensiones y las deformaciones están relacionadas entre sí? Resolveremos este interrogante en el próximo ítem. Supongamos ahora que quisiéramos graficar la variación Carga – Desplazamiento (F – δ):

Ω

L

δ Fig. 1.12

F Para nuestro análisis, consideremos la posibilidad de combinar las variables sección y longitud; manteniendo las características del material constante.

L1

Ω1

L2

Ω2

Dónde: Ω 2 > Ω1 L2 > L1

Fig. 1.13

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Aún cuando se trata del mismo material, la representación Carga – Desplazamiento va a variar si tomamos en cuenta la sección o la longitud de la barra. F

Ω 2 – L1 Ω 2 – L2 Ω 1 – L2 δ Fig. 1.14

1.3.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

1.3.1. Elasticidad y Plasticidad Si retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F cesa, el alargamiento δ desaparece completa o parcialmente, es decir, la barra tiende a recuperar su longitud original L. Esta propiedad que posee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. Si la barra recupera completamente su longitud inicial, se dice que el material es “perfectamente elástico”; de lo contrario se dice que es “parcialmente elástico”. La “plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamente plástico” cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración deformada. En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico o perfectamente plástico. Algunos materiales como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón pueden ser considerados como perfectamente elásticos dentro de ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados. Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como perfectamente plásticos.

1.3.2. Ley de Hooke La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta ley establece que si la tensión normal σ se mantiene por σ debajo de un cierto valor σp , llamado tensión de proporcionalidad, las deformaciones específicas y las tensiones son directamente proporcionales.

σ = E .ε

(1.3)

arc tg E /2004

ε

8 Fig. 1.15

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E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudinal, o módulo de Young. El valor de E es una característi-ca de cada material. 1.3.3. Diagrama tensión - deformación (σ - ε ) del acero común Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarse experimentalmente. 1 Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean probetas especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en una máquina especialmente diseñada para el ensayo. Como veremos en el próximo capítulo, cuando una barra esta sometido a un esfuerzo axial P, aparecen internamente tensiones normales σ calculables a través de la siguiente expresión: Ω

P σ = Ω

(1.4) L Fig. 1.16: Probeta de acero

Dónde Ω es el área de la sección transversal de la barra. Sabemos también que se originan desplazamientos δ. Si entonces se miden los valores (P ; δ) para cada escalón de carga, se pueden graficar los valores (σ ; ε), que se evalúan mediante las expresiones ya conocidas. Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajo contenido de carbono, el diagrama tenso-deformación resulta como el de la figura siguiente.

En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características: a) Período elástico

1

Área de "Ensayo de Materiales"

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Este período queda delimitado por la tensión σe (límite de elasticidad). El límite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir que pro-

ducida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera como tal cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al 0.001 %. Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el σp (límite de proporcionalidad), dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre σp y σe, si bien es elástica, no manifiesta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones.

En la primer zona :

dσ σ = =E dε ε

(1.5)

En la segunda zona :

dσ = f (ε ) = Módulo de elasticida d reducido dε

(1.6)

En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí. b) Período elasto-plástico Para valores de tensión superiores al límite elástico, si la pieza fuera descargada no recobraría su dimensión original, apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. A medida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye el valor de su tangente, tendiendo a anularse en el tramo final del período, al cual se llega con un valor de tensión que se indica como σf (tensión de fluencia). c) Período plástico (fluencia) Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el material fluye, es decir, aumentan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. En realidad este fenómeno no es tan simple, ya que puede verse que la tensión oscila entre dos valores límites y cercanos entre sí, denominados límites de fluencia superior e inferior, respectivamente. La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la tensión de fluencia. σ p ≅ 0.8 σ F

(1.7)

Las investigaciones demuestran que durante la fluencia se producen importantes deslizamientos relativos entre los cristales. Como consecuencia de estos deslizamientos, en la superficie de la probeta aparecen las llamadas líneas de Chernov - Lüders, que forman con el eje de la misma un ángulo de 45º.

Fig. 1.18

d) Período de endurecimiento y de estricción Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico, luego de la fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento de carga. Sin embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas. La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado “tensión de rotura”, a partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada deformación de rotura, produciéndose la rotura física.

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Fig. 1.19: 10 Fenómeno de estricción

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La tensión σR no es en realidad la máxima tensión que se origina en la probeta sometida a carga. En efecto, alcanzado el valor de la deformación es-

pecífica correspondie nte a σR, comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno denominado “estricción”. Este consiste en la reducción de una sección central de la pieza. Esta reducción, progresiva con el aumento de la carga, hace que las tensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar su concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de σR y cambia su curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformación de rotura ε R. Debido a lo que hemos mencionado recientemente el diagrama que acabamos de ver suele denominarse “diagrama convencional σ - ε”, ya que los cálculos de las tensiones se realizan siempre sobre la base de suponer la sección transversal constante, con área igual a la inicial. Una valoración cuantitativa del fenómeno de estricción esta dada por el “coeficiente de estricción lateral”, el cual se define según la siguiente expresión:

ϕ=

Ωi − Ωf

σ

Ωf

Diagrama efectivo

Dónde: Ω i = área inicial Ω f = área final

Diagrama convencional

En los aceros comunes ϕ ≈ 50 %

1.1.1.1.Fi g. 1.13

ε

ε

R

Fig. 1.20: Diagrama efectivo y convencional

Si al realizar el ensayo de un acero común, una vez alcanzado un punto tal como el M de la gráfica de la figura 1.14, se descarga la probeta, se llega a una tensión nula a través de una recta paralela a la que define el período elástico, quedando una deformación remanente. Si la probeta vuelve a cargarse retoma la curva en el punto N, pero con un nuevo recorrido donde ya no existe el período de fluencia. Así mismo, la zona recta se prolonga hasta un valor σ'p > σp.

σ

N M

σ'p

σp

α

α

ε

Fig. 1.21: Endurecimiento mecánico del acero dulce

El fenómeno anterior de denomina endurecimiento mecánico o por trabajo en frío, y también puede lograrse por laminado en frío, trafilado o torsión. El trafilado se utiliza para endurecer alambres o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en general, con conformaciones superficiales), para hormigón armado. Para estos aceros endurecidos mecánicamente o los de dureza natural, logrado por un mayor contenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama σ - ε resulta ser substancialmente distinto del que hemos visto hasta este punto. Las características más importantes son las siguientes: /2004

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§ § § §

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Sus límites de proporcionalidad y elasticidad son más elevados que los aceros comunes. No poseen un límite de fluencia definido ni tampoco zonas de escurrimiento plástico. La deformación de rotura se reduce considerablemente. Como consecuencia de no existir un límite de fluencia definido, este se determina en forma convencional como la tensión para la cual la deformación especifica remanente alcanzan al 0.2 %.

Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran capacidad de deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan “dúctiles”. Podemos decir que estos materiales avisan la rotura física, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tan grandes, que la estructura llega a la falla por este motivo. Los materiales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce bruscamente, sin grandes deformaciones previas, se denominan “frágiles”.

σ σR σF σp

εp

ε R = 12 %

ε

0,2 % Fig. 1.22: Límite Convencional de Fluencia σ 0,2

1.3.4. Diagrama tensión – deformación para otros materiales Hay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama σ - ε es una curva continua sin tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningún momento verifican la ley Hooke. Un ejemplo clásico es el hormigón, para el cual en general interesa su curva σ - ε en compresión. En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Caben distinguir tres valores del módulo de elasticidad: E= tg α

a) Módulo al origen

(1.9)

b) Módulo instantáneo o tangente. Su valor lo da la pendiente a la curva σ - ε en cada punto: E=

dσ = tg α 0 dε

(1.10)

σ σR

α0 α1 α

ε εR

Fig. 1.23: Módulos tangentes y secantes

c) Módulo secante, el que viene dado por la tangente trigonométrica del ángulo α 1 . Para estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propuso como relación entre σ y ε una ley de tipo exponencial que lleva su nombre: σk = E × ε

(1.11)

donde el coeficiente k depende del material (valor medio,ya que depende de muchas variables):

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Material Hormigón Cobre Latón Cuero

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σ

Coeficiente k k = 1,15 k = 1,10 k = 1,085 k = 0,70

hormigón

cuero

ε Fig. 1.24

En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales presentan además la particularidad de tener un comportamiento diferente en compresión que a tracción, tal es el caso del hormigón.

1.3.5. Diagramas ideales Los diagramas que hemos visto suelen no ser prácticos para trabajar con ellos, por lo que en determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramas idealizados debidos a Prandtl, que resumen las características fundamentales de los tres tipos básicos de materiales. El diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dos tramos rectos: uno inclinado, correspondiente al período elástico; el otro horizontal, materializando el período de fluencia. El período de endurecimiento no interesa porque la deformación al final de la fluencia es tan significativa que el material está en falla antes de llegar a la rotura.

σ

σ

σF

σ σF = σR

σR

εF Fig. 1.25.1: Diagrama ideal para un material dúctil

ε

εR

ε

Fig. 1.25.2: Diagrama ideal para un material frágil

ε Fig. 1.25.3: Diagrama ideal para un material plástico

En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es muy próximo a la tensión de rotura, prescindiéndose entonces del tramo curvo. Para los materiales plásticos el diagrama es una recta horizontal, lo que significa que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incremento de tensión.

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1.4.

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CONSTANTES ELÁSTICAS

El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite determinar valores característicos o constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellos a los llamados módulos de elasticidad. 1.4.1. Módulo de elasticidad longitudinal (E) Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la acción de fuerzas axiales. Esta pieza por acción de la fuerza sufre un alargamiento ∆L. Ω

P

P ∆L

L Fig. 1.26

La relación ∆L/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con ε. Admitiendo para el P material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión σ = , será proporcional a la deformación ε. Ω

σ σ = E ε σ = E ε tg α =

(1.12)

α ε Fig. 1.27

La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es también conocida como módulo de Young. Es la más importante de las cuatro constantes elásticas.

1.4.2. Módulo de elasticidad transversal (G) Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior y de baja altura lo sometemos a una fuerza P en su cara superior. Ω

γ

γ

Fig. 1.28: Distorsión

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La deformación que se produce, muy pequeña, es una distorsión (deformación angular); al ángulo lo llamamos γ. La tensión (coincidente con el plano de la sección) la designamos como τ, siendo: τ=

P Ω

τ = tensión tangencial o tensión de corte

(1.13)

De la misma forma que se grafica la relación σ- ε, puede hacerse con la de τ - γ. Para el caso del acero común la gráfica representativa, es similar a la ya vista para las tensiones normales. Dentro del campo lineal elástico, la constante que vincula la tensión tangencial con la deformación angular, es llamada módulo de elasticidad transversal (G). τ tg β = = G γ (1.14) τ = Gγ

τ

τFl

β γ

Para el acero común τFl ≅ 0,57 σFl

Fig. 1.29: Diagrama Tensión – Distorsión angular

1.4.3. Módulo de elasticidad de volumen (K) Se define como el módulo de elasticidad de volumen (K), a la constante que permite obtener la deformación cúbica específica de un paralelepípedo elemental sometido a presión uniforme. Sea un paralelepípedo inicialmente de lados ∆x, ∆y, ∆z, sometidos a una presión hidrostática p; cada una de las aristas experimentará un acortamiento, lo cual se traduce en una variación de volumen ∆V = Vf - Vi.

∆ ∆

∆

Fig. 1.30: Elemento diferencial

La deformación específica volumétrica está dada por: εv =

Vf − Vi Vi

(1.15)

Esta deformación se vincula a la presión actuante mediante una constante de proporcionalidad, el módulo K. p = K εv (1.16) /2004

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Siendo ε v adimensional, la unidad de K será (Kg/cm2 ). Este módulo de elasticidad volumétrica no es independiente de los dos vistos anteriormente.

1.4.4. Coeficiente de Poisson Al someter a una barra a un esfuerzo axial, además de experimentar deformación según la dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en las direcciones normales a ella. L + ∆L

L a + ∆a

a P

P

Fig. 1.31

εL =

∆L L

;

εt =

∆a a

Llamando con ε L el alargamiento específico en dirección de la fuerza y ε t la deformación específica transversal, se define como coeficiente de Poisson (o módulo de Poisson) a la relación entre: ε µ=− t (1.17) εL o bien: ε 1 m= =− L µ εt El valor de µ es función del material, aunque su variación es pequeña. En general para materiales isótropos, µ varía entre 0,25 y 0,33. En cualquier caso µ < 0,50

Valores de Constantes Elásticas según el material Material Acero Cobre Bronce Hierro fundido Aluminio Madera (paralela a la fibra) Hormigón Mampostería de ladrillo Caucho Corcho

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E (t/cm2 ) 2.000 a 2.100 1.160 a 1.300 1.100 750 a 1600 760 80 a 120 150 a 350 < 120 0.01 -

µ 0.22 a 0.33 0.31 a 0.34 0.32 a 0.35 0.23 a 0.27 0.32 a 0.36 0.10 a 0.20 0.47 ≈ 0.00

16

ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1.5. CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, CARGA ADMISIBLE

DE

TENSIÓN ADMISIBLE Y DE

En el primer ítem de este capítulo hemos enunciado algunas de las causas que pueden provocar la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamiento debemos crear seguridad contra todas las clases de falla posible, la cual puede producirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por e-jemplo, un crecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuya resistencia se ha debilitado por la existencia de vicios ocultos. La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo único que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla. “La seguridad de una construcción siempre estará amenazada por incertidumbres, será satisfactoria cuando las probabilidades de falla queden por debajo del valor considerado como admisible”. Existen numerosas causas de incertidumbres: § Las hipótesis de cargas § Las hipótesis de cálculo § Los errores de cálculos § Defectos del material § Errores de las dimensiones § Errores de ejecución El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el basado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza controlando el valor de la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura. La tensión máxima de trabajo no debe superar cierto valor. σ máx ≤

σL ν

(1.18)

σL: cierto valor límite de la tensión para el material dado ν: un número mayor que la unidad denominado “coeficiente de seguridad” Para el caso de materiales dúctiles el valor límite σL es el límite de fluencia, en el caso de materiales frágiles σL es el límite de resistencia o tensión de rotura. La relación σL / ν recibe el nombre de “tensión admisible”. σL ν

= σadm

(1.19)

La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor grado de incertidumbre que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una serie de criterios, en general probabilísticos, que escapan a los alcances de este curso. Existen reglamentos que establecen los criterios de Dimensionamiento del coeficiente de seguridad, por ejemplo, la norma CIRSOC (SIREA). Para los casos más frecuentes ya existen valores establecidos de los coeficientes de seguridad. Podemos hacer referencia a disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores que varían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de los edificios y los estados de carga considerados. Para estructuras de hormigón armado, los coeficientes de seguridad varían entre 1,75 y 2,10. Para el caso de la madera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a su comportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes más grandes.

/2004

17

ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

Una expresión que es usada con frecuencia para dar un concepto del coeficiente de seguridad, es que éste representa el incremento que debería tener el estado de cargas para producir el colapso de la pieza. Debemos señalar que si bien esto puede ser cierto, solamente lo será si los demás parámetros que intervienen en el problema están totalmente controlados, y no existe ninguna incertidumbre respecto de ellos. En los materiales que tienen un período lineal elástico, la tensión admisible se encuentra en dicha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la ley de Hooke, ya que la tensión de trabajo resulta menor o igual que la admisible. Para los materiales donde no existe un período elástico bien definido, también puede considerarse valida la ley de Hooke ya que para valores bajos de las tensiones, el diagrama σ - ε se aproxima bastante a una recta.

σ

σ

σFl σadm

σ

σ0,2 σadm

σR σadm

ε

σadm =

σF ν

ε

σadm =

σ 0,2 ν

ε

σ adm =

σR ν

Fig. 1.32: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materiales

Al criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridad basado en relación de tensiones lo llamaremos criterio elástico. Además de este existe otro al cual lo llamaremos plástico. La denominación utilizada para identificar a cada criterio, está relacionada al método de cálculo empleado para establecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un método de cálculo elástico, y método de cálculo plástico. El coeficiente de seguridad a través del criterio plástico se establece en base a relación de cargas. Entenderemos como máxima carga estructural, el límite del valor de carga que puede soportar una estructura sin dejar de cumplir satisfactoriamente los fines constructivos a que está destinada. En este caso el valor del coeficiente de seguridad viene dado por

νp =

Prot Máxima Carga Estructura l = Carga real (Carga Admisible ) Ptrab( Padm )

En la materia nos referiremos al coeficiente ? que compara tensiones.

1.5.1.1 Ejemplos de cálculo del Coeficiente de Seguridad. Interpretación del concepto de tensión admisible . Dimensionar las barras de la figura con secciones circulares macizas de acero común. Condición: Ω 1 = Ω2 .

/2004

18

ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

A

B

X1

X2

α 1 α2

C

C

P

P

D.C.L.

α1 = 45º α2 = 30º P = 3 tn. Material : Acero St 37  σ Fl 2,40  σ = = = 1,40 tn cm 2  υ 1,71  X1 = 1,53 tn X2 = 2,19 tn

Ω nec =

Xmáx σadm

=

2,19 t = 1,56cm 2 t 1, 40 cm 2

Tabla ∅ (mm) 10 12 16 20

Ω (cm2 ) 0,78 1,13 2,01 3,14

De Tabla adopto una barra de ∅ 16 mm y de sección Ω = 2,01 cm2 Tensión de trabajo. Coeficiente de seguridad del sistema: σT1 =

X1

σT 2 =

X2

Ω1

Ω2

=

1,53 t = 0,76 2,01 cm 2

t

=

2,19 t = 1,09 2,01 cm 2

t

cm 2

⇒

ν1 =

2

⇒

ν2 =

cm

σFl

σT1 σFl σT 2

2,40  = 3,16  0,76    νSistema = 2,20  2,40 = = 2,20 1,09  =

Mediante el ejemplo anterior tratamos de diferenciar el concepto de tensión admisible, respecto del de tensión de trabajo o de servicio. En el primer caso se determina un valor de referencia, al cual se llega adoptando un coeficiente de seguridad (1,71), que como proyectistas lo estimamos razonable. En tanto los de tensión de trabajo corresponderían a los valores reales que tendría el sistema proyectado, de acuerdo al material utilizado.

/2004

19

ESTABILIDAD II

1.6.

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

ENERGÍA POTENCIAL DE DEFORMACIÓN

Vamos a analizar el proceso de deformación de un sólido elástico desde el punto de vista energético. Las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo elástico realizan cierto trabajo que designaremos W. Como resultado del trabajo realizado, en el cuerpo se acumula cierta energía potencial U del sólido deformado. Al mismo tiempo, parte del trabajo sirve para transmitir ciertas velocidades a la masa del sólido, es decir, se transforma en energía cinética K. El balance de la energía, en el supuesto que no haya pérdidas por fricción, calor, etc., es el siguiente: W=U+K

(1.20)

Si la carga se aplica lentamente, la velocidad del desplazamiento de las masas del cuerpo será pequeña, con lo que la energía cinética será despreciable, luego: W=U

(1.21)

Al descargar el cuerpo, debido a la energía potencial, se realiza cierto trabajo, el necesario para devolver al cuerpo su forma original. En este sentido, un sólido es un a-cumulador de energía, comportándose como un resorte. Si consideramos, por ejemplo, el caso de una barra traccionada mediante una fuerza que varía en forma estática, para un valor de carga P´ la misma tendrá un desplazamiento δ´. Si a partir de ese instante se realiza un incremento de la carga, el alargamiento δ´ tendrá un incremento dδ´. La fuerza P realizará en consecuencia un trabajo, el que producirá un incremento de la energía de deformación acumulada.

Ω

P

P δ

d `δ δ

δ

δ

Fig. 1.33: Energía de deformación acumulada en una barra

dW = dU = P' dδ ' + ½ dP' dδ ' Como el término ½ dP' dδ' tiende a cero por ser infinitésimo de orden superior, podemos afirmar: dW = dU ≅ P´ dδ ’

(1.22)

Para un determinado valor de P, la energía acumulada será: δ

∆

U = ∫ P´ dδ´ = area OAB = O

1 Pδ 2

(1.23)

Podemos ver que el trabajo de la fuerza se obtiene tomando la mitad del producto de la fuerza por el desplazamiento correspondiente. Si la relación entre fuerza y desplazamiento no es lineal, el coeficiente ½ es otro. Si la carga mantiene su valor constante desde el comienzo, el coeficiente se hace igual a la unidad. En algunas aplicaciones es de importancia la energía de deformación por unidad de volumen, también denominada “energía específica de deformación”. /2004

20

ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

δ

U = ∫ P dδ O

ε

dδ = dε L

U =

∫

u=

ε U = ∫O σ dε Vol

O

P=σΩ σ

ε

σ Ω L dε = Ω L ∫ σ dε O

(1.24)

σ σ` d ε`

Podemos ver que la energía de deformación por unidad de volumen resulta ser igual al área encerrada por el diagrama σ - ε. Si la tensión se encuentra dentro del período lineal elástico: u=

/2004

1 1 σ2 1 σε = = Eε 2 2 2 E 2

ε`

ε

ε

(1.25)

21

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

2 SOLICITACION NORMAL Y CORTE PURO 2.1

SOLICITACION NORMAL

2.1.1 Tracción y compresión, tensiones y deformaciones El problema que vamos a estudiar a continuación se refiere a las piezas que están sometidas exclusivamente a esfuerzos internos normales, de tracción o compresión. Si trazamos sobre la superficie de una barra prismática una red de líneas rectas, unas paralelas y otras perpendiculares al eje de la barra, y sometemos a b a la misma a una fuerza de tracción, observaremos a ' b ' que después de la deformación las rectas de la red permanecen ortogonales entre sí en toda la superficie, L excepto en una zona pequeña próxima al punto de aplicación de la fuerza y de la que ahora prescind iremos, mientras que las distancias entre las rectas varían. Las rectas horizontales se desplazan hacia abajo, permaneciendo rectas y horizontales. Es de suponer que en el interior de la barra tiene lugar el mismo fenómeno, lo cual permite enunciar una hipótesis: P δ “Las secciones transversales de las barra, que eran planas y perpendiculares a su eje antes de la defo rmación, permanecen planas y normales a éste desP Fig. 2.1 pués de ocurrir la deformación”. Esta hipótesis, que tiene suma importancia, se conoce como “hipótesis de las secciones planas o hipótesis de Bernoulli – Navier”, y los ensayos confirman las fórmulas que se basan en la misma. Lo expuesto sobre las deformaciones nos permite suponer que en las secciones transversales de las barras actúan solamente tensiones normales, distribuidas uniformemente. Por razones de equilibrio debe entonces ocurrir: P = ∫ σ dΩ = σ ∫ dΩ = σ * Ω → σ = Ω

Ω

P Ω

(2.1)

Los ensayos también demuestran que al estirar la barra, su longitud aumenta, mientras que sus dimensiones transversales disminuyen. Cuando se trata de compresión, el fenómeno se invierte. Si consideramos que el material tiene un comportamiento elástico lineal podemos calcular analíticame nte el valor de δ.

/2005

1

ESTABILIDAD II

δ = ε *L

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

ε=

δ=

σ*L P*L = E Ω*E

δ=

P*L Ω*E

σ E

Puede verse que el desplazamiento δ es directamente proporcional a la carga P aplicada y a la longitud inicial L de la barra. Así mismo, δ resulta inversamente proporcional al producto Ω *E, el cual se denomina “Rigidez Axial”. Efectivamente, este producto representa la oposición de la pieza a la deformación, para lo cual ésta emplea sus propiedades geométricas y mecánicas. Recordemos que no solo existe una deformación longitudinal sino que las dimensiones transversales también varían, obteniéndose una deformación ε’. ε ' = −µ . ε

(2.3)

La suposición anterior sobre la distribución uniforme de las tensio nes internas en la sección transve rsal es valida siempre y cuando no se analicen las zonas próximas a la aplicación de la carga. Aquí se obra de acuerdo al principio de Saint- Venant ya enunciado, el que para el caso concreto de barras establece que la zona de perturbación influye en distancias no superiores a las dimensiones de la sección transversal. Es de hacer notar, también, que las fórmulas anteriores son válidas cualquiera sea el signo de σ, es decir, tanto para solicitaciones de tracción como de compresión. Sin embargo, para estas últ imas tiene sus limitaciones. En efectos, en los cuerpos sujetos a compresión la fórmula 2.1 pierde validez cuando la esbeltez de la pieza supera ciertos valores, a partir de los cuales se presenta un fenómeno denominado “pandeo”, cuyo estudio lo realizaremos en el capítulo 10. Conociendo la relación existente entre P y δ podemos obtener las siguientes expresiones para la energía de deformación: U=

1 1 ΩE 2 1 L 2 Pδ= δ = P 2 2 L 2 ΩE

(2.4)

2.1.2 Aplicaciones En los problemas de dimensiona miento deberán cumplirse dos condiciones básicas, las cuales surgen de despejar el área de la sección transversal, de las fórmulas anteriormente vistas.  P σ  adm  (2.5) Ω≥   PL   E δ adm En los problemas de verificación deberán cumplirse, también, dos condiciones. P ≤ σ adm Ω /2005

PL ≤ δ adm ΩE

(2.6) 2

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

A continuación vamos a desarrollar un ejemplo, para el cual se desea dimensionar las barras del reticulado de la figura 2.2 4 t n

Para las barras 1 y 2 debe emplearse madera con: 2.83 t n

σadm = 80 kg/cm δ adm = L/300 E = 100 t/cm2

2.83 t n

1

2

2

2m

3 2 t n4 m

Fig. 2.2

4m 2 t n

2 t n

Para la barra 3 debe emplearse acero con: σadm = 2.400 kg/cm2 δ adm = L/500 E = 2.100 kg/cm2 - Barras 1-2

P = 2.83 tn P 2.83 Ω nec ≥ = = 35.4 cm 2 σ adm 80 Adoptamos una escuadría de 3" x 2" , siendo 1" = 2,54 cm → Ω = 38.7 cm 2 > Ω nec PL 2.83 * 283 283 ≤ δ adm → = 0.2 cm < = 0.94 cm → B.C. ΩE 38.7 * 100 300 σ trab =

P 2830 = = 73 kg/cm 2 Ω 38.7

- Barra 3

P = 2 tn Ω nec ≥

P σ adm

=

2000 = 0.83 cm 2 → 2400

Adoptamos 1φ 12

Ω = 1.13 cm 2 > Ω nec PL 2 * 400 400 = = 0.34 cm < = 0.8 cm → B.C. Ω E 1.13 * 2100 500 σ trab =

/2005

P 2000 = = 1770 kg/cm 2 Ω 1.13

3

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

En general, cuando existen varias condiciones de dimensionamiento se emplea una de ellas y se verifican las demás. Si alguna de éstas no es satisfecha se procede a redimensionar. Cuando se emplean las fórmulas 2.5, por razones de economía se trata de que se cumplan las igualdades, lo que no siempre es posible ya que debemos adoptar piezas cuyas secciones transversales existan comercialmente. Si en el ejemplo anterior quisiésemos saber el valor del descenso de la estructura en el punto de aplicación de la carga exterior de 4 tn, podríamos calcularlos mediante consideracione s energéticas. En efecto, el trabajo que realiza esa fuerza se convierte en energía de deformación, la cual será igual a la suma de la energía absorbida por cada barra. 3 1 1 Li Pδ=∑ Pi2 2 2 Ω E i =1 i i

1 283 1 400 1  4 δ = * * 2.83 2  * 2 + * * 22 2 2 1.13 * 2.100  2 38.7 * 100  δ = 0.46 cm

Aunque el cálculo anterior parezca muy simple debemos señalar que pudo realizarse me rced a que tenemos una sola carga exterior y además calculamos el corrimiento correspondiente a su punto de aplicación. Para casos mas generales deben aplicarse otros criterios de cálculo, los que no son tratados en este curso.

2.1.3 Influencia del peso propio en la solicitación axial En el estudio que realizamos en el primer ítem de este capítulo solo hemos tenido en cuenta las cargas exteriores, sin considerar el efecto que pudiera tener el peso propio de la estructura. Esto esta permitido cuando esta influencia es despreciable en relación a las tensiones originadas por las cargas exteriores. A continuación estudiaremos el caso de barra de sección constante sometida a una carga exterior y a su propio peso. N (x ) = P + γ * Ω * x

(2.7)

γ = peso específico del material N (x ) P σ (x ) = = +γ x Ω Ω llamando σ o =

P Ω

L d x

σ (x ) = σ o + γ x σ max ( x= L ) = σ o + γ L σ o ≤ σ adm − γ L Ω= /2005

P σ adm − γ L

≤

σ adm

x

γ Ω x P

Fig. 2.3

4

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

Esta última expresión nos permite establecer el límite de utilización de la barra de sección constante. En efecto, cuando σadm = γ*L, el denominador se anula y Ω adquiere un valor infinito. La longitud límite resulta ser: L max ≤

σ adm

(2.9)

γ

A partir de esta longitud es necesario recurrir a las barras de sección variable. Por otra parte, cuando las dimensiones de las barras son grandes y la influencia del peso propio es considerable, el proyectar la barra con sección constante es antieconómico. A continuación vamos a calcular el desplazamiento máximo producido cuando además de una carga exterior actúa el peso propio. Si a la distancia x del borde inferior de la figura 2.3 consideramos un elemento de longitud dx, el mismo tendrá aplicada una carga que viene dada por la ecuación 2.7, la cual le producirá un alargamiento ∆x. N σ P γ ∆ x = ε dx = dx = ( x ) dx =  + x  dx E ΩE Ω E E  δ=

∫

L

0

∆ x =∫

L

0

γ  P L γ L2  P + x dx = +  Ω E E  ΩE 2E (2.10)

δ=

PL γΩL + L ΩE 2Ω E

δ=

PL 1 WL + ΩE 2 ΩE

γ Ω L = W ( peso total de la barra )

De la última expresión se puede deducir que el alargamiento total resulta ser igual a la suma de dos términos, uno de ellos corresponde al alargamiento producido por la carga exterior y el otro corresponde a alargamiento debido el peso propio. Este último puede ser definido como el alargamiento de una barra ideal con su peso concentrado en la mitad de su longitud. En lo que sigue vamos a ver la forma geométrica que tendría que tener una barra sometida a carga exterior en su extremo y a su propio peso, para que fuese un sólido de igual resistencia, es decir, que la tensión fuese constante en todas las secciones. Supongamos que aislamos un elemento diferencial de longitud dx:

σ dx

dW

Ω + dΩ Ω

σ σ = cte = σ adm dW = γ Ω dx

/2005

dx Ω

Ω + dΩ x

Ωo

P

Fig.2.4

5

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

σ(Ω + dΩ ) − σ Ω − dW = 0 ← por equilibrio σ dΩ − γ Ω dx = 0 dΩ γ γ = dx integrado → ln Ω = x + c Ω σ σ (2.11) γ   x +c 

Ω ( x) = e  σ

γ   x 

=eC eσ

para x = 0 → Ω (0 ) = e C = Ω ( x) =

P σ adm

e

P σ adm

 γ   x σ   adm 

Fig. 2.5

En la práctica, la ley exponencial de la ecuación última puede aproximarse como se indica el al figura 2.5.

2.1.4 Deformaciones térmicas Los cambios de temperatura producen deformación en los materiales. En el caso de materiales homogéneos e isótropos, un cambio de ∆T grados origina una deformación lineal uniforme en todas las direcciones. Las deformaciones térmicas lineales se calculan mediante: ∆l = α . l . ∆T donde α es el coeficiente de dilatación térmica lineal Material Aluminio Fundición Cobre Acero Hormigón

α (x 10-6 /ºC) 23.2 10.4 16.7 11.7 10.8

2.1.5 Problemas hiperestáticos en tracción y compresión Como ya sabemos, un sistema resulta hiperestático cuando la cantidad de grados de libertad (g) del mismo resulta menor que la cantidad de restricciones de vínculo (r) impuestas; las que, por otro lado, no configuran ningún caso crítico. g 0 , o sea, µ < 0,5

4.1.3 Energía por variación de volumen y por variación de forma La energía específica de deformación puede considerarse como respuesta de dos partes: u = uV + uF

(4.5)

uv = energía necesaria para producir el cambio de volumen del elemento diferencial infinitésimo considerado. uF = energía que origina el cambio de forma o distorsión del elemento, también llamada “energía de distorsión”. Ya hemos indicado que las distorsiones angulares no provocan cambio de volumen, solo de forma. Por otro lado, las deformaciones específicas producen cambios de volumen y forma. De la expresión correspondiente a “u” vamos a separar la parte inherente a las tensiones tangenciales y la que depende de las tensiones normales.

uτ =

1 2 (1 + µ ) τ 2 + τ 2 + τ 2 τ xy + τ 2xz + τ 2yz = xy xz yz 2G E

uσ =

1 2 σ x + σ 2y + σ 2z − 2µ σ x σ y + σ xσ z + σ y σ z 2E

[

[

]

[

(

]

(4.6)

)]

(4.7)

Consideramos a continuación un elemento sometido exclusivamente a tensiones normales y llamemos: σp = /2005

σx + σy + σz 3

σx , σy , σz

(4.8) 3

ESTABILIDAD II

CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

En la figura 4.3 hemos expresado este caso como suma de los dos estados allí indicados.

A

σy-σp

σp

σy

σx

σx

σp

B

σz

σp σx-σp

= σp

σx-σp

+

σp

σz

σz-σp

C

σy

σz-σp σp

σy-σp Fig. 4.3

εV = εx + εy + εz

3 3(1 − 2µ ) σ p − 2µ σ p = σp E E 1 1 = (σ x − σ p ) − µ (σ Y + σ Z − 2σp ) + [(σ Y − σ P ) − µ (σ X + σ Z − 2σ P )] + E E

[

ε VB = 3ε p = ε VC +

]

[

]

(4.9)

1 [(σ − σ P )− µ(σ X + σ Z − 2σ P )] = E Z

ε VC

  1 − 2µ  = σ x + σy + σ z − 3σ p  = 0 → ε VB = ε VA  4 43 4 E  142 3 σp  

(4.9)

De la ecuación 4.9 puede verse que el estado C no presenta cambio de volumen. El estado B, donde todas las caras están sometidas a la misma tensión, se denomina “estado de tensión hidrostática”.

u V = u VB uV

1 3(1 − 2µ )  σ x + σ y + σ z  = 3σp2 − 6µ σ 2p =   2E 2E  3 

[

]

(1 − 2µ ) [σ2 + σ 2 + σ 2 + 2σ = x

6E

y

z

x

σ y + 2σ xσ z + 2σ y σ z

2

(4.10)

]

uF = u − uV

[

]

1 2 σ x + σ 2y + σ 2z − 2µ (σ x σ y + σ x σz + σ y σ z ) − 2E (1 − 2µ ) σ 2 + σ 2 + σ 2 + 2σ σ + 2σ σ + 2σ σ x y z x y x z y z 6E (1 − 2µ ) σ 2 + σ2 + σ 2 − σ σ − σ σ − σ σ uF = x y z x y x z y z 3E uF =

[

[

]

(4.11)

]

Para el caso general donde además de tensiones normales existen tensiones tangenciales, resulta: uF =

(1 − 2µ )[σ 2 + σ2 + σ 2 − σ x

3E

y

z

x

(

σ y − σx σ z − σ y σ z + 3 τ 2xy + τ 2xz + τ 2yz

)]

(4.12)

La importancia de la energía por cambio de forma estriba en que a ella se le atribuye la fluencia, o sea, el escurrimiento plástico. En función de las tensiones principales:

uF = /2005

(1 + µ ) 6E

[(σ

1

− σ 2 ) 2 + ( σ1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2

] 4

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

4.2 TEORIAS DE COMPARACION – TEORIAS DE FALLA. 4.2.1.1 Introducción. Componentes ingenieriles pueden estar sujetos a cargas complejas de presión, tracción, compresión, torsión, flexión, o una combinación de ellas, de forma tal que para un cierto punto del material se producen tensiones en más de una dirección. Para una determinada relación de valores, tales tensiones combinadas pueden causar la fluencia o fractura del material, aún cuando individualmente no alcancen los guarismos de falla. La predicción de límites seguros para el uso del material bajo tensiones combinadas requiere la aplicación de un criterio de falla. Existen gran cantidad de criterios de falla, algunos de los cuales son aptos para predecir la falla por fractura en un caso, y en otros por fluencia. A los primeros los llamamos criterio s de fractura y a los segundos, criterios de fluencia. Todos los criterios de falla considerados en el presente capítulo están basados en valores de tensiones, de modo que su aplicación involucra el cálculo de valores numérico de tensiones que caracterizan las tensiones combinadas, y luego la comparación de este valor con la resistencia de fluencia o de fractura del material. Un material dado puede fallar tanto por fluencia como por fractura, dependiendo de sus propiedades y del estado de tensiones, de modo que en general debe ser considerada la posibilidad de que cualquiera de los dos eventos ocurra primero. 4.2.1.2 Necesidad de un criterio de falla: La necesidad de la cuidadosa consideración de un criterio de falla es ilustrada por los ejemplos de la figura 4.13. σy

σy

σy σy

σx

σx σx σz

Tracción Uniaxial

σx =-σy Tracción con Compresión Transversal

σy

σy

σy

σx =σx Tracción Biaxial

E 1- µ 1 γ

E 1+µ

E 1 εy

-σy σy ≅ σf

σy ≅ σf / 2

σf

σx =σy =σz =-p Compresión Hidrostática

σf E 1-2 µ 1 γ

εy

εy

-εy

Fig. 4.13 Para estos ejemplos se asume que el material es un metal dúctil, el comportamiento del mismo se aproxima al lineal elástico, perfectamente plástico. El ensayo de tracción uniaxial proporciona el módulo de elasticidad E, y la tensión de fluencia σf (ver fig. 4.13a). Asumamos ahora que aplicamos también una compresión transversal de igual valor que la tracción (4.13 fig.b) en este caso se observa experimentalmente que la tensión σy necesaria para causar la fluencia del material es de alrededor de la mitad del va lor del ensayo de tracción uniaxial. Este resultado es fácilmente verificado realizando un simple ensayo de torsión en un tubo hueco de pared delgada, dónde el estado de tensiones deseado existe para una orientación de 45º respecto al eje del tubo. /2005

5

ESTABILIDAD II

CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

τ

45º

σ1=τ σ2=-τ σ3=0

Fig. 4.14 Consideramos ahora otro ejemplo, la tracción transversal σx de igual magnitud que σy . (4.13 fig.c) Como la compresión transversal disminuye la resistencia a la fluencia, la intuición sugiere que la tracción transversal la incrementa. Pero un experimento demostrará que el efecto de la tracción transversal será pequeña o ausente sobre la fluencia. El experimento podría ser realizado presurizando una esfera hueca de pared delgada hasta la fluencia, o por una combinación de presión y tracción en un tubo de pared delgada. Si se cambia el material por uno frágil, por ejemplo: fundición de acero gris, ni tensiones trasversales de tracción ni de compresión tienen mucho efecto en su fractura. Un hecho experimental adicional de interés es que, es difícil y quizás imposible, hacer llegar a la fluencia a un material si es ensayado bajo presiones hidrostáticas, dónde σx = σy = σz tanto en tracción como en compresión. Esto es ilustrado en la figura 4.13.d. La tracción hidrostática es difícil de lograr experimentalmente, pero la compresión hidrostática consiste en colocar una muestra del material en una cámara presurizada. Así, se necesitan criterios de falla que sean capaces de reflejar tales efectos de tensiones combinadas ya sea para la fluencia o la fractura. Aunque deberían emplearse, en general, ambos criterios, (fractura y fluencia), los materiales que típicamente se comportan como dúctiles, generalmente tendrán limitada su utilidad por fluencia, y aquellos que se comportan típicamente como frágiles están limitados por la fractura. Una alternativa a los criterios de falla basados en tensiones, es analizar específicamente fisuras en el material utilizando los métodos especiales de la mecánica de fractura, tema que escapa a la formación de grado. En la mayoría de los tratamientos que siguen, se asume que el material es homogéneo e isótropo. Los criterios de fluencia considerados en este capítulo predicen el comienzo de la deformación plástica, mas allá de donde la Ley de Hooke cesa de describir completamente el comportamiento tensión- deformación. 4.2.1.3 Forma general del criterio de falla. Un estado multiaxial de tensiones en un cuerpo, es el estado más general que puede presentarse ante una condición de solicitación. En la práctica, suele ser complejo y hasta a veces imposible idear experimentos que puedan cubrir cada detalle y cada particular combinación de tensiones, atento a las dificultades para poder concretarlo como al extraordinario costo que el procedimiento implica. Por tal razón se necesitan Hipótesis, Teorías o Criterios que permitan evaluar, comparar y relacionar un estado de tensión cualquiera con los resultados experimentales del ensayo típico de tracción, cuyo costo es relativamente bajo. En la materia consideraremos dos posibilidades de falla: a) Falla para materiales Dúctiles. b) Falla para materiales Frágiles. En la aplicación de un criterio de fluencia, la resistencia del material está dado por su resistencia de fluencia. La resistencia de fluencia más comúnmente disponible es la resistencia a la tracción σ0 , determinada a partir de un ensayo uniaxial utilizando las deformaciones plásticas ya descriptas.

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ESTABILIDAD II

CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

σ0

ε 0,002

Fig. 4.15 En la aplicación de un criterio de fractura, se utiliza usualmente la resistencia última a la tracción σu. Los criterios de fractura para materiales isotrópicos pueden ser expresados en la forma matemática siguiente: f (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = σ c en la falla ( 4.13) Dónde se predice que ocurre la falla (fractura o fluencia), cuando una función matemática específica, f, de las tensiones normales principales es igual a la resistencia de falla del material, σc, en un ensayo de tracción uniaxial. La expresión matemática también puede ser presentada en función de componentes de tensión según un sistema de ejes cartesianos que no sea el de las tensiones principales. La resistencia de falla es tanto la resistencia de fluencia, o la resistencia última, dependiendo de si es de interés la fluencia o la fractura. Un requerimiento para que sea válido el criterio de falla es que debe dar el mismo resultado sin importar la elección del sistema de coordenadas original del problema. Si cualq uier caso particular de la Fig. 4.13, es dibujado en el espacio de tensiones principales, esto es, en el sistema de coordenadas tridimensional, σ1 ,σ2 ,σ3 , la función f forma una superficie que es llamada superficie de falla. La superficie de falla puede ser tanto, una superficie de fractura o de fluencia. En la discusión de los criterios de falla, procedemos a la consideración de varias funciones específicas f, de ese modo tendremos varios tipos de superficies de falla. Consideremos un punto en una pieza dónde las cargas aplicadas resultan en valores particulares de las tensiones normales principales σ1 σ2 σ3 , y dónde la propiedad del material σc es conocida, y también donde ha sido elegida una función específica f. Es entonces útil definir una tensión efectiva σ , la cual es un valor numérico simple que caracteriza el estado de tensiones aplicadas. En particular, σ = f (σ1,σ2,σ3 )

( 4.14 )

Dónde f es la misma función que en Ec. 4.13. Así, establece que la falla ocurre cuando:

σ = σc ( en la falla) No se espera la falla si: σ < σc

( 4.15) (4.16)

También el factor de seguridad contra la falla es: ? = σc / σ

(4.17)

En otras palabras, las tensiones aplicadas pueden ser incrementadas por el factor ? antes de que la falla ocurra. Por ejemplo, si ? = 2, las tensiones aplicadas pueden ser duplicadas antes de que se produzca la falla. NOTA: al factor de seguridad es preferible expresarlo en términos de cargas aplicadas. Si cargas y tensiones son proporcionales, como es frecuente, el factor de seguridad en tensiones es idéntico al factor en cargas. /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

Se debe tener precaución si no existe tal proporcionalidad, como en los problemas de pandeo. Procederemos ahora a discutir varios criterios de falla, alguno de los cuales son apropiados para fluencia y otros para fractura. Los subíndices para las tensiones principales se asumirán que están asignados en cualquier orden particular relativo a sus magnitudes. 4.2.2.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA TENSION NORMAL (o Teoría de Rankine) Quizás el más simple de los criterios es aquel en que se espera la falla cuando la mayor de las tensiones principales alcanza la resistencia uniaxial del material. Como esta aproximación ha tenido gran suceso en la predicción de la fractura de materiales frágiles debería ser considerado como un criterio de fractura distinguiéndolo del criterio de fluencia. El criterio de fractura de la máxima tensión normal puede ser especificado por una función particular, f, como sigue: σR = MAX(|σ1 | ,|σ2 |, |σ3 |) (en la fractura)

(4.18)

Dónde la notación máxima indica que, de los valores separados por comas, el elegido es el mayor de los mismos. Se consideran valores absolutos de forma tal que puedan ser considerados tensiones de compresión, y se asume que la resistencia última σu es la misma en tracción que en compresión. Un conjunto particular de tensiones aplicadas puede ser caracterizado por la siguiente tensión efectiva:

σ N = MAX(|σ1 | ,|σ2 |, |σ3 |)

(4.19)

Dónde el suscrito N especifica el criterio de la máxima tensión normal. Así, se espera la fractura cuando σ N = σR, pero no cuando es menor, y el factor de seguridad contra la fractura es: ? = σR / σ N

(4.20)

4.2.2.2 Representación gráfica del criterio de la máxima tensión normal Para EPT, tal que σ3 = 0, este criterio puede ser representado gráficamente en una gráfica de σ1 versus σ2 por un cuadrado (Fig. 4.16(a)). Cualquier combinación de σ1 y σ2 que caiga dentro del área cuadrada es segura y cualquiera en su perímetro corresponde a la fractura. Nótese que el cuadrado es la región que satisface: MAX(|σ1 |,|σ2 |)≤σR

(4.21)

Las ecuaciones para las cuatro líneas rectas que forman los bordes de esta región segura son obtenidas (ver Fig. 4.16.b) σ1 =σR, σ2 =σR,

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σ1 = -σR σ2 = -σR

(4.22)

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ESTABILIDAD II

CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

σ2

σ2 σR

σ2 = σR fractura

DN

(σ1,

D

σ2 ) σ1

σ1

σR

-σR

σ2 = -σR -σR

σ1 = -σR

σ1 = -σR

a) b) Fig. 4.16: Localización de falla para el criterio de la máxima tensión normal para EPT Para el caso general, dónde las tres tensiones principales pueden ser distintas de cero, la Ec.4.19 indica que la región segura es la acotada por: σ1 = ± σR,

σ2 = ± σR,

σ3 = ± σR

(4.23)

Cada una de las cantidades de arriba representa un par de planos paralelos normales a uno de los ejes principales e interceptan cada uno en +σR y -σR . La superficie de falla es asimismo un simple cubo (ver Fig. 4.17). Si uno de los valores de σ1 , σ2 o σ3 es cero, entonces sólo necesita considerarse la región bidimensional fo rmada por la intersección del cubo con el plano de las dos restantes tensiones principales. Tal intersección es mostrada para el caso de σ3 = 0, y el resultado es por supuesto el cuadrado de la Fig. 4.16. σ3

(σ1, σ2, σ3 ) DN

σR D 0

σR

σ2

σR σ3 =0

σ1

Fig. 4.17 : Superficie de falla tridimensional para el criterio de la máxima tensión normal. 4.2.2.3 Interpretación gráfica del factor de seguridad Consideremos un punto en la superficie de una pieza o componente, dónde prevalece EPT, de forma tal que σ 3 = 0. Además, asumamos que incrementando la carga aplicada, dicho incremento de carga provoca un aumento en las tensiones σ1 y σ2 , manteniéndose constante la relación σ2 /σ1, está situación se conoce como carga proporcional. Por ejemplo, para cargas de presión en un tubo de pared delgada, con extremos cerrados, las tensiones mantienen la relación σ2 /σ1 =0.5, dónde σ1 es la tensión circunferencial y σ2 la longitudinal. /2005

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

En tal caso, la interpretación gráfica del factor de seguridad, puede ser hecha como es ilustrada en la figura 4.16 (a). Sea D la distancia desde el origen al punto correspondiente a las tensiones aplicadas (σ1 –σ2 ). Luego extendemos la línea recta hasta que toque la línea de fractura, y denotamos la distancia resultante como DN. El factor de seguridad contra la fractura es la relación entre dichas longitudes. ? = DN / D

(4.24)

Para el caso particular de EPT, y asumiendo por conveniencia que σ1 tiene el mayor valor absoluto y es positivo, ec. 4.24 puede verificarse como sigue:

σ N = MAX ( σ 1 , σ 2 ) = σ 1

(4.25)

Por semejanza de triángulos en la Fig. 7.16 (a)

σ R DN = σ1 D

(4.26)

Como el factor de seguridad es ? =σu / σ N, las dos ecuaciones de arriba se combinan para dar la (4.24). Extendiendo el procedimiento, la ecn. 4.24 es fácil de aplicar teniendo en cuenta los signos y magnitudes relativas de σ1 y σ2 . Tal representación gráfica del factor de seguridad, y específicamente la de la ecuación 4.24, también se aplica al caso general tridimensional ilustrado en la figura 4.17. Las distancias D y DN, son medidas aún sobre una línea recta, pero en este caso la línea puede estar inclinada con respecto a los tres ejes principales. Tal interpretación del coeficiente de seguridad en términos de longitudes de líneas para carga (tensiones) proporcional, es válida para cualquier superficie de falla físicamente razonable, tales como las discutidas más adelante. 4.2.3.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA TENSION DE CORTE La fluencia de materiales dúctiles, normalmente ocurre cuando la máxima tensión de corte en cualquier plano alcanza un valor crítico τf ,el cual es una propiedad del material . τf = τmáx. (en la fluencia)

(4.27)

Esta es la base del criterio de la máxima tensión tangencial, también conocido como CRITERIO DE GUEST o de TRESCA. Para metales, tal aproximación es lógica, basada en el hecho que los mecanismos de fluencia en una escala microscópica son deslizamientos de planos de cristales, la cual es una deformación por corte que se espera sea controlada por las tensiones de corte. 4.2.3.2 Desarrollo del Criterio de Falla de la Máxima Tensión Tangencial De capítulos anteriores recordemos que la máxima tensión tangencial es la mayor de las tres tensiones principales de corte, la cual actúa en planos orientados a 45° con respecto a los ejes de tensiones principales. A partir de las tensiones normales principales podemos señalar:

τ1 =

σ 2 − σ3 2

, τ2 =

σ1 − σ3 2

, τ3 =

σ1 − σ 2 2

(4.28)

Por lo tanto, este criterio de fluencia puede plantearse como sigue: /2005

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

 σ1 − σ 2 σ 2 − σ 3 σ 3 −σ1 τ f = MAX  , , 2 2 2 

  en la fluencia  

(4.29)

La tensión de fluencia en corte, τf, para un cierto material podría ser obtenida directamente de un ensayo de corte simple, tal como un tubo cilíndrico hueco sometido a torsión. De cualquier manera, sólo se dispone en general de resistencia de fluencia σf de ensayos de tracción, de forma que es más conveniente calcular τf a partir de σf. En un ensayo uniaxial, para las tensiones definidas como resistencia de fluencia, tenemos, σ1 = 0 , σ2 = σ3 = 0

(4.30)

Sustituyendo estos valores en el criterio de fluencia (Ec. 4.29) tendremos: τf = σf / 2

(4.31)

Nótese que en un ensayo uniaxial, la máxima tensión de corte ocurre en planos orientados a 45° con respecto al eje de la tensión aplicada. Este hecho y la ecn. 4.31 son fácilmente verificables usando el CIRCULO de MOHR. (Ver Fig.4.18). σ1

τ

σ1

σ1 45o

(σ´ , t ´) 90o

σ’ = σ1 /2 0

τ’ = σ1 /2 .

σ

(σ1 , 0)

Fig. 4.18: plano de la máxima tensión de corte en un ensayo uniaxial. La ec. 4.29 puede entonces escribirse en términos de σf. σf

 σ1 − σ 2 σ 2 −σ 3 σ 3 − σ1 = MAX  , , 2 2 2 2 

ó

  en la fluencia  

σ f = MAX ( σ 1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ 1 ) en la fluencia

(4.32)

(4.33)

La tensión efectiva es definida más convenientemente como en la ec. 4.15, de forma tal que iguale a la resistencia uniaxial σf en el punto de fluencia.

(

σ S = MAX σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ3 − σ1

)

(4.34)

Dónde el subíndice “s” especifica el criterio de la máxima tensión tangencial. (“S”→ de Shear) El factor de seguridad contra la fluencia es : σ ? = 0 (4.35) σs 4.2.3.3 Representación gráfica del criterio de la máxima tensión tangencial /2005

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

Para EPT, al que σ3 =0, el criterio de la M.T.T. puede ser representado en un gráfico σ1 -σ2 (Ver 4.19 (a)). Los puntos sobre el hexágono distorsionado corresponden a la fluencia, y los puntos dentro del mismo son seguros. El lugar de falla puede obtenerse sustituyendo σ3 = 0 en el centro de fluencia de ecuación . σ f = MAX ( σ 1 − σ 2 , σ 2 , σ 1 ) (4.36) La región de no fluencia, dónde σ S < σf , es así la región acotada por dos líneas: σ1 - σ2 = ± σf ;

σ2 = ± σf ;

σ1 = ± σf

(4.37)

Estas líneas son mostradas en la figura 4.19 (b). Nótese que la primera ecuación de arriba da un par de líneas paralelas con pendiente unitaria, y los otros dos pares dan líneas paralelas a los ejes coordenados. Para el caso general, dónde las tres tensiones principales normales son distintas de cero los contorno de la región de no fluencia son obtenidas de la ecuación 4.33. σ1 - σ2 = ± σf ,

σ2 - σ3 = ± σf ,

σ1-σ3 = ± σf

(4.38)

Cada uno de los cuales da un par de planos inclinados los cuales son paralelos a la dirección de la tensión principal que no aparece en la ecuación. Por ejemplo, la primera ecuación representa un par de planos paralelos a la dirección de σ3 σ2

σ1 - σ2 = - σf

σf

σ2

σ2 = σf σ1 = σf σ1

σ1 -σf

σf

0

-σf

σf

0

σ1 = - σf -σf

-σf

σ1 - σ2 = σf

σ2 = -σf

Fig. 4.19: Localización de la falla para el criterio de la máxima tensión tangencial para EPT. Estos tres pares de planos forman un tubo con una sección transversal hexagonal (ver Fig. 4.20). El eje del tubo es la línea: σ1 = σ2 = σ3

(4.39)

El diagrama de la siguiente figura es particularmente interesante pues permite visualizar a escala un estado de tensión tridimensional.

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σ3

σ3 eje

D´ S D´

(σ1,σ2,σ3)

σ2

σ3 = 0 σ1

σ1

σ2

(a) (b) Fig. 4.20: Superficie de falla tridimensional para el criterio de fluencia de la máxima tensió n tangencial. a) El límite del principio de fluencia está representado por un prisma hexagonal del cual el eje es la diagonal (s1 = s2 = s3). b) El sistema de ejes s1, s2, s3 está ilustrado según una proyección isométrica. 4.2.3.4 Las Tensiones Hidrostáticas y el Criterio de la Máxima Tensión de Corte Consideremos el caso especial de un estado tensional en el que las tensiones principales son todas iguales: σ1 = σ2 = σ3 = σh

(4.40)

De forma tal que es un estado de tensión hidrostática σh . Por ejemplo , el material podría estar sujeto a una presión P, de forma tal que σh =-p. Este caso corresponde a un punto sobre el eje del cilindro hexagonal, de fig 4.20. Para tal punto, la tensión efectiva σ S de ecuación 4.34 es siempre cero, y entonces, el factor de seguridad contra la fluencia es infinito. Así, el criterio de la M.T.T. predice que presiones hidrostáticas actuando solas no producirán la falla. Esto parece ser sorpresivo, pero de hecho concuerda con resultados experimentales en metales bajo compresión hidrostática. Los ensayos en tracción hidrostática son esencialmente imposibles, pero probable mente ocurriría la fractura frágil, sin fluencia, para altos niveles de tensiones, aún en materiales normalmente dúctiles. La interpretación del factor de seguridad en términos de longitud de líneas desde el origen en un espacio de tensiones principales es también válida para el criterio de la MTT. Para los casos tridimensionales, pueden usarse las proyecciones de las longitudes normales al eje. Esto es debido a que se espera que las tensiones afecten la fluencia sólo en la medida en que ellas se desvían del eje del tubo hexagonal. ? = D’s /D’

(4.41)

Donde D’s es la distancia proyectada correspondiente a la fluencia, y D’ a las tensiones aplicadas (ver fig. 4.20 b). Ejemplo 1: Un punto de una pieza de material cuyo sf = 3030 kg/cm2, es sometido al siguiente estado de tensiones: σx = 500; σy = 1000; τ xy = 600 kg/cm2. ¿Cuál es el factor de seguridad contra la fluencia? Solución: Primero, notemos que estamos en un caso de EPT, determinamos las tensiones principales normales a partir del círculo de Mohr o de ecuaciones ya conocidas: /2005

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

σ 1 ,σ 2 =

σ x +σ y 2

 σ −σ y ±  x 2 

2

  + τ 2 xy 

s1 ; s2 = 1400 ; 100 kg/cm2

La tercer tensión principal normal es: s3 = 0 La ecuación 4.34 da entonces la tensión efectiva para el criterio de M.T.T. σ s = MAX ( σ 1 − σ 2 ; σ 2 − σ 3 ; σ 3 − σ 1 ) σ s = MAX ( σ 1 − σ 2 ; σ 2 ; − σ 1 )

σ s = MAX (1400 − 100 ; 100 ; − 1400 ) = 1400 kg/cm

2

Por lo tanto el factor de seguridad contra la falla es:

ν =

σf σs

=

3030 = 2,16 1400

Ejemplo 2: Consideremos un tubo hueco de pared delgada cerrado en sus extremos y con una presión externa P. El espesor de la pared es “t”, el radio interno es “r”, y el material dúctil tiene una resistencia de fluencia σf. Encontrar una ecuación para el espesor requerido correspondiente a los valores de r y un factor de seguridad de ? contra la fluencia. Solución: De acuerdo a lo que vimos en la materia: P.r P.r dirección tan gencial σ y = direccion longitudin al σ z = −P direccion radial t 2t Asumiendo que r/t es relativamente grande, σz es pequeña comparada con σx y σy , de forma tal que el problema puede simplificarse adoptando σz = 0 como una aproximación. Debido a que no hay tensiones tangenciales aplicadas, las tensiones de arriba son tensiones principales. P.r P.r σ1 = σ x = , σ2 = σy = , σ3 = σz = 0 t 2t σx =

De la ecuación 4.34, la tensión efectiva para el criterio de la M.T.T. es:

(

σs = MAX σ1 − σ 2 ; σ2 − σ3 ; σ3 − σ1

)

 P.r P.r P.r P.r  P.r σs = MAX − ; − 0; 0 − = 2t 2t t  t  t El factor de seguridad contra la fluencia es: ? =

σf σs

=

σ f .t P.r

el cuál da el espesor requerido:

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t=

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X .P.r σf

4.2.4.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA ENERGIA DE DISTORSION. (también conocido como teoría de Hubert-Mises-Hencky) Este es otro criterio comúnmente empleado para metales dúctiles, y dice que el principio de fluencia se produce cuando la energía de distorsión alcanza un valor crítico. De acuerdo a lo visto anteriormente en este capítulo, la energía de distorsión (o energía por variación de forma) por unidad de volumen en base a las tensiones principales viene dada por: u = 1 + µ [(s1 – s2) 2 + (s1 – s3) 2 + (s2 – s3) 2 ] 6E

(4.42)

Para el caso de carga uniaxial, y el valor de la tensión de fluencia u* = 1 + µ [ 2 s 2 f] (4.43) 6E Podemos considerar que u* constituye el valor crítico como la cuestión señalada en el enunciado del criterio de Von Mises para el caso del ensayo uniaxial. De ahí: s f = 1 [(s1 – s2) 2 + (s1 – s3) 2 + (s2 – s3)2 ] 2

(4.44)

Para el caso de EPT donde s1 ? 0 ; s2 ? 0 ; s3 = 0 , la expresión queda s 2f = s 21 + s 22 - s 1 s 2

(4.45)

4.2.4.2 Representación gráfica del criterio de máxima energía de distorsión. La expresión (4.45) es la ecuación de una elipse con su eje mayor a lo largo de la línea σ1 = σ2 la cual cruza los ejes en los puntos ±σf. Nótese que la elipse tiene inscripto dentro el hexágono distorsionado del criterio de la máxima tensión tangencial. σ2 σ1 -σf

σf

0

-σf

Fig. 4.21: Localización de falla para el criterio de fluencia de la máxima energía de distorsión para EPT y su comparación con el criterio de la máxima tensión de corte. Para el caso general, dónde las tres tensiones principales pueden ser distintas de cero, el contorno de la región de no falla como la especificada por la ecuación 4.44 representa una superficie cilíndrica circular con su eje a lo largo de la línea σ1 = σ2 = σ3 . (ver fig. 4.22). La vista a lo largo del eje del cilindro da un círculo. Si cualquiera de la tensiones σ1 , σ2 , σ3 , es cero, entonces la intersección de la superficie cilíndrica con el plano de las dos tensiones principales restantes da la elipse de la fig 4.21

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

σ3 a)

σ2 σ1

eje

σ3

σ3 = 0 b)

eje γ

D’(σ1 , σ2 , σ3 )

β α

σ1

σ2

n D’H

Fig. 4.22: Superficie de falla tridimensional para el criterio de fluencia de la máxima energía de distorsión. El factor de seguridad contra la fluencia puede interpretarse similarmente en términos de las distancias desde el eje del cilindro (ver fig. 4.22 b). La superficie de fluencia de forma de tubo hexagonal del criterio de la máxima tensión de corte, es de hecho inscripta dentro de la superficie cilíndrica del criterio de energía de distorsión. Ejemplo de Aplicación. Un punto de una pieza está solicitado según el siguiente estado tensional: s x = -500 kg/cm2 ; sy = +1000kg/cm2 ; txy = +600 kg/cm2 . Si el material tiene una tensión de fluencia s f = 3030 kg/cm2, determinar el Coeficiente de Seguridad aplicando: a) Criterio de Guest-Tresca (tmáx). b) Criterio de Von Mises (Energía de distorsión) Cálculo de tensiones principales: − 500 + 1000  − 500 − 1000  2 σ 1 ,σ 2 = ±   + ( 600) 2 2   2

s1 = 1210 kg/cm2 s2 = -710 kg/cm2 Para cada criterio, calculamos el valor de la tensión efectiva s = f(s1 s2 s3), tal como se indica en la teoría del capítulo. En base a ello el factor de seguridad contra la falla ? = s falla = s f s s a) s/ criterio de tmáx Para nuestro caso las tensiones principales tienen distinto signo; calculamos s en base a: s = s1 - s2 = 1210 + 710 = 1920 kg/cm2 ? = 3030 = 1,578 /2005

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

1920 b) s/ criterio de Von Mises. En este caso recurrimos a la expresión s

2

= s 2 1 + s 2 2 – s1 s2

s 2 = (1210)2 + (710)2 + 1210 x 710 ; s = 1681 kg/cm2 ? = 3030 = 1,802 1681 Los valores calculados nos indican que el criterio de las tensiones tangenciales máximas es más conservativo que el de la energía de distorsión. Ayuda a interpretar el significado de los factores de seguridad, recurrir a los gráficos con los cuales representamos los criterios de falla. 4.2.5 Discusión y comparación de los criterios de falla básicos. Los tres criterios de falla discutidos hasta aquí, pueden considerarse como básicos entre la cantidad de criterios disponibles. Tanto el criterio de la máxima tensión de corte como el de la máxima energía de distorsión, son ampliamente utilizados para predecir la fluencia en materiales dúctiles, especialmente metales. Recordemos que en ambos criterios la presión hidrostática no afecta la fluencia, y que la superficie de fluencia del tubo hexagonal del criterio de la máxima tensión tangencial esta inscripto dentro de superficie del cilindro circular del criterio de la energía de distorsión. Por ello estos dos criterios nunca dan predicciones dramáticamente diferentes para el comportamiento en fluencia bajo tensiones combinadas, no existiendo estado de tensiones donde las diferencias excedan el 15%. Esto puede verse en la fig. 4.23, dónde la distancia del eje del cilindro a las dos superficies de fluencia difieren en su cantidad máxima en los puntos dónde el circulo esta más alejado del hexágono. σ3 σ0

Máxima tensión de corte Energía de distorsión

σ0 σ1

D’S

σ0

σ2

D’H

Fig. 4.23 De la geometría, la distancia en esos puntos tiene una relación de 2 /√3 = 1,155. Debido a esto el factor de seguridad y las tensiones efectivas para un estado de tensiones dado, no puede diferir en más de esa cantidad. Para EPT, σ3 = 0, tal desviación máxima ocurre para corte puro, dónde σ1 = -σ2 = t, y también para σ1 = 2 σ2 , como en la carga de presión de un tubo de pared delgada con sus extremos cerrados. De cualquier manera nótese que en algunas situaciones el criterio de la máxima tensión tangencial y el de la energía, dan predicciones sobradamente diferentes que el de la máxima tensión normal. Comparemos la superficie de fluencia tubular de ambos con el cubo de la fig. 4.17, y consideremos estados de tensiones cercanas al eje del tubo (σ1 = σ2 = σ3 ) pero bien mas allá de los contornos del cubo. Para EPT, se comparan los tres criterios en fig. 4.24.

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

Dónde ambas tensiones principales tienen el mismo signo, el criterio de la máxima tensión tangencial es equivalente al de la máxima tensión normal. Así mismo, si las tensiones principales tienen distinto signo, el criterio de la máxima tensión normal difiere considerablemente de los otros dos. σ2 /σc Máx. Egía.Dtsión distorsiónoctaédricas

1

Máx. tensión de corte σ1 /σc -1

1

Al Acero, Ni, Cr, Mo Fundición de hierro gris

-1

Fig. 4.24 Localización de falla para EPT para los tres criterios El método más conveniente para comparar experimentalmente criterios de falla es ensayar tubos huecos de pared delgada bajo varias combinaciones de esfuerzo axial, torsión y presión, produciendo así varios estados planos de tensiones. Algunos datos obtenidos de esta manera para fluencia de material dúctil y fractura de material frágil se muestran en la figura 4.24. El acero de fundición gris sigue el criterio de la tensión normal, mientras que los datos de fluencia tienden a caer entre los dos criterios de fluencia, quizás coincidiendo mejor en general con el criterio de la energía de distorsión máxima. El criterio de la máxima tensión tangencial es más conservador. Basado en datos experimentales para metales dúctiles similares a los de la figura 4.24, este criterio parece presentar un límite inferior que es raramente violado. La diferencia máxima del 15% entre los dos criterios de fluencia es relativamente pequeña comparado con los factores de seguridad comúnmente utilizados y las incertidumbres usualmente involucradas en el diseño mecánico, de esa forma la elección entre los dos carece de mayor importancia. Si se desea ser conservador, debería elegirse el criterio de la máxima tensión tangencial. 4.2.6 Teoría de Mohr “Los límites de fluencia y de rotura de un material quedan definidos por las tensiones que desarrollan en los planos de deslizamientos y fractura. La tensión tangencial en el plano de fractura o escurrimiento alcanza para el estado límite un valor máximo, que es función de la correspondiente tensión normal y de las características del material”. Supongamos un punto sujeto a un determinado estado de tensión y hagamos crecer al s tensiones principales σ1 y σ2 hasta alcanzar la rotura si se trata de un material frágil, o el comienzo de la fluencia si es dúctil. Alcanzando el estado de rotura dibujemos la circunferencia de Mohr. Repitiendo el concepto para otros estados de tensión obtendremos toda una familia de circunferencias que corresponden a estados de rotura. La curva envolvente se denomina “envolvente de Mohr o curva de resistencia intrínseca”.

/2005

18

ESTABILIDAD II

CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

M5

M4

τ M3 M2

σ

2

σ

1

M1

σ

Fig. 4.25 Dado un estado de tensión, el mismo será determinante de la rotura o fluencia si la circunferencia de Mohr corta la curva o es tangente a la misma. La dificultad de esta teoría radica en que la curva intrínseca puede conocerse en forma experimental. Sin embargo, tiene una ventaja importante en cuanto a que es mas general que las anteriores, siendo aplicable tanto a materiales dúctiles como frágiles, aunque responde más a las características de rotura de los últimos. Una de las aplicaciones más importantes que tiene la teoría de Mohr es en la Mecánica de Suelos, para el estudio de la capacidad portante de los mismos.

/2005

19

ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

5 TORSIÓN 5.1 INTRODUCCION Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión simple, cuando la reducción de las fuerzas actuantes sobre éste, a un lado de la sección, da como resultado una cupla que queda contenida en el plano de la misma. La solución rigurosa del problema, para cualquier sección sólo puede obtenerse aplicando la Teoría de la Elasticidad, lo que escapa a los alcances de este curso. Con las herramientas de que disponemos en la Resistencia de Materiales vamos a realizar el estudio para algunas secciones particulares tales como la circular, la anular y los tubos de paredes delgadas, para las cuales la solución se encuentra planteando hipótesis muy sencillas. Para otras secciones tales como las rectangulares o los perfiles laminados, solamente analizaremos los resultados. El problema de torsión simple se presenta muy pocas veces, ya que en general aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, lo que estudiaremos es totalmente general, dado que aplicando el principio de superposición de efectos, a partir del problema de torsión simple puede llegarse a otros casos de torsión compuesta.

5.2 SECCION CIRCULAR Para esta sección es valida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica experimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas como huecas. La hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión. Además, luego de la deformación, las secciones mantienen su forma. Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienen rotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas cont inúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices. A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con la compatibilidad de las defo rmaciones, deseamos saber qué tipo de tensiones genera la torsión simple y cual es su distribución. Supongamos en primera instancia que aparecen tensiones normales σ. Su distribución no podría ser uniforme ya que de ser así existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en forma variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas ε variaran también punto a punto, y la sección no continuaría siendo normal al eje, no siendo válida la hipótesis de Coulomb, que indica que la sección se mantiene plana. En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión aparecen únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensiones constituyan un sistema estáticamente equivalente al momento torsor Mt debe ocurrir que:

∫ t zx dO = 0

(5.1)

∫τ

(5.2)

Ω

Ω

/2005

zy

dΩ = 0

1

ESTABILIDAD II

∫ (τ

Ω

zx

CAPITULO V: TORSIÓN

)

y + τ zy x dΩ = Mt

(5.3)

Resulta evidente que si tomamos un elemento diferencial en coincidencia con el borde de la sección, la tensión tangencial τ deberá ser tangente a la circunferencia, ya que de no ser así existirá una componente de τ radial, la que, por Cauchy, originaría una tensión tangencial aplicada sobre una generatriz del cilindro. Esto que ocurre en el borde puede admitirse que también acontece en el interior, con lo que las tensiones tangenciales beberían ser normales al radio. Además, para que puedan cumplirse las ec. 5.1 y 5.2 debe ocurrir que las tensiones tangenciales sean antimétricas a lo largo de los diámetros de la sección.

Fig. 5.1

De lo visto podemos obtener algunas conclusiones: -

sólo existen tensiones tangenciales su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica su dirección es normal al radio

A continuación trataremos de establecer la ley de distribución de las tensiones. Para ello cons ideramos que aislamos de una barra torsio nada una tajada de longitud unitaria. El ángulo que giran ambas secciones será θ, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión ”.

)) γ AA' = r θ ≅ γ 1 → θ = r γ )) BB' = R θ ≅ γ R 1 → θ = R R γ γR = r R

→

γ=

γR R

(5.4)

r

El ángulo γ resulta ser el “ángulo de distorsión” de la sección. Debemos tener presente que si el ángulo θ es pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer γ ≅ tg γ. De acuerdo a la ley de Hooke:

τ=γG ≅

γR R

G r = θGr (5.5)

Fig. 5.2

τ = θG r /2005

2

ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

De la expresión 5.5 se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección: τ max = G θ R Mt =

∫ τ r dΩ = ∫ G θ r Ω

2

dΩ

Ω

Mt = G θ ∫ r 2 dΩ = G θ I p Ω

Mt θ= G Ip

(5.6)

Mt r Ip

(5.7)

τ=

Fig. 5.3 El ángulo de torsión específico θ resulta directamente proporcional al momento torsor e inversamente proporcional al producto G. Ip que recibe el nombre de “Rigidez a la torsión” y que mide la resistencia a dejarse retorcer. Para el dimensionamiento debemos tener acotado el valor de la tensión tangencial máxima. τ max =

Mt Mt Mt R= = Ip Ip Wp R

(5.8)

WP = módulo o momento resistente polar τ max =

Mt Mt ≤ τ adm → Wp ≥ Wp τ adm (5.9)

πD 4 32 πD 3 Wp = = D/2 16

→

D≥

3

16 Mt π τ adm

En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las secciones extremas de una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo se denomina “ángulo de torsión” y resulta ser la suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de la pieza. Mt φ = ∫ θ dl = ∫ dl (5.10) l l G Ip Para el caso particular en que Mt = cte. en todo el cuerpo entonces: φ=θl=

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Mt l G Ip

(5.11)

3

ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

Si interesa evaluar la energía de deformación absorbida en la torsión, su expresión es la siguiente: τ2 u= 2G τ2 U = ∫ u τ dVol = ∫ dΩ ⋅ dl vol vol 2G 2

U =

 Mt ⋅ r  1 ∫l dl ∫Ω  Ip  2G dΩ

Mt 2 U =∫ dl ∫ r 2 dΩ l 2GIp 2 Ω U =

; si Ip =

∫r Ω

2

dΩ

(5.12)

Mt 2 ∫l 2GIp dl

Si analizamos un elemento diferencial del interior de una barra circular torsionada encontraremos un estado de corte puro. Como ya hemos visto, para este caso las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signo contrario e iguales al valor de las tensiones tangenciales. Además actúan a 45º con respecto a los planos de las secciones, formando superficies helicoidales.

Fig. 5.4

Fig. 5.4

5.3 SECCIÓN ANULAR El análisis de este tipo de sección se efectúa partiendo de las fórmulas deducidas para la sección circular llena. La única condición es que debe limitarse la variación de r entre el radio exterior y el interior.

τ max =

16 Mt  D14  3 πD 2 1 − 4   D 2  

(5.13)

Vamos a comparar la eficiencia de una sección anular para absorber torsión con relación a una sección maciza de igual resistencia.

Fig. 5.5

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4

ESTABILIDAD II

τ max

m

τ max

h

α=

CAPITULO V: TORSIÓN

  16 Mt  = 3  πD   D41  3 3  τ maxm = τ maxh → D = D 2  1 − 4  D2    16 Mt  = 4   D  πD32  1 − 14   D 2    D1 D2

→ D = D 2 3 1 − α4

(5.14)

D: diámetro de la sección maciza igualmente resistente a la hueca.

  2 ( 1 − α4) 3  Ωm =ψ=  Ω 1 − α2  h π π Ω h = (D22 − D12 ) = D22 (1 − α 2 )  4 4 Ωm =

πD 2 π = D22 4 4

3

(1 − α )

4 2

(5.15)

Puede verse que, ψ ≥ 1 , lo que significa que la sección hueca es más conveniente que la sección llena ya que siempre se requiere menor área para resistir el mismo esfuerzo. No debemos confundir área con diámetro, ya que para igual resistencia el diámetro de la sección maciza será meno r que el exterior de la hueca. Lo que importa es que aún con menor diámetro, la sección maciza es siempre mas pesada y por ende más cara. Lo que concluimos recientemente se debe a que las tensiones desarrolladas en la parte central de la secFig. 5.6 ción maciza son muy pequeñas y no tienen un aporte muy significativo, por lo que para resistir a la torsión las secciones más convenientes son las huecas. En efecto, si considero una sección anular tal que D2 = 2 D1 , o sea α= 0.50, obtendremos ψ= 1.28. vemos entonces que la sección maciza igualmente resistente es un 28% más pesada que la anular.

5.4 SECCIÓN TUBULAR CERRADA DE PEQUEÑO ESPESOR Consideremos una sección tubular de forma arbitraria pero de paredes muy delgadas con relación a la menor dimensión de la misma (ver Fig. 5.7), sometida a torsión. Admitamos también que el espesor e del tubo varía en forma cont inua. Debido al pequeño espesor del tubo es posible suponer que las tensiones tangenciales son constantes en intensidad y dirección a lo largo del espesor, y que la dirección coincide con la tangente al contorno medio de la sección en el punto considerado. /2005

5

ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

Si en una sección s-s tomamos un elemento diferencial de ancho e y longitud ds (ver Fig. 5.8), sobre el mismo actuará una fuerza elemental dT.

dT = τ e ds

(5.16)

Si elegimos un punto cualquiera del plano de la sección y llamamos r a la distancia al mismo de la fuerza dT tendremos:

Mt = ∫ rdT = ∫ r e τ ds s

s

Fig.5.7 Si separamos del tubo una tajada de longitud unitaria y luego aislamos una porción secciona ndo al eje del tubo (Fig. 5.9), tendremos que según la ley de Cauchy aparecen tensiones verticales que dan dos resultantes T1 y T2 , las cuales deberán ser de igual intensidad por razones de equilibrio. T1 = τ 1 e 1 1    → τ1 e1 = τ 2 e2 T2 = τ 2 e 2 1 Dado que las secciones 1 y 2 son arbitrarias, de lo anterior podemos establecer: τ e = cte .

(5.18)

luego retomamos la ecuación 5.17 obtenemos: Mt =

∫ r e τ ds = τ e ∫ r ds s

s

r ds = 2 dΩ → Mt = 2 τ e ∫ dΩ Ω { Ω

Mt τ= 2e Ω

Fórmula de Bredt

(5.19)

Ω: área que encierra la línea media de la sección Puede verse que en este tipo de sección la tensión tangencial es inversamente proporcional al espesor de la misma, lo que significa que la tensión tangencial máxima ocurre en el lugar donde el espesor es mínimo.

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6

ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

Si deseamos conocer el ángulo especifico de torsión, podemos calcularlo a través de consideraciones energéticas. Text = U

Si tomamos una porción del tubo de longitud unitaria, el giro relativo entre las dos secciones extremas será igual al ángulo específico de torsión. Mt θ = 2

∫

V

τ2 Mt 2 1 Mt 2 dV = 1 × ∫ dΩ = 2 2 2 Ω 2G 4 e Ω 2G 8Ω G

∫

Ω

1 e

2

d{ Ω e ds

(5.20) Mt θ Mt ds Mt ds = → θ= 2 ∫ 2 ∫ s s 2 8Ω G e 4Ω G e 2

5.5 SECCIONES DE OTRA FORMA 5.5.1 SECCIÓN RECTANGULAR En barras de sección no circular, durante la torsión las secciones no permanecen planas, sino que se curvan (alabean). Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales no aparecen tensiones normales. Esta torsión se denomina torsión pura o libre. El cálculo de las tensiones tangenciales en las barras de sección no circular representa un problema bastante complicado que se resue lve por los métodos de la Teoría de la Elasticidad. Exponemos a continuación los resultados fundamentales para barras de sección rectangular cuando a > b. Si la teoría desarrollada por Coulomb para la torsión circular fuera válida para la rectangular, en un punto como el A de la figura 5.10 debería existir una tensión tangencial τA perpendicular al radio vector rA, lo que daría componentes τzx y τzy no nulas, apareciendo tensiones τxz y τyz exteriores que contradicen la hipótesis de torsión simple. La hipótesis de Coulomb no es entonces aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular. La solución exacta del problema, atribuida a Saint Venant, como mencionamos antes, pertenece al dominio de la Teoría de la Elasticidad. En la figura 5.11 hemos indicado la ley de variación de las tensiones tangenciales, pudiendo apreciarse que la tensión tangencial máxima tiene lugar en el centro del lado mayor.

/2005

7

ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

Fig. 5.11

Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión pueden calcularse mediante las fórmulas 5.21, 5.22 y 5.23 respectivamente. Los coeficientes α, β y ?, que son funciones de la relación de lados a/b, pueden obtenerse de la tabla 5.1.

τ zy

max

=

Mt α ab2

τ zx max = γ τ zy θ=

(5.22)

max

Mt β a b3 G

1

a/b

(5.21)

1.5

(5.23)

1.75

2

2.5

3

4

6

8

10

∞

j α

0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

β

0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

γ

1.00 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742

Tabla 5.1

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ESTABILIDAD II

5.5.2

CAPITULO V: TORSIÓN

SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA

Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la Analogía de la Membrana, el cual no lo desarrollaremos en este curso. Para este tipo de secciones se puede suponer una distribución lineal de tensiones a través del espesor. Además, la teoría mencionada muestra que las tensiones varían muy poco si se suponen enderezados los perfiles de modo de transformarse en rectángulos muy alargados. Para rectángulos muy alargados resulta:

Mt

τ max =

θ=

(5.24)

1 ab2 3 Mt

Fig.5.12

(5.25)

1 a b3 G 3

Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento tordente Mt. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión. 1 Si llamamos: J ti = a i b 3i 3 M ti = J ti θ G

Entonces:

Donde Mti corresponde al momento torsor que absorbe un rectángulo i cualquiera que constituye la sección.

∑M

tj

= Mt =

M ti = Mt τ max i

tj

→ Gθ =

Mt ∑ J tj

J ti

∑J

tj

Mt 1 a i b 3i Mt b i 3 = = = 2 1 1 a b J J a i b 2i 3 i i ∑ tj ∑ tj 3

τ max i =

/2005

(∑ J )G θ

Mt i

Mt 1 3

∑a

j

b

3 j

bi

(5.26)

9

ESTABILIDAD II

θ=

CAPITULO V: TORSIÓN

Mt 1 3

∑a

i

(5.27) 3 i

b G

Usualmente el término

1 3

∑a

i

b 3i = Jt

se denomina Momento de inercia torsional.

En el caso de perfiles laminados, el momento de inercia torsional resulta mayor que el calculado mediante la expresión anterior. Es to se debe a que los contornos redondeados incrementan la rigidez de la sección. Jt = η

1 3

∑a

b 3i

i

(5.28)

- para perfiles doble T : η ≅1.20 - 1.30 - para perfiles U : η ≅ 1 < η < 1.30 Los perfiles abiertos no tienen una buena capacidad para resistir torsión. Vamos a tratar de evidenciar esto comparando las rigideces de dos secciones huecas, una cortada y otra entera. θ1 =

θ1 =

θ2 =

Mt 4Ω

2

∫ G

2π R m ds Mt = 2 e 4(πR 2m ) G e

Mt 1 G 2πR m3 e

Mt

1

(2πR )e G 3

3

θ1

1 e =  θ2 3  R m e 1 Si = R m 10

m

   

2

(5.29) Fig. 5.13 →

θ 2 = 300 θ 1

De este ejemplo puede verse que una seción hueca es mucho mas rígida que una sección abierta. Por esto se debe evitar que las barras de sección abierta trabajen a torsión.

5.5 PROBLEMA HIPERESTATICO En la torsión, al igual que en los esfuerzos axiales, se encuentran problemas que no pueden ser resueltos solamente por las ecuaciones de equilibrio. En estos problemas el número de incógnitas es superior al de las ecuaciones de equilibrio que podemos utilizar. El orden a seguir para la solución de estos casos coincide con el empleado al resolver los problemas hiperestáticos de la tracción (compresión). /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

Veamos, en calidad de ejemplo, una barra empotrada en sus extremos, con un momento exterior aplicado en el tramo.

Fig. 5.14

Esta barra es estáticamente indeterminada, puesto que para calcular los dos momentos reactivos en los empotramientos la estática nos propone solamente una ecuación de equilibrio.

Fig. 5.15

Σ Mz = 0 ⇒ MA + MB – M

(5.30)

Retiramos un empotramiento sustituyéndolo por el momento desconocido X.

En el sistema estáticamente determinado, el giro de la sección B es consecuencia del mome nto exterior M y del momento X. Por condición de deformación, la viga isostática debe tener un comportamiento equivalente al de la pieza original. ϕ B = ϕB

M

+ ϕB = 0 X

M ⋅ a  X ⋅ a X⋅b − + G ⋅ I t1  G ⋅ I t1 G ⋅ I t 2 M ⋅a 1 X= = MB b ⋅ I t1 a + I t1 I t 2

ϕB =

/2005

(5.31)  =0  

(5.32)

11

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

6 FLEXION 6.1. FLEXION EN VIGA DE EJE RECTO - INTRODUCCION Supongamos una viga de eje recto, de sección constante, con determinadas condiciones de vínculo, sometido a un estado de cargas genérico: P1 P2

P4 m-m: sección normal al eje de la pieza

m

z

m

x

P3

Fig. 6.1

y

Consideremos una sección m- m y aislamos la porción de la izquierda. Para restablecer el equibrio, trasladamos al baricentro de m- m el efecto de las acciones actuantes a la derecha. P1

m

R

R: Fuerza resultante M: Momento resultante

Fig. 6.2

m M

La fuerza y el momento resultante admiten componentes según la dirección del eje de la pieza, y componentes en el plano de la sección. R‘

G

R

R

R M

G

M’ /2005

Rz → N R’ → Q

Mz → Mt M → Mf

Qx Qy

Mx My

M z

M

Fig. 6.3 1

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Consideramos ahora una viga de eje recto, de sección constante, sometida a un estado de cargas que no produce momento torsor:

Fig. 6.4

η ,ξ : ejes principales de inercia f : eje de carga ≡ traza del plano de momento en el plano de la sección.

Veamos los diferentes casos de efectos de flexión que se pueden presentar, según los esfuerzos existentes en la sección genérica y la ubicación del plano de cargas respecto de los ejes principales de inercia. Sección m

M≠0 N≠0

Flexión Compuesta

Sección m

M≠0 N=0 Q≠ 0

Flexión Simple

Sección m

M≠0 N=0 Q=0

Flexión Pura

Si f = Eje principal→ Flexión Compuesta Recta o Normal Si f ≠Eje principal→ Flexión Compuesta Oblicua

Si f = Eje principal→ Flexión Simple Recta o Normal Si f ≠Eje principal→ Flexión Simple Oblicua Si f = Eje principal→ Flexión Pura Recta o Normal Si f ≠Eje principal→ Flexión Pura Oblicua

6. 2. MOMENTO DE INERCIA El contenido temático de este punto es dictado en la materia Estabilidad I

6. 3. FLEXION PURA RECTA O NORMAL 6.3.1. Conceptos generales – Diagrama de tensiones Tomemos el siguiente caso y analicemos el comportamiento de una porción de viga aledaña a la sección m - m . El estado de cargas es simétrico y produce los diagramas de esfuerzos que se indican. /2005

2

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

La traza del plano de Momento sobre la secciones de la viga, es coincidente con uno de los ejes principales de inercia.

Fig. 6.5 Las cargas exteriores generan un estado tensional interior. Sea un elemento genérico dΩ en la sección m –m .

x

x y

G≡z

τzy

τzx

dΩ

z

σz y

Fig. 6.6 Por condición de equilibrio y de acuerdo a las solicitaciones exteriores actuantes en la sección m - m, se debe cumplir:

∫ σ .dΩ = N = 0

Ω

z

∫ (τ Ω

zx

;

∫τ Ω

.dΩ = Qx = 0

zx

;

∫τ

Ω

xy

.dΩ = Qy = 0

.dΩ.y + τxydΩ.x) = Mz = Mt = 0 ; ∫ σz .dΩ.x = My = 0 ; ∫ σz .dΩ.y = Mx = M Ω

Ω

Para establecer una relación entre las tensiones y las solicitaciones exteriores, deben plantearse condiciones de deformación. Al cargar la viga esta se deforma; el eje z , originalmente recto, experimenta una ligera curvatura, conociéndose a esta ultima con el nombre de elástica. Los puntos sobre el eje representativo de las secciones, experimentan translaciones pequeñas. Dichos desplazamientos pueden considerárselos verticales, lo cual significa que la viga no modifica su longitud. Para el común de las vigas podemos suponer una relación l/h ≈10. Para esta situación es válido lo siguiente: tomar en el tramo central dos secciones próximas entre si, alejadas de los puntos de apli/2005

3

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

cación de las cargas. En correspondencia con las secciones adoptadas, dibujamos en los costados dos líneas rectas individualizadoras de las secciones, antes de aplicar las cargas.A medida que se carga la viga, las líneas pintadas continúan siendo rectas, pero ya no paralelas entre sí; tendrán un giro relativo. Que significa ello: que las secciones originalmente planas y normales al eje de la pieza, se mantienen planas y normales a dicho eje que pasó de su posición recta original a la forma curva de la elástica.

Fig. 6.7 En base a lo expuesto se admiten como hipótesis: a) Después de la deformación, cada sección transversal se conserva plana y normal al eje deformado.( Hipótesis de Bernoulli- Navier). b) En la deformación, unas fibras del sólido se acortan y otras se alargan, existiendo entre ambas una capa de fibras que no sufren variación. Dicha capa se conoce como zona o capa de fibras neutras. c) Las deformaciones que se producen en las fibras están comprendidas dentro del campo de validez de la Ley de Hooke. Al mantenerse planas las secciones, no pueden originarse distorsiones en los elementos de la misma, y en consecuencia, por ser τ = G .γ , no existen tensiones tangenciales.Para encontrar una relación entre tensiones normales y el Momento, analizamos el comportamiento de una fibra genérica de la porción definida por las secciones 1-1 y 2-2. Llamamos: dϕ: giro relativo entre las secciones 1 y 2. O: Centro de curvatura de la pieza deformada ρ: Radio de curvatura de las fibras neutras m- m: Capa de fibras neutras n-n: Intersección de capa de fibras neutras con la sección AB: Fibra en estudio

m

D

E A

B

dϕ

m

n

n y

C

Fig. 6.8 /2005

4

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Trazamos por D una paralela a OE . Comparamos los triángulos OED con DBC: OE ρ

BC AB

Pero

ε =

=

BC y

;

como

= AB

ED

→

BC

=

AB

y ρ

= alargamiento de la fibra por unidad de longitud = ε

σz σz y y ; además por Hooke ε = → = → σ ρ E E ρ

z

=

E . y = cte . y (6.1) ρ

De acuerdo a esta última expresión, la variación de la tensión normal será lineal y directamente proporcional a la distancia a las fibras neutras, determinado en la sección por el eje neutro (n- n). Las deformaciones axiales ε z , se acompañan por deformaciones transversales ε x debidas al efecto de Poisson. Las deformaciones de alargamiento ε z por debajo del eje neutro tienen εx de acortamiento. Por encima del eje neutro ocurre lo contrario. La deformación transversal es despreciable y no se tiene en cuenta al calcular el momento de inercia de la sección.- Determinación de la posición y dirección del eje neutro:

por condición

∑

∫σ

∫

Ω

z

.d Ω = 0 =

Ω

Fz = 0

E E .y .d Ω = ρ ρ

∫ y .d Ω

→ S

Ω

Ω n

= 0 ∴ el eje neutro es baricéntrico.

por condición

∫σ

Ω

z

∑

.x .d Ω = 0 =

M

∫

Ω

= 0

y

E E . y . x .d Ω = ρ ρ

∫ y . x .d Ω

Ω

→ I ny = 0 ∴ el eje neutro y

el eje de carga son ejes conjugados → n ≡ x

por condición

∫σ

Ω

→

z

.y .d Ω = M

x

M =

= 0

x

∫

Ω

E E . y 2 .d Ω = ρ ρ

∫

Ω

y 2 .d Ω =

E .I n → ρ

M x M x E = = ρ In Ix

Reemplazando,

/2005

∑

tenemos:

(6.2)

σ

z

=

M Ix

x

.y

ECUACION FUNDAMENTAL DE LA FLEXION

(6.3)

5

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Para el caso de la sección trapezoidal: σ

f

σ2 Y2

(-)

Fig. 6.9

x ≡n G≡ z Y1

(+) σ1

y

A la zona comprimida le asignamos tensiones de signo (-); a las fibras traccionadas signo (+). M x 1 De (6.2) obtenemos: = (6.4) ρ E .I 1 resulta ser la curvatura de la pieza sometida a flexión. En la expresión podemos aρ preciar que la curvatura es directamente proporcional al agente deformante e inversamente proporcional al producto E.I, que recibe el nombre de rigidez a la flexión. La rigidez a la flexión mide la resistencia que opone la pieza a dejarse deformar. Para ello impone las propiedades mecánicas del material (E) y las propiedades geométricas de la sección (I).El valor

6.3.2. Módulo Resistente – Dimensiona miento De la fórmula de Tensión podemos ver que todos los puntos de la sección con la misma ordenada “y” tendrán igual tensión, siendo esta máxima y mínima en los extremos, o sea, en las fibras superiores e inferiores de la sección. En general no suele hablarse de tensión máxima o mínima, sino de máxima tensión de tracción y máxima tensión de compresión.-

σ2

G

n

x n

z y

σ1 y

Fig. 6.10

σ2 M C2

z

y

M

x G

C1 σ1

El diagrama de tensiones resulta ser un esquema espacial, pero por simplicidad y atendiendo a lo anterior, se lo representa usualmente con un plano. /2005

6

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Las tensiones extremas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones: M M M σ1 = .c 1 = = Ix Ix W1 c1

σ

2

=

M Ix

.c 2 =

M Ix

=

c2

M W2

(6.5)

A los valores W1 y W2 , que resultan ser el cociente entre el momento de inercia de la sección transversal respecto del eje “x” y la distancia desde dicho eje a la fibra mas alejada de la sección, los llamaremos “módulos de los momentos resistentes”. En los problemas de dimensionamiento debemos distinguir entre los materiales cuya resistencia es la misma a tracción que a la compresión, y aquellos en que ambas resistencias son distintas. M M σ máx = ≤ σ adm → W mín ≥ En el primer caso: W mín σ adm (6.6)

W mín = mín

En el segundo caso:

σ1 = σ

2

=

M

1

,W2}

≤ σ 1 adm → W 1 ≥

W1 M W

{W

≤ σ

2 adm

→ W

2

2

≥

M σ 1 adm

(6.7)

M σ 2 adm

En el primer caso conviene que la sección sea simétrica, de manera tal que W1 = W2 , con lo que puede llegarse prácticamente a valores iguales a la tensión admisible tanto en las fibras superiores como en las inferiores. Si la pieza no es simétrica respecto del eje neutro, un de las dos fibras extremas no es aprovechada íntegramente. En el segundo caso vale todo lo opuesto a lo anterior. En general sería recomendable una sección no simétrica, de manera de aprovechar las tensiones máximas, tanto en las fibras superiores como en las inferiores. Módulo resistente de algunas secciones usuales: a) Rectángulo: x

x

W

h

x

b

x

x

h

b

W

x

b .h Ix 12 = = h h 2 2

3

h .b Ix 12 = = b b 2 2

3

→ W

→ W

x

x

b .h = 6

2

h .b 6

2

=

Podemos apreciar que el módulo resistente depende del cuadrado de la altura, siendo conveniente que el mayor lado del rectángulo sea ubicado en forma perpendicular al eje “x”. /2005

7

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

b) Círculo: r

W

x

=

π .r 4 r

4

π .r = 4

π .d = 32

3

3

c) Triángulo: 2 2/3h

W

1/3h

1

x1

b .h 36 = h 3

3

=

b .h 12

2

W

x2

b .h 3 b .h 36 = = 2 24 3 h

2

b

Desde el punto de vista del dimensionamiento, el parámetro geométrico que influye es el módulo resistente, pero desde el punto de vista económico la pieza cuesta en función del área de la sección transversal, y no de su módulo resistente. Por razones de economía se trata de buscar secciones que provean el módulo resistente requerido con la menor área posible. Para poder realizar una comparación económica entre las distintas secciones vamos a definir el siguiente coeficiente de rendimiento: W mín ψ = (6.8) Ω .h En la medida que este coeficiente aumenta, la sección en mas económica: ψ =

b .h 2 / 6 1 = ≈ 0 , 167 2 b .h 6

h

ψ =

π . h 3 / 32 π .h 3 / 4

=

1 ≈ 0 , 125 8

h

ψ =

b . h 2 / 24 b .h 2 / 2

=

1 12

h

≈ 0 , 083

ψ ≈ 0 , 32 h

6.3.3. Brazo de palanca elástico: Definiremos como brazo de palanca elástico a la distancia que existe entre la resultante de compresión y la resultante de tracción del diagrama de tensiones.

/2005

8

ESTABILIDAD II

σ

z

CAPITULO VI: FLEXIÓN

M

=

Ix

∫σ

N =

x

.y

.dΩ =

Ω1

N' =

∫σ

Ω2

M

∫I

Ω1

.dΩ =

.y.dΩ =

x

M

∫I

Ω2

x

.y .dΩ =

M Ix

∫ y.dΩ =

Ω1

M Ix

∫ y.dΩ =

Ω2

M S I x x1 M S I x x2

N = N' z =

I I M M = = x →z= x M .S x1 N S x1 S x1

(6.9)

Ix Numéricamente, el brazo de palanca elástico se calcula como el cociente entre el momento de inercia con respecto al eje “x”, y el momento estático de media sección con respecto al mismo eje.

Rectángulo:

Círculo:

Triángulo:

b.h 3 8 z = 12 = .h ≈ 0,67h b.h h 12 . 2 4 π.r 4 3 3π 12 z = = .π.r = .d ≈ 0,57d 2 8 16 π.r 4r . 2 3π b .h 3 9 36 z= = .h ≈ 0,56h 4 16 2 .b .h 81

6.3.4 Energía de deformación. Si aislamos de una barra una tajada elemental de ancho ∆l, y suponemos que sobre las secciones límites actúan dos momentos M que mantienen la porción en equilibrio, entonces obtendremos:

σ.ε M 1 σ= .y ε = .y 2 I ρ 1 M 1 u = . y2 . 2 I ρ 1 M 1 1 M 1 U ∆l = ∫ u.dVol = ∫ . .y 2 .∆l .dΩ = . . .∆l ∫ y 2 .dΩ ρ 2 I ρ Ω vol vol 2 I 1 1 U ∆l = .M . .∆l 2 ρ u=

/2005

9

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

La energía de deformación absorbida por toda la pieza es igual a la suma de la que absorbe cada una de las tajadas.

U ∆l =

1 1 .M . ∆l 2 ρ

Si ponemos la curvatura en función del momento, tendremos: U =

M.2 l 2.EI

(6.10)

A continuación vamos a ver un ejemplo de aplicación, calculando el giro en los apoyos de la viga de sección constante de la figura 6.12:

1  Text = 2. M .θ  = M .θ 2 

U=

∫ L

 M2  M2 M2 . dl = dl = .l   2EI ∫L 2EI  2EI 

Text = U

→

M .θ =

M2 .L 2EI

→

θ=

M.L 2EI

(6.11)

6.4. FLEXION RECTA EN SECCIONES DE DOS MATERIALES Vamos estudiar este problema apoyándonos en el ejemplo de la figura 6.13, que trata de una viga de sección rectangular de madera que esta reforzada inferiormente mediante un fleje de acero. El fleje esta unido a la madera de manera tal que se deforma solidariamente con ésta. En base a la consideración anterior, es posible continuar aceptando como válida la Ley de Navier- Bernoulli, es decir que la sección plana antes de la deformación se mantiene plana luego de la deformación.

Fig. 6.13 /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

De acuerdo a la Ley de Navier- Bernoulli: y ε ( y) = ρ y considerando la ley de Hooke: 1 σ ( y ) = Eε ( y ) = E.y ρ luego: dN = σ( y ) .dΩ = σ( y ) .b.dy dN =

1 E.b.y .dy ρ

por razones de equilibrio debe ocurrir que: 1 M = ∫ y .dN = ∫ y 2 . .E.b .dy ρ Ω Ω

(6.12)

Al resolver esta integral en toda el área, nos encontraremos con elementos “dy” donde el material es madera y otros donde es acero. 1 dN 1 = E m .b m .y .dy ρ 1 dN 2 = E a .b a .y .dy ρ resultaría muy práctico si de alguna manera, en forma ficticia, pudiésemos convertir uno de los materiales en el otro, de manera tal que esto facilite las integraciones.     E E 1 1  dN 1 =  E a .b a .dy  .y . m = E m . a .b a  .y .dy ρ Em ρ  Em 1 424 3  n  dN 2 =

1 1 E m .[n .b a ].y .dy = Em .b h .y.dy 123 ρ ρ bh

Si en la zona donde tenemos acero cambiamos el ancho verdadero de la sección por uno ficticio bh = n.b que denominamos “ancho homogeneizado”, en la ecuación del momento no aparecen los diferentes materiales. Por otro lado sabemos que: 1 (6.13) ∫Ω .dN = 0 → ρ ∫Ω y .E.b.dy = 0 En esta integral no podemos sacar como factor común “E”, ya que éste es función de “y”; sin embargo, si realizamos la homogeneización, esto sería posible ya que en la zona donde esta el acero estaríamos tomando el ancho bh .Em y .b h .dy = 0 (6.14) ρ ∫Ω El cumplimiento de esta última ecuación nos hace ver que la ordenada “y” debe medirse a partir del baricentro de la sección homogeneizada. /2005

11

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Como conclusión podemos decir que valen las expresiones generales de la flexión recta, a condición de que tomemos en lugar de la sección real, la misma homogeneizada. σ1 =

M .y I xh 1

σ2 =

M .y I xh 2

(6.15)

la tensión σ1 sería la que correspondería si en la fibra 1 tuviésemos madera. Como el ancho real es bh /n, luego la tensión real en el acero será: σ 1 a = n .σ 1

(6.16)

Esto último tal vez pueda ser apreciado mas exactamente si observamos en la fig.6.13 la fibra 3. Si consideramos dos fibras ubicadas infinitamente próximas a ésta, una del lado de la madera y otra del acero, ambas tienen prácticamente la misma deformación; sin embargo, debido a la diferencia de módulos de elasticidad las tensiones son distintas, con lo que el diagrama real de tensiones resulta discontinuo. Si en lugar de tener dos materiales hay mas, la homogeneización deberá realizarse sobre la base de uno de ellos. En la Fig.6.14 se indica el caso de una sección rectangular compuesta de tres materiales distintos.

6.5. FLEXION OBLICUA 6.5.1. Fórmula de dos términos Como ya hemos dicho, este caso se presenta cuando la línea de fuerzas no coincide con uno de los ejes principales de inercia. Dado que los ejes principales de inercia son perpendiculares, y el vector representativo del momento es perpendicular al eje de fuerzas, también podemos decir que la flexión oblicua surge cuando el vector momento no coincide con alguno de los ejes principales de inercia. Esta situación se presenta con mucha frecuencia en los elementos estructurales que forman parte de los techos inclinados. Las cargas gravitacionales originan un eje de fuerza vertical, el cual no coincide con los ejes principales, los cuales se orientan según el plano del techo. η α

f ς

n Mη

θ

M

n

Mς

α

/2005

f

Fig. 6.15

12

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Si analizamos este problema de flexión debemos decir que: Mζ ≠ 0

Mη ≠ 0

;

N=0

;

M ζ = M . cos α

(6.17)

M η = M.senα Como podemos aplicar el principio de superposición de efectos, siendo cada uno de los valores de componentes de momento casos de flexión recta, la tensión normal se obtiene a través de : Mζ Mη σ = σ (M ) + σ (M ) = .η + .ζ ζ η Iζ Iη

(6.18)

Esta expresión recibe el nombre de fórmula de los dos términos en la flexión oblicua simple. Si queremos encontrar la ecuación del eje neutro, planteamos la condición de tensión normal nula. σ = 0

→

Mζ Iζ

.η +

Mη Iη

.ζ = 0

→

η= −

M η Iζ . .ζ M ξ Iη

La ecuación del eje neutro indica que este resulta baricéntrico pero no coincidente con algunos de los ejes principales de inercia. Para:

M ζ = M . cos α  Iζ  → η = − .ξ.tgα M η = M .senα  Iη

→

Iζ η = tgθ = 1. .tgα ζ Iη

(6.19)

Fig. 6.16

En la figura anterior podemos ver como el diagrama de tensiones puede obtenerse por superposición de efectos. Algo importante a tener en cuenta es que las tensiones σ son perpendiculares a la sección, es decir son tensiones σz. El diagrama se dibuja abatido para poder representarlo con mayor comodidad. En el caso de una sección transversal doblemente simétrica como la de la figura 6.16. la tensión normal máxima puede calc ularse de la siguiente forma:

/2005

13

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

σ máx =

Mζ Iζ

Mη

.η máx +

Iη

.ζ máx =

Mζ Iζ

.+

η máx σ máx =

Mζ Wζ

+

Mη Wη

Mη Iη

=

Mζ Wζ

+

Mη Wη

(6.20)

ζ máx

≤ σ adm

Esta formula de dimensionamiento no es directa como la de flexión recta, ya que la misma depende de dos parámetros geométricos. El proceso de dimensionamiento resulta entonces iterativo, debiendo proponerse una sección y verificar la ecuación anterior. Para realizar un procedimiento lo mas acertado posible puede tenerse presente lo siguiente: Mζ

σ máx =

Wζ ≥ r =

Wζ

+

Mη Wη

.

Wζ Wζ

  Wζ  1  1 = . M ζ + .M η  = . M ζ + r .M η Wζ  Wη Wζ  {   r

[

M ζ + r .M η

] (6.21)

σ adm

Wζ Wη

r≅7a9

r≅4a r≅h/b

Proponiendo un valor de “r” puede obtenerse un valor de Wx necesario, y con éste se elige la sección. Como el valor de “r” no resulta en general tal como se lo supone, debe siempre verificarse la ecuación. Si esta ecuación no se cumple, entonces deberá adoptarse otra sección. Cuando la sección no es doblemente simétrica, los puntos donde se dan la máxima tensión de compresión y tracción no tienen porqué tener simultáneamente como coordenadas los valo res de xmáx e ymáx. Por esta razón suele resultar muy práctico dibujar la sección en escala y trazar el eje neutro, como el diagrama de tensiones resulta perpendicular a dicho eje es posible determinar gráficamente las posiciones donde las tensiones son máximas, aún sin calcular los valores.

6.5.2. Fórmula de un término. En virtud de considerar como válidas las hipótesis de Navier- Bernoulli y la Ley de Hooke, podemos decir que la tensión normal que surge como consecuencia del efecto de flexión será proporcional a la distancia al eje neutro medida desde el punto de aplicación de la misma. Hipótesis de Navier- Bernoulli:

/2005

ε=

yn ρ

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

σ = E .ε

Ley de Hooke: Entonces: σ ( y ) = Eε ( y ) =

1 E.y n = ψ.y n ρ

(6.22)

Sobre un elemento diferencial de área, debido a la tensión σ, existirá una fuerza dN:

dN = σ.dΩ

Fig. 6.17

Por razones de equilibrio:

∫

dN =

∫

ψ .y n .dΩ = ψ ∫ y n .dΩ = 0

Ω

Ω

∫ σ.dΩ = 0

Ω

(6.23)

Sn = 0

Ω

para que la condición dada por la ecuación anterior se satisfaga, debe ocurrir que el eje neutro sea baricéntrico. En la figura 6.17 así lo ubicamos porque ya conocíamos el resultado a partir de lo desarrollado en el ítem anterior. También por razones de equilibrio deberá ocurrir:

∫

x f .dN = 0

∫

x f .dN =

∫

x f .y n .dΩ = I nf = 0

Ω

Ω

Ω

∫

Ω

(momento con respecto al eje de fuerzas) ψ .x f .y n .dΩ = 0 (6.24)

De la última ecuación se obtiene que el eje neutro y el eje de fuerzas son conjugados de inercia. Si desarrollamos la ecuación :

∫

Ω

y n .dN = M .senβ

(momento con respecto al eje neutro)

obtenemos:

∫

Ω

/2005

y n .dN =

∫

Ω

ψ .y n .dΩ = ψ ∫ y n .dΩ = ψ.I n = M .senβ 2

2

Ω

→

ψ=

M .senβ In 15

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

con lo que: σ=

M .senβ yn In

(6.25)

Esta última fórmula recibe el nombre de fórmula de un término en la flexión oblicua simple, y para poder utilizarla es necesario tener previamente ubicado en el eje neutro. La posición del mismo queda definida conociendo el valor del ángulo β. Para calcular el valor de este ángulo, puede emplearse la siguiente expresión:

tg (ϕ + β) =

I x − I xy . tg ϕ I xy − I y. tg ϕ

(6.26)

Debido a que también hay que conocer el momento de inercia con respecto al eje neutro, suele ser conveniente aplicar el círculo de Mohr para inercias (círculo de Mohr- Land).

Usando el círculo de Mohr, en realidad no es necesario medir el ángulo β, ya que puede medirse directamente In/senβ. In / sen β = AP x Esc.Inercia. σ=

M In

.y n

senβ

La fórmula de un término puede resultar práctica, pero puede ser usada únicamente en verificaciones, es decir, cuando la sección ya ha sido dimensionada. Luego de las conclusiones obtenidas en este ítem, podemos dar un nuevo concepto de flexión recta y oblicua. La flexión se dice recta cuando el ángulo que forma el eje de fuerzas y el eje neutro es un ángulo recto, es decir, que ambos ejes son perpendiculares. Como el eje neutro y el eje de fuerzas son conjugados, esto solo puede darse cuando el eje de fuerzas coincide con un eje principal de inercia. Cuando la flexión no es recta se dice que es oblicua.

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

6.6.FLEXION EN VIGA DE EJE CURVO Para estudiar el efecto de la flexión en una viga de eje curvo, se considerarán solamente secciones que tengan un eje de simetría y el plano de acción del Momento Flector conteniendo a dicho eje de simetría y al eje de la pieza. Analizaremos, como en temas anteriores, solo el caso de relación lineal entre solicitación y deformación y de que el módulo de elasticidad es el mismo a tracción que a compresión. Consideremos un elemento curvo como el que se muestra en la figura. El punto O define la posición del centro de curvatura; la pieza esta sometida únicamente a Momento.

De todo el sector curvo estudiaremos el comportamiento de la porción definida por el ángulo ϕ, determinándose dos secciones próximas entre si, la AB y la CD. Ambas secciones tienen su baricentro a distancia R de c.c. Debido a M, la porción en estudio se va a deformar; hay fibras que se acortan, fibras que se alargan y fibras neutras. Como hipótesis suponemos que las secciones perpendiculares al eje de la pieza, permanecen planas luego de deformadas. La sección CD permanece plana luego de deformarse y ocupa una posición C’D’ con un giro relativo dϕ, suponiendo que la sección AB se mantiene en su posición primitiva. Aunque la hipótesis básica de deformación es la misma que para vigas rectas, y por Ley de Hooke, la tensión normal σ = E.ε acá tenemos una variante. La longitud inicial de una fibra como la EF depende de la distancia al centro de curvatura ρ . por lo tanto, aunque la deformación total de las fibras de (descriptas por el pequeño ángulo una viga dϕ) sigue una ley lineal, con las deformaciones específicas no sucede esto. El alargamiento de una fibra genérica, EF es (r-ρ). dϕ, donde r es la distancia desde el punto O hasta la superficie neutra (no conocida todavía), siendo su longitud inicial igual a ρ x ϕ. La deformación ε de nuestra fibra arbitraria es: ∆l (r − ρ) × dϕ y × dϕ ε= = = l ρ×ϕ (r − y ) × ϕ siendo “y” la distancia de la fibra genérica respecto de la superficie neutra. Para el elemento dΩ , la tensión normal: σ = E.ε =

E.dϕ y . ϕ (r − y )

En esta ultima ecuación, para la misma sección E, dϕ, ϕ, r son constantes∴ σ =

(6.27)

(6.28) A×y , (B − y )

expresión que representa una función hiperbólica. En (6.28 ) tenemos dos incógnitas, que son la ubicación de las fibras neutras ”r” y el giro relativo dϕ. Para definirlas utilizaremos dos condiciones de la estática. /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Teniendo en cuenta que sobre la sección, solo se ha aplicado M, debe cumplirse que la suma de las fuerzas que actúan perpendicularmente a la sección tome valor 0.

∑F

N

=0→

∫ σ.dΩ = ∫ E. Ω

Ω

.dϕ y .E.dϕ y .E.dϕ r − ρ . .dΩ = .dΩ =. .dΩ . ∫ ϕ (r − y ) ϕ Ω (r − y ) ϕ ∫Ω ρ

Siendo E, dϕ, ϕ, constantes, deberá ser nula la integral r −ρ Ω (6.29) ∫Ω ρ .dΩ. = 0 → r = dΩ ∫Ω ρ . Observando que el eje así definido difiere de la posición del baricentro (G). Una vez conocida la posición del eje neutro, la expresión para la distribución de esfuerzos se obtiene igualando el momento externo aplicado, al momento interno resistente. Tomamos momento en la sección respecto del eje “n” determinado por las fibras neutras: .dϕ y2 .E.dϕ y2 ∑ M n = 0 → M = ∫ σ.dΩ.y = ∫ E. ϕ . (r − y ) .dΩ = ϕ ∫ (r − y ) .dΩ. Ω Ω Ω  y2  .E.dϕ  r .y  ∫Ω  (r − y ) + y − y  .dΩ = ϕ ∫Ω  − y + r − y  .dΩ  .E.dϕ   .E.dϕ  y M= − y .dΩ + r ∫ .dΩ  = − y .dΩ + 0   ∫ ∫ ϕ Ω (r − y ) ϕ Ω   Ω M=

.E.dϕ ϕ

(6.30)

∫ − y .dΩ = − ∫ y .dΩ

Ω

Ω

donde la integral representa el momento estático del área de la sección recta respecto de la línea neutra. Siendo “e” la separación entre le baricentro y la línea neutra, se debe cumplir:

∫ − y.dΩ = Ω.e

siendo e = R − r

(6.31)

Ω

La distancia “e” se mide en sentido contrario al considerado como positivo para “y”. Finalmente: .E.dϕ M= .Ω .e ϕ M y σ= . Ω .e ρ σD

M yD = . Ω .e ρ D

σC =

→

σsuperior = σD

.E.dϕ M = ϕ Ω .e n

*G

n σinferior = σC

(6.32)

Fig. 6.20

M yC . Ω.e ρ C

A diferencia del caso de viga de eje recto, donde la variación de tensión es lineal , en el caso de eje curvo, la variación es hiperbólica. El eje neutro no coincide con el baricentro geométrico de la sección, trasladándose hacia el Centro de Curvatura. /2005

18

ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

7 TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN 7.1 FORMULA DE JOURAVSKI - COLIGNON En el capítulo 6 hemos estudiado la distribución de tensiones en la sección recta de una pieza sometida a flexión pura. En este capítulo abordaremos el estudio del estado tensional cuando tenemos una sección de una pieza sometida a flexión y corte. La presencia de Q origina en la sección tensiones tangenciales: estas tensiones, variables a lo largo de la altura, producen distorsión entre los elementos de la pieza, lo que hace que las secciones originalmente planas, al deformarse por la suma de los efectos de flexión y corte ya no sigan siendo planas. Sin embargo este alabeo del plano de las secciones transversales no influye sensiblemente sobre el valor de las tensiones normales para el caso de las relaciones l/h habituales. Es decir, podemos seguir calculando σ como si fuera un caso de flexión pura. El tema ya tiene un pequeño antecedente, visto en capítulo 2, “el problema de corte puro”. Para ese caso se concluyó que el esfuerzo de corte no era sino la fuerza resultante de un conjunto de tensiones tangenciales que podían admitirse distribuidas uniformemente, y cuyo valor se calculaba mediante la expresión: τ=

Q Ω

(7.1)

En la práctica el problema de corte puro no existe, puesto que en general aparece conjuntame nte con la flexión. En estas circunstancias, como veremos seguidamente, la hipótesis de tensiones tangenciales uniformes resulta incorrecta, de manera que el valor de τ obtenido con la expresión 7.1 solamente representa el valor medio de la tensión. No obstante lo recientemente expuesto, existen algunos problemas, especialmente en lo que se refiere a elementos de unión, donde los esfuerzos de flexión pueden considerarse como secundarios, siendo aplicable la expresión anterior dada la simplicidad que representa. En algunas estructuras como las vigas, que están predominantemente flexadas, es muy importante considerar la distribución real de tensiones, para lo cual nos basaremos en la denominada “Teoría de Jouravski”, quien desarrolló en un trabajo sobre pue ntes, publicado en 1856, una teoría sobre la resistencia de secciones rectangulares constituidas por laminas superpuestas vinculadas entre sí. Jouravski calculó los esfuerzos rasantes que veremos luego, sin preocuparse de las tensiones que ocurren en el plano de la sección, cuya expresión se debe a Colignon. Consideremos, por ejemplo, la viga de la figura 7.1, la que supondremos de sección constante. Aislemos un trozo de la misma delimitado por las secciones 1 y 2, separadas éstas por dz. En la sección 1-1 actúa un momento flector M y un esfuerzo de corte Q. En la 2-2, el momento será distinto al de la 1-1, pero lo expresaremos en función de M como M+dM, mientras que el esfuerzo de corte mantiene su valor Q.

/2005

1

ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Fig. 7.2

Como consecuencia de la flexión, en una fibra situada a una distancia “y” del eje neutro, se originarán en 1-1 tensiones: σ =

M y In

(7.2)

y en la 2-2

( M + dM ) y

σ + dσ =

In

(7.3)

Supongamos ahora separada una parte del prisma de longitud dz por una superficie cilíndrica como se muestra en la fig.7.3. En la parte rayada actúan tensiones normales que originan una fuerza N. M N =∫ y dΩ (7.4) Ω In En la sección 2-2 ocurre algo similar: N + dN =

∫

(M

Ω

+ dM ) y dΩ In

(7.5) Fig. 7.3

Ambas fuerzas son coaxiales y su resultante vale: dN =

∫

Ω

dM y dΩ In

(7.6)

Esta fuerza elemental tiende a hacer deslizar la parte superior del prisma ubicado por enc ima de la superficie cilíndrica, con respecto al resto del mismo. A esta acción se oponen tensiones tange nciales τ que actúan en la superficie curva de separación. Para estas tensiones longitudinales admitiremos: a) que su dirección es paralela al eje de la pieza b) que varían en forma continua sobre la superficie curva. Si llamamos s a la longitud de la curva de intersección de la superficie con el plano de la sección recta, tendremos:

dT = dz ∫ τ ds s

/2005

(7.7) 2

ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

por equilibrio: dT = dN

∫

ΩS

(7.8)

dM ydΩ = dz ∫ τds S In

dM In

∫

ΩS

ydΩ = dz ∫ τds → S

dM 1 s S = dz In n

∫ τds = τ S

m

S

τ m = valor medio de τ

τm =

Q S sn

Fórmula de Jouravski-Colignon

In S

(7.9)

De acuerdo con la ley de Cauchy, las tensiones τ de resbalamiento longitudinal dan origen en el plano de la sección a tensiones tangenciales, normales en cada punto de la curva s a su correspondiente tangente, y cuyo valor medio está dado por la expresión 7.9. Fig. 7.4

7.2 DISTRIBUCION DE TENSIONES EN SECCIONES USUALES 7.2.1 Sección rectangular Analicemos una sección rectangular de ancho b y altura h. Si consideramos una traza s – s paralela al eje x, las tensiones tangenciales pueden suponerse constantes en todo el ancho b. τ zy =

Q Sns In s

In =

b h3 12

s=b

h   h 1 S sn = b − y   − y  + 2 2    2

/2005

S sn =

1 h  h b  − y  + 2 2  2

S sn =

1  h2  b − y2  2  4 

 y 

 y 

Fig. 7.5

3

ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

1 h2   2y   Q b 1 −    2 4   h   = b h3 b 12 2

τ zy

3 Q τ zy = 2 bh

  2 y 2    1 −  h    

(7.10)

La distribución de las tensiones tangenciales es parabólica, alcanzando el valor máximo en correspondencia con el eje neutro. τ max =

3 Q Q = 1 .5 2 bh Ω

(7.11)

Acá podemos apreciar lo que habíamos expuesto anteriormente en cuanto a que la distribución real de tensiones tangenciales difiere bastante de la hipótesis de corte puro. También se observa que las tensiones tangenciales se anulan en las fibras superiores e inferiores. Esto es lógico, por cuanto si en esos lugares τzy≠0, de acuerdo con la ley de Cauchy aparecerían en la cara superior e inferior de la pieza prismática tensiones tangenciales longitudinales, las cuales se transformarían en cargas exteriores actuantes, cuya existencia no hemos considerado. La fórmula de Jouravski – Colignon nos permite calcular el valor de las tensiones tangenciales verticales τzy, pero debemos aclarar que también aparecen tensiones tangenciales τzx, cuya ley de distribución puede conocerse si se trata el problema desde el punto de vista de la teoría de la elasticidad. Cuando el rectángulo en muy ancho, estas tensiones alcanzan valores significativos, en caso contrario pueden despreciarse. Obviamente, en cualquier caso las tensiones τzx constituyen un sistema autoequilibrado, con resultante Rx=0.

Fig. 7.6

7.2.2 Sección circular En secciones simétricas de contorno curvilíneo no es posible considerar la existencia de tensiones tangenciales τzy solamente. En efecto, en los puntos del contorno la tensión tangencial debe tener una dirección coincidente con la tangente a la curva que define la sección, ya que de no ser así existiría una componente de la tensión perpendicular a esta tangente, lo que por Cauchy generaría una tensión tangencial longitudinal externa. En la figura 7.7 se ilustra lo que sucedería si τA fuese vertical. Fig. 7.7 /2005

4

ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Si admitimos entonces que las tensiones en un punto como el A son tangentes al contorno, resulta evidente que aparecen tensiones τzy y τzx. Para las tensiones tangenciales τzy admitimos la validez de la formula de Colignon, sie ndo constantes en todo el ancho AB. Para las tensiones τzx se considera una ley de variación lineal. τ zx = τ zx τ zx = A

x xA

A

τ zy

=

A

tg α

τ z x = τz y

τ zy

(y)

tgα Fig.7.8

x x A tg α

(7.12)

Según la ecuación 7.12, para una ordenada “y” cua lquiera, todas las tensiones tangenciales actuantes en el ancho correspondiente conc urren a un punto M.

x A tgα = CM τ zx τ zy

=

→

τ zx = τ zy

x CM

1 x = tgα x CM

Para el caso particular de una sección circular, apliQ S yx cando Colignon : τ zy = b yI x τ zy

4 (R 2 − y 2 ) = Q 3 π R4

x A tgα =

y

=

Fig. 7.9

R 2 − y2 y

xy 4 Q xy = ( R2 − y2) 2 2 4 3 πR R −y R − y2 4 Q = xy (7.14) 3 πR4

τ zx = τ zy τ zx

x 2A

(7.13)

2

Fig. 7.10

En cualquier punto la tensión tangencial τ puede obtenerse por composición de τzy y τzx. /2005

5

ESTABILIDAD II

τ=

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

τ 2zy + τ 2zx

(7.15)

El valor de τzy máximo se produce para y = 0, donde τzx = 0 para todo valor de x. τ max = −

4 R2 4 Q 4Q Q Q = = ≅ 1.33 4 2 3 πR 3 πR 3Ω Ω

(7.16)

En la ultima ecuación podemos ver el valor de la tensión tangencial máxima es 33% mayor que el valor correspondiente al caso de corte puro.

7.2.3 Sección doble T En la figura 7.11 hemos tratado de idealizar un perfil laminado doble T. Para un corte s1-s1 situado en el ala tendremos según la formula de Colignon:

τ zy

1  h2  b  − y 2  Q 2  4 Q  h2   = =  − y 2  I b 2I  4 

(7.17)

Para un corte s2-s2 situado en el alma tendremos:

τ zy

2   bt (h - t ) + e   h − t  − y 2  2  2  Q 2  = I e

(7.18) τ zy

Q = 2I

 b t  (h - t ) +  e

2  h   2   − t  − y     2  

Fig. 7.11 /2005

6

ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Puede verse que la variación de τzy según las ecuaciones 7.17 y 7.18 resulta ser parabólica. En una sección como la s3-s3 aparece una discontinuidad, lo cual se debe a que en la fórmula de Colignon la tensión tangencial es inversamente proporcional al ancho de la pieza a la altura de la fibra considerada, y la sección tiene un cambio brusco de ancho. Lo que hemos indicado recientemente es incongruente. En efecto, si el diagrama (a) de la figura 7.11 fuese totalmente valido, en un elemento como el k tendría mos una tensión tange ncial τzy no nula, lo que significaría que según Cauchy debería aparecer tensiones rasantes longitudinales en las caras interiores de las alas, donde, por tratarse de una superficie libre de solicitaciones exteriores, no puede haber tensiones. La situación real es la siguiente: en un punto tal como M, de la superficie de una de las alas existen tensiones τzy y τzx. Las primeras, salvo en la zona ABC de unión de ala y alma, varían según diagramas parabólicos que se anulan en correspondencia con los bordes superior e inferior del ala (ver diagramas (c) en la fig. 7.11), y su valor máximo es muy pequeño, por lo que pueden despreciarse. Para la zona ABC puede suponerse que varían linealmente desde el valor correspondiente a la sección s3-s3 en el alma, hasta anularse en el borde del perfil (ver diagramas (b) en la fig. 7.11). En cuanto a las tensiones τzx, su magnitud es tal que no siempre son despreciables. Tienen un papel importante en las secciones para las que la línea de fuerzas coincide con un eje principal de inercia que no es eje de simetría de la sección. A continuación vamos a desarrollar las expresiones que nos permiten establecer la ley de variación de las tensiones tangenciales τzx a lo largo de las alas. Supongamos el mismo perfil de la figura 7.11 al que le efectuamos un corte vertical en una de las alas. Si el perfil está solicitado por flexión, sobre la parte separada existirán tensiones normales. Siguiendo un razonamiento similar al aplicado el deducir la fórmula de Jouravski – Colignon podemos establecer la siguiente:

σ = N =

M y I

∫

h 2

h −t 2

σ + dσ =

σ dΩ =

∫

h 2

h −t 2

M + dM y I

M yxdy I

(7.19) N + dN =

dN =

∫

h 2

h −t 2

(M + dM ) yxdy I

dM dM h2 dM t dM yxdy = x ∫h ydy = x (h − t) = Sx ∫h2 − t I − t I 2 I 2 I h 2

Sx: momento estático respecto del eje ne utro del área en la figura 7.12

/2005

7

ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Fig. 7.12

Por razones de equilibrio debe resultar dN= dT dT = τ xz t dz =

τ xz =

dM S x = dz It

dM Sx I QS x

It

(7.20) (7.21)

Por Cauchy, en el área rayada antes mencionada aparecen tensiones tangenciales horizontales τzx = τxz. τ zx =

Q t (h - t ) x I 2t (7.22)

τ zx =

Q (h - t ) x 2I

Según la ecuación 7.22 las tensiones τzx varían linealmente desde cero en el extremo del ala hasta un máximo en correspondencia con el borde del alma donde x =(b-e)/2. En la figura 7.13 se muestran los diagramas correspondientes a las cuatro semialas del perfil. Puede a-preciarse que el conjunto de las tensiones tangenciales determina un flujo de tensiones en el sentido de la fuerza de corte. Por otro lado, razones de simetría hacen que para cada una de las alas los esfuerzos horizontales derivados de las tensiones τzx se anulen entre sí.

/2005

Fig. 7.13

8

ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Salvo en casos muy especiales las perfiles I no trabajan bajo tensiones tangenciales muy altas en relación con las tensiones normales de flexión. Siendo además que τzx max

h 6

3 b ⋅ he  b ⋅ he 3 In =  2 3 3 e o = = he 2 2 b ⋅ he 3 b ⋅ he  S en =  2 2  e

he = e o + c =

σ max =

2 he + c → he = 3c 3

N N 2 N he = = 2 b ⋅ ( 3c) 3 bc b ⋅ he 2 2

En este caso los resultados obtenidos podrían haber sido anticipados; en efecto, siendo el ancho constante, la resultante debe estar a un tercio de he

/2005

9

ESTABILIDAD II

CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS

9.5 – TORSION COMPUESTA 9.5.1 - Concepto Este problema se presenta cuando la reducción de fuerzas que solicitan un sólido, al baricentro de una sección cualquiera del mismo, origina un momento torsor más otros tipos de esfuerzos internos, usualmente de flexión y corte, y en algunos casos también esfuerzo normal. Este caso sería el más general que puede presentarse en un problema de análisis de tensiones en la Resistencia de Materiales. La herramienta más poderosa que utilizaremos para resolverlo es la aplicación del principio de superposición de efectos. Así, todo lo que ya hemos estudiado nos resulta de mucha utilidad. Los estados tensionales se obtienen como superposición de los correspondientes a cada uno de los esfuerzos por separado. En la verificación de piezas deberá comprobarse que en los puntos donde aparecen estados tensionales simples (Normal o corte puro), las tensiones estén por debajo de los valores admisibles; y en aquellos lugares donde los estados sean múltiples, deberá comprobarse la teoría de rotura que corresponda.

9.5.2 – Ejes sometidos a Flexo-torsión Si consideramos el siguiente ejemplo y analizamos la sección del empotramiento tenemos el estado de tensiones indicado en la figura 9.14.

Si tomamos un elemento ubicado en un punto como el 1, podemos ver que el mismo está solicitado por un estado doble de tensiones. σ1 =

/2005

Mf Mf = Wf πD 3 32

(9.25)

10

ESTABILIDAD II

CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS

σ1

τ1

σ1 =

Mt Mf Mt = = 3 Wt πD 2Wf 16

(9.26)

Fig. 9.15

Si el material tiene un comportamiento frágil deberá utilizarse para su dimensionamiento la Teoría de falla de Rankine (σmax).

σ c = σ princ

1 2Wf

σc = Wf ≥

σ1

2

1 Mf 1  Mf   Mt  = ± σ12 + 4τ 21 = ±   + 4  2 2 2Wf 2  Wf   2 Wf 

2

 Mf ± Mf 2 + 4Mt 2  ≤ σ adm  

1 2σ adm

Mf ± 

Mf 2 + 4Mt 2  

Para dimensionamiento el diámetro necesario sería:

D=

3

32 2π σadm

Mf ± 

1 Mf 2 + 4Mt 2  = 1,723  σ adm

 Mf ± Mf 2 + 4Mt 2   

Si el material tiene un comportamiento dúctil, debería aplicarse la Teoría de falla de HuberHencky-Von Mises (también podría utilizarse la teoría de Guest). 2

2

1  Mf   Mt  σc = σ + 3τ =  Mf 2 + 0,75Mt2  + 3  = Wf  Wf   2Wf  2 1

2 1

Para dimensionar, el diámetro necesario:

D=

3

32 1 Mf 2 + 0,75Mt 2 = 2.173 π σadm σadm

Mf 2 + 0,75Mt 2

Si consideramos un elemento ubicado en la posición del punto 4 (o el 2 según el sentido del Mt), veremos que en el mismo aparece aumentado el corte puro: τ 4 = τ Mt max + τQ max τ4 =

τ4

Mt 4 Mt + 3 πD 3 πD 2 16 4

Fig. 9.16

/2005

11

ESTABILIDAD II

CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS

Si conocemo s el valor de τ adm, planteamos que τ ≤ τ adm. De no ser así, aplicamos las Teorías de falla acorde con el material; se calcula la tensión de comparación σc y luego hacemos que σc ≤ σadm . En un elemento como el 3 la situación es similar a la del elemento ub icado en el punto 1. En el caso de que en una sección circular actúen simultáneamente momentos flectores Mx, My y momento torsor Mz, se calcula el momento flector resultante Mf = Mx 2 + My 2 , con este Mf R valor se determina la tensión normal máxima σmax = . Dicha tensión corresponde a los Wf elementos ubicados en la periferia, los que a su vez están sometidos a las tensiones tangenciales máximas por torsión.

Fig.9.17

Para el dimensionamiento y verificación, se calcula la tensión de comparación sobre la base de los valores de σmáx y τMtmáx señalados.

/2005

12

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

10 PANDEO 10.1. CONSIDERACIONES GENERALES 10.1.1. INTRODUCCIÓN Al principio de la materia se estableció que la selección de elementos estructurales y de máquinas se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de deformación dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquier otro de los vistos anteriormente. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando como “columna”, fuera de longitud D, no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable. Por otra parte, la misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable, presentándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso. Una regla delgada ordinaria, si se somete a compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento de tal miembro. El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de compresión. Placas delgadas, completamente capaces de resistir cargas de tracción, resultan muy ineficaces para transmitir compresión. Vigas angostas, sin arriostramiento lateral, pueden doblarse lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques al vacío, así como cascos de submarinos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión externa y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como papel de seda cuando se somete a torsión1 . Durante algunas etapas de su encendido, las delgadas cubiertas de los cohetes o proyectiles autopropulsados se cargan críticamente a compresión. Estos son problemas de primordial importancia en el diseño de ingeniería. Además, por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón, muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de esta materia. Aquí solo se considerará el problema de la columna. Utilizándolo como ejemplo, sin embargo se ponen de relieve las características esenciales del fenómeno de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis.

10.1.2. EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE Sabemos que es condición necesaria pero no suficiente, para que la configuración tomada por un cuerpo sometido a fuerzas sea permanente, que todas las fuerzas que actúen estén en equilibrio 1

Como ejemplo, ver Figura 14.1 del libro “Introducción a la mecánica de sólidos” – E. Popov – Ed. Limusa. 1992.

/2005

1

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

entre sí; y sabemos también que esta condición es suficiente si el equilibrio de las fuerzas es estable. Si el equilibrio es inestable, la configuración es extremadamente precaria, de modo que si existe una causa perturbadora, el sistema se aparta de esta configuración y ya no la vuelve a tomar. En el caso límite en que el equilibrio es indiferente el sistema puede mantenerse en su configuración o pasar a otras configuraciones muy próximas a la primera, deteniéndose en alguna cualquiera de éstas. Una forma clásica de determinar si el equilibrio es estable consiste en desviar muy poco el sistema de su configuración mediante una causa perturbadora cualquiera y ver que sucede cuando ésta cesa. Si el sistema retoma la configuración inicial el equilibrio es estable, si se aleja aún más de ella el equilibrio es inestable; y por último, si el sistema permanece en la posición final el equilibrio es indiferente. Vamos a tratar de clarificar más aún estos conceptos estudiando el comportamiento de las tres esferas del esquema de la figura 10.1. Si en el caso (a) hacemos mover la esfera sobre la superficie y luego la soltamos, intuitivamente podemos reconocer que la esfera volverá a su posición inicial. Este es un caso de equilibrio estable. Si en la situación (b) cambiamos levemente a la esfera de posición, ésta ya no retomará la posición inicial sino que seguirá rodando, ésta es entonces una situación de equilibrio inestable. Si en el caso (c) movemos la esfera, ésta permanecerá en el nuevo lugar o próximo a éste, constituyendo entonces un estado de equilibrio indiferente. Todo esto que puede ser comprendido intuitivamente puede ser explicado más científicamente si lo analizamos desde un punto de vista energético. En el caso (a), para mover la esfera y llevarla a una posición distinta debe realizarse un trabajo, el cual se transforma en energía potencial gravitatoria. Si la causa perturbadora cesa, esta energía potencial acumulada tenderá a transformarse en Fig. 10.1 energía cinética y la esfera rodará, llegará hasta el fondo y probablemente subirá por la otra ladera, oscilando en torno del fondo hasta que por fricción, el trabajo entregado originalmente se haya transformado totalmente en calor, permaneciendo la esfera en el lugar donde la energía potencial es mínima. Por esta razón el equilibrio es estable. En el caso (b), al moverse un poco la esfera pierde energía potencial, la cual se transforma en energía cinética, de esta forma adquiere velocidad y continúa con el movimiento iniciado. Resulta evidente entonces que el equilibrio es inestable. Finalmente para mover la esfera de la situación (c) debe realizarse un cierto trabajo, el cual se transfo rma fundamentalmente en energía cinética. La esfera adquiere velocidad y cambia de posición, pero cuando la perturbación termina, la energía adquirida se transforma en calor por fricción, con lo que la esfera se detiene, si bien no en la última posición, en una muy próxima a ésta. Este es entonces un caso de equilibrio indiferente. A continuación vamos a analizar la estabilidad de una configuración de equilibrio en una estructura simple. Se trata de una barra rígida, recta, vertical, empotrada elásticamente en su extremo inferior mediante un resorte que reacciona proporcionalmente al giro de la barra, y sometida en su extremo superior a una carga vertical P de compresión. La posición vertical de la barra es una configuración de equilibrio, de la cual deseamos averiguar si es estable. Es posible demostrar que el equilibrio puede ser estable o inestable, dependiendo ello de la carga P. La carga a partir de Fig. 10.2 /2005

2

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

la cual el equilibrio se transforma en inestable recibe el nombre de “Carga crítica”. Para justificar lo que hemos dicho vamos a aplicar en el borde superior de la barra una carga horizontal infinitesimal de modo que la barra se aparte de su posición original y luego eliminamos la fuerza perturbadora. Supongamos que la posición última también es una configuración de equilibrio, con lo que deberá verificarse la correspondiente igualdad entre el momento exterior el momento elástico interno. P . A' A" = P . l . sen ϕ = m . ϕ →

P=

m ϕ . l sen ϕ

(10.1)

Si tomamos en cuenta que cuando P → Pcrít debe ocurrir que ϕ → 0 y como: lim

ϕ→ 0

ϕ =1 sen ϕ

;

entonces: Fig. 10.3

Pcrít =

m l

(10.2)

Como sabemos la función ϕ / sen ϕ ≥ 1, con lo que la expresión [10.1] nos da la relación entre P y ϕ para P ≥ Pcrít .

Observando la gráfica de la función dada por la expresión [10.1] podemos ver que para valores de la carga inferiores a Pcrít existe una sola configuración de equilibrio, la vertical por lo tanto el equilibrio es estable. En efecto, consideremos por ejemplo una carga: /2005

3

ESTABILIDAD II

P=

CAPITULO X: PANDEO

1 1m Pcrít = 2 2 l

y supongamos que existe otra configuración de equilibrio distinta de la vertical, entonces debería cumplirse la ecuación de equilibrio anterior para ϕ ≠ 0. P .l .senϕ = m .ϕ

1 m . . l . sen ϕ = m . ϕ 2 l

→

1 sen ϕ = ϕ 2

(10.3)

La ecuación última se cumple solamente para ϕ = 0, es decir, para la barra en posición vertical, con lo que bajo cualquier perturbación horizontal, la barra volvería a su posición original. Para los valores de la carga superiores a Pcrít podemos ver que existen dos configuraciones de equilibrio posibles. En efecto, supongamos una carga P = 1,275 Pcrít , de la gráfica de la figura 10.4 podemos ver que ϕ = 38 π satisface la relación [10.1], luego, la barra vertical o girada un ángulo ϕ como el indicado constituyen dos configuraciones de equilibrio posib les para carga indicada. Se acostumbra a decir, con cierta impropiedad, que para la carga crítica el equilibrio es indiferente. En rigor, la configuración de equilibrio vertical pasa sin solución de continuidad de la condición de estable a la condición de inestable siendo la carga crítica la última carga para la cual la configuración es estable. Para P > Pcrít se produce la llamada “bifurcación del equilibrio” porque existen dos formas de equilibrio posibles, una inestable (la vertical), y otra estable con una cierta rotación ϕ que depende del valor de la carga.

10.2 PANDEO EN EL CAMPO ELÁSTICO 10.2.1. COLUMNA DE EULER Los primeros problemas de estabilidad elástica relativos al pandeo de barras comprimidas fueron resueltos por Euler. El problema planteado por éste y que nosotros vamos a estudiar a continuación es similar al analizado en ítem anterior, bajo las siguientes condiciones: § La barra es de un material perfectamente homogéneo y elástico, es decir que verifica la Ley de Hooke y en el estado de tensiones alcanzado no se supera la tensión de proporcionalidad. § Su eje es idealmente recto. § La carga está exactamente centrada. § Los vínculos son ideales, sin rozamiento, de los tipos indicados en la Figura 10.5 En las condiciones que hemos enunciado precedentemente la posición vertical de la barra es una configuración de equilibrio, de la cual deseamos saber si es estable. Para determinar esto comenzamos por hacer actuar una fuerza perturbadora horizontal infinitésima, y suponemos además que el equilibrio vertical es indiferente, de modo tal que la barra pasa a otra configuración de equilibrio curvada como la que se indica en la Figura 10.6. Para una sección genérica ubicada a una abscisa “x” la barra tiene un des/2005

Fig. 10.5

Fig. 10.6 4

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

plazamiento “y”. Si planteamos el equilibrio entre el momento externo y el momento elástico interno tendremos: P .y = −E.I.y" (10.4) P .y + E.I.y" = 0 P .y = 0 E .I P Si llamamos α 2 = E.I y" +

llegamos a la siguiente ecuación diferencial:

y"+ α 2 .y = 0

(10.5)

cuya solución general es la siguiente: y = A . sen α . x + B . cos α . x

(10.6)

Imponiendo condiciones de borde tenemos: x=0

→

y =0

→

B=0

(10.7)

x= l

→

y =0

→

A . sen α . l = 0

(10.8)

Para que se cumpla la nulidad de la ecuación [10.8] pueden ocurrir dos situaciones: a) A = 0 En este caso obtenemos como ecuación de la elástica la función idénticamente nula, que estaría representando a la configuración vertical de la barra. Lógicamente este caso no es el que nos interesa pues estamos buscando otras configuraciones de equilibrio. n .π b) sen α . l = 0 → α= (donde n: número entero) l Si recordamos: P n 2 .π 2 α2 = → P = E.I. 2 (10.9) E .I l Para valores de la carga P que verifique la ecuación [10.9] se obtienen distintas elásticas que corresponden a configuraciones de equilibrio de la barra. La menor de todas las cargas que genera la situación indicada en el último párrafo corresponde a n = 1. Dicha carga es la “Carga crítica”.

Pcrít = π 2 .

E.I l2

(10.10)

Vemos que la expresión de la elástica correspondiente a ella es: y = A .sen

π .x l

Fig. 10.7

la cual queda indeterminada, ya que no hemos encontrado el valor de A puesto que siendo α = π / 2, la condición de borde A . sen α.l = 0 implica A . 0 = 0, de donde no es posible despejar la constante. /2005

5

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Esto en realidad ocurre porque hemos usado como valor de la curvatura 1 / ρ = y”, en lugar de la expresión exacta:

1 y" = ρ (1 + y' 2 ) 3 / 2

(10.11)

La aproximación anterior es válida cuando las deformaciones son pequeñas, por lo que debemos concluir que la solución encontrada para la carga crítica es el límite de las cargas P cuando la configuración de equilibrio curvada se acerca tanto como se quiere a la vertical. Finalmente podemos analizar el significado que tienen las cargas críticas correspondientes a n = 2, 3, 4, etc. Si consideramos, por ejemplo el caso de n = 2, podemos ver que P = 2 . Pcrít y que la elástica sinusoidal in-determinada queda constituida por una doble semionda. Esta carga tiene solamente un interés teórico y corresponde a la carga crítica en el caso que la barra se fijase en la mitad de su luz mediante un apoyo móvil.

10.2.2. DISTINTAS FORMAS DE SUSTENTACIÓN Así como en el ítem anterior hemos estudiado el pandeo de una barra biarticulada bajo ciertas hipótesis, es posible realizar un estudio semejante para otras condiciones de vínculo, pudiendo establecer para cada caso la correspondiente carga crítica. A continuación vamos a indicar los valores obtenidos en los casos más comunes, los que podremos comparar con el valor para la barra biarticulada.

/2005

6

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Si observamos detenidamente los esquemas anteriores podremos apreciar que las expresiones correspondientes a las cargas críticas para los distintos casos son muy similares a la de la barra biarticulada, difiriendo solamente en una constante. Desde el punto de vista práctico resulta muy conveniente poder tratar cualquier caso de sustentación mediante una expresión única para la carga crítica. Esto se logra transformando a la pieza en una barra ficticia biarticulada con una luz ideal que depende la luz real y de las condiciones reales de vinculación. Esta luz ficticia recibe el nombre de “Luz de pandeo” ó “Longitud de pandeo”.

π 2 .E.I S 2k

Pcrít =

Sk : Longitud de pandeo

(10.12)

Barra biarticulada:

Sk = l

Barra empotrada – libre:

Sk = 2 . l

Barra empotrada – empotrada:

Sk = 0,5 . l

Barra empotrada – articulada:

Sk = 0,7 . l

Para otros elementos estructurales tales como patas de pórticos o barras con sección variable existen tablas de donde se puede determinar la correspondiente longitud de pandeo.

10.2.3. TENSIÓN CRÍTICA DE EULER. LIMITACIÓN DE LA TEORÍA DE EULER. La tensión crítica de Euler se calcula como el cociente entre la carga crítica de pandeo de Euler y el área de la sección transversal de la barra: Pcrit

σ ki =

σ ki

σ ki

A

π 2 .E.I π 2 .E.i 2 π 2 .E = 2 = = 2 S k .A S 2k  Sk     i  π 2 .E = 2 λ

(10.13)

llamando λ a la relación: λ=

Sk i

(10.14)

λ: esbeltez de la pieza La esbeltez de la pieza se define como la relación entre la luz de pandeo y el radio de giro mínimo de la sección transversal de la pieza correspondiente a la luz de pandeo considerada. Este parámetro es sumamente importante en el problema de pandeo. Efectivamente, cuanto más esbelta es una barra mayor es el riesgo de pandeo, y ello puede verse en la fórmula de la tensión crítica de Euler (10.15) que depende inversamente de la esbeltez. /2005

7

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Podemos representar la función σki = ƒ (λ), y al hacerlo vemos que cuando λ tiende a cero, la tensión crítica de Euler tiende a infinito. La fórmula de Euler fue deducida bajo la hipótesis de la validez ilimitada de la Ley de Hooke por lo tanto la misma solamente es válida si σki ≤ σP .

La esbeltez límite para la cual tiene validez la Ley de Euler será: σ ki =

π 2 .E = σp λ2

Para el acero común:

→

λ p = π.

λ P = 103,9

∴

E σp

(10.15) σ ki =

π 2 .E λ2

∀ λ ≥ 103,9

En la zona comprendida entre esbeltez cero y σP, la fórmula de Euler debe ser reemplazada por otra ley que contemple el comportamiento elasto-plástico del material.

10.3. PANDEO ANELÁSTICO Como se ha mencionado, para esbelteces menores que λP no es válida la Teoría de Euler. Engesser estudió el comportamiento teórico de piezas comprimidas de acero bajo tensiones superiores al límite de proporcionalidad; partió de iguales hipótesis que las establecidas por Euler para la deducción de la carga crítica, excepto la constancia del módulo de elasticidad E. Para esto último, en diferentes años propuso dos hipótesis para su determinación: a) teoría basada en el módulo tangente; b) teoría del doble módulo. En los resultados no existen diferencias apreciables por el uso de una u otra teoría. /2005

Fig. 10.10 8

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Recordemos el diagrama tensión – deformación del acero (σ - ε) para valores de tensiones menores a la de fluencia: El punto A representa el estado correspondiente a la tensión conocida como límite de proporcionalidad σP. Para valores superiores de tensión, por ejemplo el punto B, la rigidez del material ya no depende del módulo inicial E. Engesser primeramente (1889) presentó una teoría tomando en cuenta sólo el módulo tangente Et. Si para un cierto valor de carga el estado tensional se representa con un punto como el B en el diagrama de tenso-deformación, y a través de un incremento ∆P la carga llega a su valor crítico, la rigidez del material en ese momento está dada instantáneamente por la tangente a la gráfica, Et. En función de ello propuso la expresión siguiente: σk =

π 2 .E t λ2

(10.16)

Como las tensiones correspondientes a los módulos referidos a al tangente se pueden obtener a partir del diagrama σ – ε, la relación λ = Sk / i a la cual pandeará la columna, se puede calcular a partir de la ecuación [10.16]. Con posterioridad, en 1895, Engesser propone una expresión similar pero con un módulo de elasticidad diferente. Con ello estableció la llamada teoría del doble módulo o teoría del módulo reducido, algunos de cuyos aspectos se estudian a continuación. Suponiendo la permanencia de las secciones planas durante la flexión, la ecuación de la elástica será la misma que para los materiale s que siguen la Ley de Hooke, con la excepción de que el módulo de elasticidad E se reemplaza por un módulo de elasticidad reducido T que depende la tensión σk originada por la carga Pk . Suponiendo que el diagrama tenso – deformación del acero fuese el del esquema de la figura 10.11, y que se somete la pieza a una compresión que origina la tensión σk , si se descarga la pieza hasta cero, el módulo de elasticidad en descarga queda representado por la recta BO’ casi paralela a OA. La carga Pk origina la tensión de compresión σk uniformemente repartida mientras la pieza permanezca recta, pero en cuanto el eje pasa a la posición curva, el momento flector origina compresiones σ2 que se suman a las σk y tensiones de tracción σ1 en el lado convexo que se restan a las tensiones σk . La carga crítica Pk es aquella capaz de mantener a la pieza en la posición curva del esquema (b) de la Figura 10.12, alejada de la vertical valores “y” que se suponen infinitésimos.

/2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Si consideramos una tajada de la barra como la indicada en la figura 10.12, de longitud unitaria, se producen acortamientos suplementarios ε 2 en el lado derecho y alargamientos ε 1 en el lado izquierdo.

Admitiendo que la hipótesis de Navier – Bernoulli de las secciones planas podemos establecer: ε2 h2

=

ε1 h1

=

1 ρ

(10.17)

Como las deformaciones ε 2 son infinitésimas, las tensiones σ2 son poco superiores a las que corresponde al punto B en el diagrama σ - ε de la figura 10.10, pudiendo calcularse como: σ2 = E2 . ε 2

(10.18)

Donde E2 = tg β (módulo tangente) Mientras que para σ1 es válida la aplicación de la Ley de Hooke: σ1 = E . ε 1

(10.19)

Donde E = tg α ≅ E1 Luego: σ1 = /2005

E.h 1 ρ

σ2 =

E 2 .h 2 ρ 10

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Supongamos ahora que la sección transversal es rectangular y de ancho “b”. Al igualar la resultante de tracción con la de compresión tenemos:

b.∫ σ 1 .dy =b. ∫ σ 2 .dy h1

h1

0

0

1 1 σ 1 .h 1 = σ 2 .h 2 2 2

→

E.h 21 2.ρ

=

E 2 .h 22

→

2.ρ

E.h 12 = E 2 .h 22

(10.20)

Siendo h = h1 + h2 se obtiene: h. E 2

h1 =

(10.21)

E + E2

h2 =

h. E

(10.22)

E + E2

El momento flector M de las fuerzas exteriores debe ser igual al de las interiores, luego: E.h 1 b.h 1 2 b .h 3 M= . . h= . ρ 2 3 12.ρ

llamando: 4 .E .E 2 T= E + E2

(

4.E.E 2

( E+

)

2

E2

=

I . ρ

4.E.E 2

( E+

)

2

E2

)

2

(10.23)

(10.24)

la ecuación de la elástica en la zona elastoplástica resulta: y"+ζ 2 .y = 0 donde ζ 2 =

(10.25)

P T .I

(10.26)

Integrando la ecuación (10.26) se llega a: π 2 .T.I Pk = l2 π 2 .T σk = Tensión crítica de Engesser λ2

(10.27) (10.28)

En el caso de secciones de forma cualquiera se demuestra que: T = E.

I1 I

+ E2 .

I2 I

(10.29)

Donde I1 es el momento de inercia de la zona traccionada, I2 es el momento de inercia de la zona comprimida e I es el momento de inercia de la sección total, todos ellos calculado respecto del eje neutro. Si se comparan los valores de T para distintas formas de sección se concluye que T es poco /2005

11

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

sensible a los cambios de sección. Por ello cuando es necesario definir una sección se toma la rectangular ya que es más fácil la formulación matemática en el desarrollo del tema. A fin de disponer de una base general para calcular la tensión crítica, los reglamentos definen la función que relaciona σk con la esbeltez λ. Existen manuales con tablas donde se hallan tabulados los valores correspondientes a σk para distintas esbelteces y diferentes calidades de acero. En las mismas también se indica el valor de σki. En la Figura 10.9, además de graficarse σki, se dibujó la curva correspondiente a σk .

10.4. PANDEO REAL

Una barra real no responde nunca a las condiciones ideales que hemos supuesto anteriormente, es decir, el eje de la barra no es rigurosamente recto, el material no resulta homogéneo, la línea de acción de la fuerza de compresión no coincide con el eje de la pieza, etc. A continuación va mos a ver las consecuencias de estas imperfecciones. Al hacerlo veremos que en la barra real no se produce una “bifurcación del equilibrio”, sino una “divergencia del equilibrio”. Consideremos el caso de la barra de la Figura 10.13 sometida a flexión compuesta. La excentricidad “e” debe interpretarse como una excentricidad no prevista pero inevitable, consecuente con lo expresado en el primer párrafo. Por tratarse de una barra esbelta, el momento flector debe calcularse sobre la configuración deformada. M e = P .(δ + e − y )

(10.30)

M i = E.I .y"

(10.31)

Me = Mi

llamando

→

α2 =

E.I.y"+ P.y = P.( δ + e)

(10.32)

P E.I

(10.33)

y"+α 2 .y = α 2 (δ + e)

(10.34)

La solución general de la ecuación diferencial (10.33) es: y = A .senα x + B . cos α x + e + δ

(10.35)

Para satisfacer las condiciones de borde debe cumplirse: /2005

12

ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

y (x = 0) = 0

→

B + e +δ =0 →

B = – (e + δ )

(10.36)

y’ (x = 0) = 0

→

α.A=0

A=0

(10.37)

→

y = (e + δ ) . (1 – cos α.x) δ

(10.38)

es el valor correspondiente a la elástica para x = l. y = (e + δ ) . (1 – cos α.l)

y =

→

δ=

e .(1 − cos α l ) cos α l

e .(1 − cos α x ) cos α l

(10.39)

(10.40)

Vemos que a diferencia de lo que ocurre con el pandeo ideal, desde el comienzo, es decir, desde P = 0 se tiene una configuración curvada de la barra, no apareciendo el fenómeno de bifurcación del equilibrio. Otra observación importante es que la flecha no resulta directamente proporcional a la carga P. Esto es debido a que la condición final de equilibrio fue planteada sobre la configuración deformada de la pieza que depende de P. Como consecuencia de lo recientemente mencionado resulta que NO ES APLICABLE EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS. La flecha aumenta más rápidamente que la carga y este efecto se acentúa en la medida que α . l se aproxima al valor π / 2. Para α . l = π /2 ⇒ δ → ∞. En este caso: α .l =

π 2

→

α2 =

π2 P = 2 E.I 4.l

→

P=

π2 .E.I = PE ( 2l ) 2

PE: valor de la carga crítica de Euler o del pandeo ideal para el caso considerado. También podemos observar que este último resultado es independiente de la excentricidad inicial “e”. Para comprender un poco mejor el problema vamos a graficar la relación P / PE versus δ / l para distintas relaciones e / l. P PE P π 2 .E.I 1 π2 P π P 2 α = . = . . = . → α .l = 2 2 E.I PE E.I 4.l PE 2 PE 4.l PE

δ=

e.(1 − cos α.l ) cos α .l

→

     δ e  1 = . − 1 l l  π P  cos   2 PE  

(10.41)

En el diagrama de la Figura 10.14 podemos apreciar que las curvas se aproximan tanto más al eje vertical a medida que la excentricidad relativa disminuye. En el límite, cuando e = 0 tendríamos la

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ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

curva quebrada punteada, con lo que el pandeo ideal de Euler resulta ser un caso particular del pandeo real. Se ve además que las flechas aumentan muy rápidamente cuando la carga P se aproxima a su valor crítico, y todas las curvas tienen por asíntota la línea horizontal P / PE = 1 independientemente de “e”.

Fig. 10.14

Una aclaración importante que debemos realizar es que las curvas anteriores no son totalmente exactas ya que cuando la flecha δ toma valores muy grandes, la ecuación diferencial planteada pierde validez porque “y” ya no representa a la curvatura. No obstante podemos considerar que para el caso de barras de cierta rigidez tales como las usuales en la construcción de estructuras las deformaciones se-rán pequeñas y la simplificación de considerar:

1 y" = ≅ y" ρ (1 + y ' 2 ) si bien no es exacta matemáticamente es más que suficiente para pequeñas deformaciones. La consideración de la fórmula completa de la curvatura será indispensable en el caso de análisis de dispositivos de máquinas, por ejemplo. No obstante, el resultado obtenido nos está indicando que cuando la carga se acerca a la de Euler, debido a las grandes deformaciones alcanzadas, el material llega a la fluencia en la sección más exigida. A partir de ese instante el momento interno permanece constante y ya no se equilibra con el externo, que sigue creciendo. Si el material presenta en su curva tenso – deformación un período de refortalecimiento, cuando las tensiones alcanzan esta zona el momento interno vuelve a incrementarse, pero lo hace en forma más lenta que el exterior y ya no lo puede equilibrar. Finalmente podemos decir que es posible demostrar que las conclusiones anteriores son independientes de la forma de sustentación. Por ello, en la práctica, la rotura siempre sobreviene para una carga P < PE, y esto se debe a la existencia de imperfecciones como las ya indicadas. Ocurre entonces que en lugar de existir un fenómeno de bifurcación del equilibrio aparece un problema de flexocompresión.

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ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Si realizamos un ensayo de laboratorio de una pieza comprimida axialmente, y fuese posible respetar todas las hipótesis de Euler, encontraríamos que la carga se va incrementando paulatinamente sin que se observen flechas, hasta alcanzar el valor de Pcrít, en cuyo caso la barra pandea (se flexa) en forma repentina. Dado que las hipótesis de Euler son muy difíciles de lograr, en la medida en que la carga se incrementa van apareciendo flechas, las que aumentan cada vez más violentamente, produciéndose finalmente el agotamiento de la capacidad resistente de la sección más exigida y el colapso de la pieza. Por reglamento se determinan las tensiones críticas reales bajo las siguientes hipótesis: 1. La sección constante de la barra tiene la forma representada en la Figura 10.15, con el punto de paso de la carga según se indica. 2. La compresión actúa en los extremos articulados de la barra y conserva su dirección durante el pandeo. La magnitud “e” que representa la excentricidad no prevista se determina arbitrariamente mediante la siguiente expresión: e=

i S + 20 500

(10.42)

i: radio de giro mínimo de la sección S: longitud teórica de la pieza 3. Es válida la hipótesis de Navier – Bernoulli. 4. El acero verifica el diagrama tensión – deformación de la Figura 10.15. 5. La elástica se supone constituida por una semionda senoid al.

Fig. 10.15

De acuerdo con las hipótesis anteriores se deduce a partir de los puntos 1 a 5 la siguiente expresión para vincular la tensión crítica real con la esbeltez: m.σ kr  m .σ kr π 2 .E  λ = . 1 − + 0,25. σ −σ σ kr  σ F − σ kr  F kr  2

2

  m .σ kr  − 0,005.  σ −σ   F kr

   

3

   

(10.43)

donde: λ   m = 2, 317. 0,05 +  500  

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ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

10.5. CALCULO DE PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN AXIAL 10.5.1. INTRODUCCIÓN Los Reglamentos contienen los fundamentos de cálculo para diferentes casos de inestabilidad en la construcción metálica. En ellos se distinguen tres tipos de carga de agotamiento: § La carga crítica de Euler Pki § La carga crítica usual de Engesser Pk § La carga crítica real Pkr La dificultad de la determinación teórica de éstas cargas crece en el orden indicado, por esta razón, en la construcción metálica se utilizan para el dimensionamiento: § La carga crítica real sólo en los casos más sencillos, § La de Engesser en general, § La de Euler en los casos de mayor dificultad. Según la carga crítica que se utilice en el dimensionamiento deberá realizarse alguna de las siguientes comprobaciones: P≤

Pki

P≤

γ ki

Pk γk

P≤

Pkr γ kr

(10.44)

Donde P: carga que actúa sobre la pieza γki, γk , γkr: coeficientes de seguridad de Euler, Engesser o real respectivamente. Los coeficientes de seguridad recientemente mencionados deben estar comprendidos dentro de los límites que por razones de seguridad y economía, así como por los de experiencia y conocimiento teórico, se establecen, y tanto mayores han de fijarse cuanto más se aparten de la realidad las hipótesis fundamentales admitidas para el cálculo. Desde el punto de vista práctico es sumamente importante tratar de simplificar al máximo las verificaciones a realizar en los problemas de pandeo. En este sentido, la introducción del concepto de longitud de pandeo permite reducir la mayoría de los problemas de pandeo a la determinación de la carga crítica de una barra recta biarticulada de sección constante y esfuerzo axial constante (barra de Euler) Por otro lado resulta conveniente que el cálculo de pandeo se realice en forma semejante a otros tipos de cálculos donde usualmente se comparan tensiones. Consecuentemente, las comprobaciones indicadas anteriormente pueden transformarse de la siguiente manera: Pki Ω Pk Ω Pkr Ω

σ ki   γ ki  σ k  →  = σ c adm γk  σ kr   → γ kr 

= σ ki → = σk = σ kr

(10.45)

σc adm : tensión admisible a la compresión /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Esta σc adm se diferencia del σadm ya que éste es sólo función del tipo de material (Acero aleado, acero común, acero de fundición, cobre, aluminio, hormigón, madera, etc.). En cambio el σc adm es función del tipo de material en primer lugar y luego de las dimensiones geométricas de la barra y su forma de sustentación. Por ejemplo: una barra de acero común de sección rectangular de 0,10 m × 0,15 m, longitud de 3,00 m y con un extremo empotrado y otro libre, tendrá una σc adm distinto del que corresponde a una barra de sección doble T 200, longitud 5,20 m y con ambos extremos articulados. O sea que para hallar la carga admisible de una barra debemos conocer previamente su sección, longitud y forma de vinculación además del tipo de material y ver si la tensión actuante no supera el valor del σc adm de esta barra. σ=

P ≤ σ c adm Ω

(10.46)

Esta última comprobación parece muy simple pero no lo es. En efecto, la tensión σc adm no resulta constante como la tensión admisible a la tracción (σadm ). Para no tener que comparar con tensiones que son variables se ha recurrido al siguiente artificio:

σ P ≤ σ c adm . adm Ω σ adm

llamando:

ω=

σ adm σ c adm

→

σ adm P ≤ Ω  σ adm  σ  c adm

   

(coeficiente de pandeo)

ω.P ≤ σ adm Ω

(10.47)

(10.48)

El coeficiente de pandeo depende de la calidad del material y de la esbeltez de la barra. Sus valores pueden obtenerse de tablas incluidas en los Reglamentos. Para la construcción de estas tablas se tomó como norma la doble verificación: P σ ki ≤ Ω γ ki

P σ kr ≤ Ω γ kr

(10.49)

Esto tiene sentido dado que si bien σkr < σki resulta γkr < γki, con lo que no queda establecido que sea determinante alguna de las dos verificaciones. Para la tensión σki se ha empleado la fórmula de Euler [10.14], y para las tensiones críticas reales se adoptaron las hipótesis indicadas en el artículo anterior. La ecuación [10.49] es la que se utiliza en las verificaciones prácticas, y aunque resulta muy sencilla, no es una fórmula de dimensionamiento directo. En efecto, dado que el coeficiente ω depende de la esbeltez, y consecuentemente del área de la sección, ésta no puede ser despejada. Por este motivo el dimensionamiento de piezas comprimidas siempre es iterativo. En la Figura 10.16 y en la Tabla 1, se dan las Tensiones de Pandeo Ideales (de Euler) σki y las Tensiones Reales σkr para diferentes valores de la esbeltez λ. Dividiendo σki por νki = 2,50 y σkr por ν kr = 1,50, el MENOR de los dos valores de la tensión obtenidos representa en cada caso, la tensión de

/2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

compresión admisible σc adm en la hipótesis de carga 1 (fuerzas principales); en la hipótesis de carga 2 (fuerzas principales y secundarias) hay que aumentar este valor en relación con las tensiones a tracción admisibles 2 . De los valores σc adm se deducen los coeficientes de pandeo mediante la relación ω = σadm /σc adm .

Fig. 10.16 Tabla 1 λ

σKr St 37

St 52

20

2023

2975

30

1941

2832

40

1845

50 60

σKi

σc adm (hipót. carga 1) St 37

St 52

–

1349

1983

–

1294

1888

2659

–

1230

1773

1737

2456

–

1158

1637

1617

2231

–

1078

1487

70

1489

1995

4230

993

1330

80

1358

1762

3238

905

1175

90

1229

1546

2559

819

1024

100

1107

1354

2073

738

829

110

994

1186

1713

663

685

120

892

1043

1439

576

576

130

–

–

1226

490

490

140

–

–

1057

423

423

150

–

–

921

368

368

10.5.2. MÉTODOS DE PREDIMENSIONAMIENTO Para dimensionar una pieza sometida a pandeo, primero se predimensiona y luego se verifica que: P≤

Ω .σ adm ω

(10.49)

Para predimensionar se adopta primeramente la forma de la sección, en base a consideraciones técnicas, económicas y comerciales. 2

En asignaturas posteriores se estudian las Hipótesis de Carga 1 y 2.

/2005

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ESTABILIDAD II

a) b) c) d)

CAPITULO X: PANDEO

Alternativas para el predimensionamiento: Iteraciones sucesivas Método Dömke Método Directo de la DIN 4114. Método Variante de la DIN 4114.

a) Iteraciones sucesivas: Consiste en adoptar una sección Ω que como mínimo sea: P Ω≥ σ adm Con dicho valor se recurre a tabla y se elige una sección con lo cual además del área se tiene el radio de inercia (i), que permite calcular λ = Sk / i y de tabla λ – ω , obtener un valor del coeficiente de pandeo. Se debe verificar que: σ=

ω .P ≤ σ adm Ω

Si σ > σadm , o bien si σ es bastante inferior a σadm , se debe reiniciar el proceso iterativo. b) Método Dömke: Para el caso de secciones geométricamente semejantes se cumple la siguiente relación: λ . ω = cte . = λ 0 Existen tablas λ – λ0 (pág. 297 del “El Acero en la construcción”) que para el caso de los aceros St37 y St52 vinculan la esbeltez con la relación λ0 . El procedimiento consiste en adoptar un valor inicial para ω ; por ejemplo ω = 1. Con este valor se calcula una sección: 1.P Ω0 = σ adm Con este dato se va a tabla de perfiles, y se elige el que satisface esta sección, obteniendo un valor de i0 , para luego calcular: S λ0 = k i0 operando λ 0 . ω0 = λ0 . 1 = λ 0

valor que corresponde en la tabla de pág. 297 del Acero en la construcción a un valor de λ real; con este λ real vamos a tabla λ - ω y se obtiene ω. Con este dato del coeficiente de pandeo, se calcula: ω.P Ω nec = σ adm Con este valor entramos en tabla de perfiles y adoptamos uno (Ω’, i’)

/2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO X: PANDEO

Corresponde verificar, para ello se determina λ’ = Sk / i’ ; se recurre a la tabla λ - ω, se obtiene un ω’. Se calcula: ω'.P σ= ≤ σ adm Ω' Si σ > σadm , conviene probar con el perfil inmediato superior. También se puede reiniciar el proceso, tomando como valor inicial el valor ω’ y calcular λ0 = λ'. ω' . Si σ ≤ σadm , ese sería el perfil que satisface al problema. c) Método Directo de la DIN 4114: Para el caso de secciones semejantes, además de que la expresión λ ω = cte ., también lo es la relación: Ω / i2 = cte. = z

ζ = λ. ω =

(coeficiente de forma)

Sk

σ adm .Ω

i

P

=

2 Ω σ adm .(S k ) . = P i2

z .σ adm .(S k

)

2

P

ζ : característica de la barra En manuales existen tablas ζ - ω - λ. Atento a la forma de la sección, en publicaciones específicas figura el valor del coeficiente z (también puede determinarse haciendo el cálculo de la relación z = Ω / i2 ) Conocido el coeficiente ζ, de la tabla respectiva sacamos un valor para ω. Se calcula: ω.P Ω nec = σ adm Con la sección necesaria adoptamos un perfil (Ω’, i’). Se calcula λ’ = Sk / i’ y de tabla λ - ω se obtiene un valor de ω’; se verifica entonces que: ω'.P σ= ≤ σ adm Ω' d) Método Variante de la DIN 4114: Si los perfiles considerados para el dimensionado, por ejemplo los perfiles laminados de una serie, no son semejantes geométricamente de manera exacta, el procedimiento indicado en el punto c) sólo es aproximado, y su utilidad depende de la correcta evaluación del coeficiente de forma z. En lugar de estimar un valor para z, puede también estimarse directamente el coeficiente de pandeo y en base a este valor (que lo identificaremos como ω*), calcular una superficie: ω.P Ω nec = σ adm De una tabla de perfiles se toma un radio de giro i*, con el cual se determina la característica de la barra: S ζ = k . ω* i* A este ζ corresponderá en la tabla ζ - ω un valor de coeficiente de pandeo ω, que, en caso de diferir notablemente de ω*, puede servir como nuevo valor estimado, corregido; pero que, en caso contrario puede emplearse ya para el cálculo de la sección buscada /2005

20

ESTABILIDAD II

Ω nec =

CAPITULO X: PANDEO

ω.P σ adm

De tabla de perfiles se obtiene (Ω’, i’). Se calcula λ’ = Sk = i’ y de tabla λ - ω se obtiene un valor de ω’; con el cual debemos verificar: σ =

/2005

ω' . P ≤ σ adm Ω'

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ESTABILIDAD II

CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA

11 CARGAS DINAMICAS Y FATIGA 11.1 CARGAS DINAMICAS 11.1.1 Concepto Hasta este momento nos hemos ocupado de estudiar las tensiones y deformaciones producidas por las cargas estáticas, es decir, cargas que insumen un tiempo considerable en aplicarse. Las cargas estáticas varían su magnitud de cero a los valores definitivos tan lentamente, que las aceleraciones que en estas condiciones reciben los elementos de las estructuras son despreciablemente pequeñas. Un ejemplo claro de este tipo de carga es la que soporta una columna de un edificio de viviendas, la cual tarda en recibir el total de las cargas gravitacionales aproximadamente dos años, que es el tiempo que usualmente media entre la construcción de la propia columna y la habilitación del edificio. Cuando una carga se aplica en un período relativamente corto recibe el nombre de “carga dinámica”. Las cargas dinámicas se distinguen de las estáticas por el hecho de originar modificaciones tanto en la magnitud de las tensiones como en las deformaciones a que dan lugar, afectando también la forma y límite de rotura de los materiales. En los materiales solicitados dinámicamente la deformación de rotura se reduce en forma considerable. Asimismo, las experiencias realizadas demuestran incrementos del límite de fluencia y de la tensión de rotura. Muchos materiales que frente a cargas estáticas tienen un comportamiento dúctil, en el caso de cargas dinámicas presentan un comportamiento frágil. Las cargas dinámicas producidas por el impacto de un cuerpo en movimiento pueden originar en la estructura o en parte de ella efectos vibratorios. Si la carga dinámica se repite en forma periódica, y su frecuencia coincide con el período de vibración del elemento, éste puede entrar en resonancia. Cuando esto ocurre se originan deformaciones tan grandes que conducen al colapso de la estructura. La determinación en forma rigurosa de las tensiones que se originan como consecuencia de las cargas dinámicas resulta compleja y en cierto modo, un tanto indefinida. En el caso de solicitaciones estáticas las cargas actuantes pueden determinarse en forma mucho más cierta que en el caso de solicitaciones dinámicas, dónde ocurre una transferencia de una cierta cantidad de energía cinética, la cual en la práctica es muy difícil de cuantificar. La determinación del estado tensional también depende de la zona de contacto en el impacto y del proceso de variación, en función del tiempo, de las fuerzas de contacto. Un ejemplo de esta situación se presenta en el caso de la colocación de material granular en una tolva, En el instante inicial de contacto la masa granular tiene una forma bastante diferente de la que adquiere cuando ha terminado de caer. Otro efecto que juega un papel importante en el proceso de choque es la dispersión (disipación) de la energía, lo que es muy difícil de cuantificar. En este sentido, el amortiguamiento que pudieran proveer los vínculos es sumamente importante. En base a lo que hemos dicho, en la mayoría de los casos se tratan de cuantificar los efectos dinámicos en forma experimental. Para que los cálculos de solicitaciones resulten sencillos se utilizan “cargas estáticas equivalentes”, que no son sino cargas ficticias que actuando estáticamente producen el mismo efecto que las cargas verdaderas actuando en forma dinámica. /2005

1

ESTABILIDAD II

CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA

Las cargas estáticas equivalentes se obtienen multiplicando las cargas verdaderas por un “coeficiente de impacto o dinámico”. Este coeficiente depende de numerosas variables, y según ya hemos visto, en la mayoría de los casos se determina en forma experimental. Para ciertos problemas tipo quedan establecidos por los correspondientes reglamentos de cálculo en función de las variables más significativas. A continuación estudiaremos algunos problemas simples dónde podrá determinarse analíticamente el coeficiente de impacto, pero para ello deberemos realizar varias hipótesis simplificativas.

11.1.2 Solicitación dinámica axial Consideremos el caso de una barra de sección Ω y longitud L, suspendida de un extremo, y que soporta en el opuesto el impacto de un peso Q que cae desde una altura h. Como consecuencia del impacto, el trabajo desarrollado por Q será:

W1 = Q( h + δ)

(11.1)

Consideremos una carga estática P que origina la misma deformación δ. P sería una carga “estáticamente equivalente”. El trabajo desarrollado por esta carga será: L

1 W2 = Pδ 2

Q

(11.2) h

El trabajo producido en ambos casos deberá ser el mismo, con lo que:

W1 = W2

δ

(11.3)

Si admitimos que el material no supera el límite de proporcionalidad, resulta válida la Ley de Hooke, con lo que:

Fig. 11.1

Pδ ΩEδ 2 ΩE 2 = = Q (h + δ) → δ − Qδ − Qh = 0 2 2L 2L 2

QL 2QL  QL  δ= +  h  + ΩE ΩE  ΩE 

(11.4)

QL = δ EST ΩE

(11.5)

v = 2gh

(11.6)

v2 2g

(11.7)

h= /2005

2

ESTABILIDAD II

δ=

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QL  1+ ΩE  

  v 2 ΩE   v 2    1 + = δ 1 + 1 +   EST gQL   gδ EST      

(11.8)

ϕ = coeficiente de impacto Consideremos a continuación algunos casos particulares: a) h à 0

è

v2 à 0

δ = 2δ EST

(11.9)

Este caso corresponde a una carga instantánea, es decir, que no crece paulatinamente en el tiempo. Según la expresión anterior la deformación originada resulta ser el doble de la que correspondería a una carga estática. b) h>> δ EST è δ EST à0 Ecinética = E C =

mv 2 Q 2 = v 2 2g

δ = δ EST + δ 2EST +

δ=

2LE C QLv 2 =δ EST + δ 2EST + gΩE ΩE

2LE C ΩE

σ = Eε = E

σ=

(11.10)

(11.11)

δ E = L L

2L EC = ΩE

2E EC ΩL

2E EC vol

(11.12)

En este caso puede verse que la tensión disminuye no solamente si se aumenta el área de la sección transversal sino cuando se aumenta la longitud de la barra. 11.1.3 Solicitación Dinámica por Flexión Consideremos una viga simplemente apoyada de luz L, que recibe en la mitad de su luz el impacto de una carga concentrada Q que cae desde una altura h. Para este problema realizaremos un análisis similar al efectuado en el ítem anterior. W1 = Q( h + f d )

Q (11.13) h

W2 =

1 Pf d 2

fd

(11.14) L/2

L/2 Fig. 11.2

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3

ESTABILIDAD II

fd =

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PL3 48EI → P = 3 fd 48EI L

W1 = W2 → Q( h + f d ) =

P: carga estática equivalente

48EI 3

2L

f d2 →

24EI 3

L

(11.15)

f d2 − Qf d − Qh = 0 (11.3)

2

·

 QL 3  QL 3 QL 3 v2 2  + fd = +  h = f EST + f EST + f EST  48EI  48EI 24EI g  

 v2 f d = f EST 1 + 1 + gf EST 

  = f EST .ϕ 

(11.16)

ϕ = coeficiente de impacto En este caso se llega a una expresión para el coeficiente de impacto muy similar al problema anterior, y las conclusiones que se obtienen son semejantes. a) h à 0

è

và 0

è fd = 2.fEST

(11.17)

b) h>> δ EST

fEST

v2 f = f EST à0 è d g

fd =

QL 3 h 24EI

σ máx =

M máx PL y máx = y máx I 4I

P=

48EI 3

L

σ máx =

fd →

12E L2

(11.18)

(11.19)

PL 12E 12E = 2 f d → σ máx = 2 y máxf d 4I L L

y máx

QL 3 h= 24EI

6EQh 2 y máx LI

(11.20)

(11.21)

Supongamos que la sección transversal es rectangular de base b y altura d.

y 2máx bd 3 (bd )d 2 d Ω4 2 Ω 2 3 I= = ; donde y máx = ⇒ I = y máx = y máx → = 12 12 2 12 3 I Ω /2005

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ESTABILIDAD II

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σ máx =

18E 18E . Qh = . Qh LΩ Vol

(11.22)

Podemos ver que en este caso la tensión disminuye cuando aumenta el volumen de la pieza 11.1.4 Solicitación dinámica por Torsión. Esta forma de solicitación se presenta en diversos problemas de la técnica. Uno de los más frecuentes es el de los árboles que transmiten potencia, cuando el par motor es aplicado bruscamente. Un ejemplo de ello lo constituye el acoplamiento de un eje al mecanismo motor mediante un embrague. Cuando el embrague se acciona en forma brusca, la potencia actúa en forma dinámica. La energía cinética transmitida podemos expresarla como el producto del par torsor Mt por el ángulo de giro φ. Si θ es el ángulo de torsión específico producido en la pieza Mt entonces el trabajo desarrollado será: L

W1 = M t (φ + θL)

(11.23)

Fig. 11.3

Supongamos ahora un momento torsor Mt’ que actuando en forma estática produce un trabajo igual al anterior W2 =

M 't θ L

(11.24)

2

Si la sección es circular maciza y el material no supera el período elástico tendremos:

M' t = GI P θ →

M L θL = t + GI P

θS =

Mt GI P

2

 Mt L 2M t Lφ   + GI P  GI P 

(11.25)

(ángulo específico de torsión si Mt fuese estático)

θL = θ S L +

θ = θS +

GI P L 2 θ − M t Lθ − M t φ = 0 2

(θ S L )2 + 2θ S φL 

(θ S )2 + 2θ S φ / L = θ S 1 + 

1+

2φ   θ S L 

(11.26)

ϕ = coeficiente de impacto Si el par torsor actúa en forma instantánea φà0 con lo que:θ = 2θ S. Vemos entonces que en forma análoga a lo que ocurre con flexión y esfuerzo axial, la aplicación instantánea del esfuerzo duplica las deformaciones y consecuentemente las tensiones. /2005

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ESTABILIDAD II

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11.2 SOLICITACIONES POR FATIGA 11.2.1 Cargas repetidas En algunas estructuras, y especialmente en eleP mentos de máquinas, los esfuerzos actuantes no son estáticos sino que actúan en forma dinámica, variable con el tiempo. En algunos casos particulares de piezas de máquina, si bien las cargas no varían, el movimiento de la pieza hace que las tensiones varíen a través del tiempo. Ejemplo clásico de esto último es el eje de un vagón de ferrocarril el cual por su rotación produce la inversión del signo de las tensiones internas. Consideremos el caso de un eje de dicho vagón que soporta dos cargas iguales en los extremos, según se indica en la figura 11.4. Estas cargas son transmitidas a la tierra mediante dos ruedas. Una sección como la a-a soporta un momento flector M y para un cierto instante, un punto como el A, ubicado en el borde superior de la sección, tendrá una tensión normal que será máxima: σ máx =

M r I

P

d

a a

M

σmax

A ωt o

A’ y

r

σmax Fig.11.4

(11.27)

Transcurrido un cierto tiempo, si el eje gira con una velocidad angular ω, el punto A pasará a la posición A’ de ordenada y = rsen(90-ωt). La tensión será entonces: σ=

M r sen( 90 − ωt ) = σ máx sen( 90 − ωt ) I

σ = σmáx cos ωt

(11.28)

La ecuación 11.28 nos muestra que la tensión en el punto A varía cíclicamente según una función cosenoidal de amplitud σ máx . Otro ejemplo de solicitación cíclica corresponde al mecanismo biela- manivela, donde la biela está sujeta a solicitaciones alternadas de tracción y compresión. En determinados casos las solicitaciones alternadas ocurren en forma continuada durante períodos largos de tiempo, como en el caso de ejes de locomotoras, cigüeñales, bielas, dientes de engranajes, resortes de válvulas, etc. En otras circunstancias, como en los puentes ferroviarios, la variación de tensiones ocurre en períodos de tiempo cortos y el aumento de las tensiones por sobre el valor de las correspondientes a las cargas estáticas es relativamente reducido. Cuando sobre un elemento estructural actúan sistemáticamente cargas repetidas o cíclicas, en los lugares dónde existen fuertes concentraciones de tensiones, cuyo origen obedece a irregularidades superficiales, a cambios bruscos de forma, a la existencia de fisuras internas microscópicas o a inclusiones también microscópicas ( granos de escoria en el caso de los metales ), pueden aparecer /2005

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grietas que conducen a la destrucción frágil del elemento, aún cuando el material tenga un comportamiento dúctil bajo cargas estáticas. Por ejemplo para el caso del eje de la fig. 11.4, si en función del momento actuante en la sección y las características del material dimensionáramos el eje en base a la tensión admisible correspondiente a las cargas estáticas, al someter la pieza a un ensayo veríamos que esta rompe al cabo de un cierto número de ciclos. La existencia de una discontinuidad en una pieza, sea ésta un orificio, una entalladura, etc., hechos muy comunes en la práctica, da origen a perturbaciones en la distribución de tensiones. Aparecen así las denominadas concentraciones de tensiones, y sus correspondientes diagramas presentan los llamados picos de tensión, originados por grandes deformaciones localizadas en pequeñas zonas de la sección.

σmedio

σpico Fig. 11.5

El proceso de surgimiento y desarrollo de las grietas en el material sólido, originado por las cargas cíclicas, se denomina “fatiga del material”. El análisis teórico de la resistencia a la fatiga presenta grandes dificultades. La naturaleza de la destrucción por fatiga se determina por las particularidades de la estructura molecular y cristalina de la materia. Por lo tanto, el esquema de la materia continua que se aplicó en los temas que hasta ahora se analizaron, en este caso concreto no puede servir de base satisfactoria para la investigación. Es por esto que resulta necesario, manteniendo todas las suposiciones de la mecánica del cuerpo continuo, ir por el camino de la acumulación de datos experimentales que, permitan elaborar las reglas pertinentes para orientar los cálculos. La agrupación y sistematización de los datos experimentales constituye en la actualidad el contenido de la teoría de la resistencia a la fatiga.

11.2.2 Tipos de tensión en la solicitación por fatiga – Definiciones Las solicitaciones repetidas pueden clasificarse dentro de dos categorías: a) Pulsatorias (las tensiones varían entre dos extremos sin cambiar de signo) b) Cargas oscilantes (los valores extremos de las tensiones son de distinto signo) A su vez, las cargas pulsatorias se denominan intermitentes si una de las tensiones extremas es nula, y las cargas oscilantes se dicen alternadas si las tensiones extremas son opuestas. En la figura 11.6 podemos ver ejemplos gráficos de los distintos tipos de cargas recientemente definidas. Llamaremos σ máx , o tensión superior a la máxima tensión en valor absoluto, y σ mín a la mínima tensión tamb ién en valor absoluto.

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ESTABILIDAD II

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Definiremos como tensión media al siguiente valor: σ

σ σmáx σm σmín

σmáx σm t σmín

t Carga pulsatoria

Carga Oscilante

σ

σ

σmáx

Carga pulsatoria Intermitente

σm σmín = 0 t

σmáx σm = 0 σmín

t

Carga pulsatoria Alternada Fig. 11.6

σm =

σ máx + σ mín 2

(11.29)

y definiremos como amplitud de la tensión dinámica a:

σa =

σ máx − σ mín 2

(11.30)

Esta última también se conoce como tensión variable o revertida. σ Llamaremos coeficiente de ciclo a: r = mín σ máx Los ciclos con igual valor de r se denominan ciclos semejantes. Para ciclo intermitente à r=0 Para ciclo alterno simétrico à r = -1 Cualquiera de las cargas que hemos mencionado recientemente puede ser considerada como resultante de la superposición de dos tensiones: una constante de valor σm y otra alternada de amplitud σ a. σ La experiencia indica que la resistencia a la fatiga depende sólo de la amplitud de la tensión dinámica σa y del valor de la tensión media, influyendo muy poco la ley de variación entre las tensiones extremas. Para un cierto material dado, t la resistencia a la rotura será la misma para cualquiera de las leyes de variación de la figura 11.7 Fig. 11.7

Quiere decir que para juzgar sobre la resistencia a la fatiga en el caso del ciclo dado, es suficiente conocer los valores de σ máx y σ mín o bien σ m y σ a /2005

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11.2.3 Resistencia a la fatiga. Curva de Wöhler Definiremos como “resistencia a la fatiga” a la máxima amplitud de la tensión dinámica que superpuesta en ambos sentidos a la tensión media puede actuar un número ilimitado de reiteraciones, sin provocar la rotura del material ni una deformación plástica superior a la admisible. Existen algunos casos particulares de resistencia a la fatiga: a) Resistencia de oscilación. Corresponde al caso de σm = 0 y σmáx = σmín , La designaremos σA. Resistencia de pulsación. En este caso una de las tensiones extremas es nula. La designaremos con σU. La determinación de la resistencia a la fatiga se efectúa experimentalmente, y resulta ser siempre inferior a la resistencia determinada en un ensayo estático. Para obtener la resistencia a la fatiga se realiza el trazado del denominado Diagrama de Wöhler. Para ello se somete una probeta del material a una carga variable de amplitud σa y tensión σm prefijadas, determinándose el número N de ciclos para el cual se produce la rotura por fatiga. El ensayo se repite para otros valores de σa . Para cada caso se representa en un diagrama el valor de N que ha conducido a la rotura (en escala logarítmica) y la tensión máxima correspondiente al mismo. Se obtiene así una curva asintótica a un valor de σmáx que es precisamente la resistencia de fatiga.

Para N=0 el valor de la resistencia a la fatiga coincide con el valor de la resistencia estática σR. Debido a que algunos materiales son capaces de resistir un número ilimitado de ciclos, se adopta una resistencia de fatiga convencional, que corresponde a la tensión para la cual el material resiste una cantidad determinada de ciclos, por ejemplo 108 . Hay numerosos factores que influyen en la resistencia a la fatiga. Ya hemos visto que la influencia de los cic los de carga es muy importante, otros factores significativos son la posibilidad de corrosión, la temperatura de trabajo, el endurecimiento en frío, los tratamientos térmicos, la forma de las probetas que se utilizan en los ensayos, etc. Un resultado importante a tener en cuenta es el siguiente: σR ≥ σU ≥ σA 11.2.4 Diagramas de fatiga La mayor parte de los valores experimentales obtenidos en ensayos de flexión corresponden a cargas oscilantes alternadas, para las cuales σm = 0, pero en realidad, para una mejor interpretación de los resultados interesa conocer la influencia de σm. Para ello deben disponerse de numerosos resultados experimentales que contemplen la mayor cantidad posible de combinaciones. Numerosos investigadores han realizado estos ensayos y han obtenido diferentes interpretaciones. Las interpretaciones gráficas de los resultados han dado lugar a la definición de los denominados diagramas de fatiga, de los cuales uno muy difundido es el Diagrama de Smith. Para su construcción se procede de la forma siguiente: sobre un par de ejes coordenados ortogonales se llevan en abscisas las tensiones medias σm y en ordenadas las tensiones σmáx y σmín . /2005

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correspondientes a las respectivas tensiones medias. Las ordenadas definidas por una recta a 45º que pasa por el origen corresponden, lo mismo que las respectivas abscisas, a las tensiones medias σm, y dicha recta divide en partes iguales a la doble amplitud σa. Es decir, que la distancia de cada curva límite a la recta mencionada corresponde al valor de la tensión variable σa, que es la que define a las distintas resistencias de fatiga. En la figura 11.9 hemos reproducido un diagrama de Smith que obedece a las características de un acero de límite de rotura estática σR = 47 kN/cm2 , límite de fluencia σF = 26 kN/cm2 y resistencia de fatiga bajo carga oscilante alternada σA = 19 kN/cm2 . Carga pulsatoria intermitente

σt

M

C Carga oscilante alternada

σ* a Co C´

σA=σmáx

σu =σmáx

A

σA=σmáx Carga oscilante

σ* máx

σ* min

σ*m

O

A'

σ* a

σmáx =σmín =σm =σR

B

Carga Estática

σt

σR σm

Carga pulsatoria

K

σF

σA

σm

K'

Fig. 11.9

Para un material como el indicado, el diagrama es simétrico, para el tercer cuadrante en relación al primero, por lo que sólo hemos graficado una parte. En la figura además hemos ubicado las cargas tipos ya estudiadas y se indicaron las zonas de validez para cada una. Si se entra en el diagrama con un valor de la tensión media σm , del mismo se puede obtener el valor de la resistencia a la fatiga σa . En el diagrama puede verse que en la medida que σm crece, disminuye la resistencia a la fatiga, hasta σm = σR dónde no se admite ninguna carga repetida. Para el dimensionamiento de elementos estructurales sometidos a fatiga, la experiencia indica que no es conveniente superar el valor del límite de fluencia del material, así es que el diagrama de Smith queda limitado a la zona rayada del dibujo. La corrección se realiza en base a lo anterior y manteniendo la simetría debida.

N

σA Fig. 11.10

σt

K

σF

N

B Ko A

Bo

σA

K' σm O

B'

σA A'

0.8σA Fig. 11.11

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CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA

Finalmente podemos ver que el diagrama queda definido entre dos rectas y dos curvas de reducida curvatura, las cuales pueden ser reemplazadas sin error, por dos rectas. Esto simplifica el trazado del diagrama. Admitiendo que σa correspondiente a la resistencia pulsatoria intermitente es del orden del 80% de la resistencia σA, bastará conocer σF y σA para poder trazar el diagrama aproximado, el cual queda definido como en el esquema de la figura 11.11. BB 0 = B 0B ' = 0.8σ A KK 0 = K 0 K '

Otros investigadores han propuesto ciertas leyes que establecen la variación de la tensión variable σa en función de la tensión media σm. Ley de Goodman:

σa σ = 1− m σA σR

(11.32)

Ley de Gerber:

σ σa = 1 −  m σA σR

Ley de Soderberg:

σa σ = 1− K m σA σR

K=

Dónde

  

2

(11.33)

(11.34)

σR σF 1 0.9 0.8 0.7

σa/σA

0.6 0.5 0.4 0.3 Gerber Soderberg Goodman

0.2 0.1 0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

σm/σR

Fig. 11.12 Representación gráfica de las tres teorías

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ESTABILIDAD II

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11.2.5 Dimensionamiento de piezas sometidas a fatiga 11.2.5.1 Concepto Para realizar el dimensionamiento vamos a considerar válida la Ley de Soderberg, a partir de la cual obtendremos la expresión correspondiente a la tensión σmáx. σ máx = σ m + σ a σ máx = σ m + σ A −

σA σ σ m = σ A + (1 − A )σ m σF σF

llamando β = σA / σF tenemos: σ máx = σ A + (1 − β)σ m

(11.35)

La expresión de σmáx depende de σA , que es una tensión de rotura, la que por razones de seguridad deberá ser afectada del correspondiente coeficiente de seguridad. σA + (1 − β)σ m ν  σ σ  σ σ σ adm fat =  A + (1 − β)σ m  adm =  A + (1 − β) m  σ adm σ adm   ν  σadm  νσadm σ σ adm = F ν σ σ   σ  σ adm fat =  A + (1 − β) m  σ adm = β + (1 − β) m  σ adm σ adm  σ adm   σF  σ adm fat =

σadm fat =

σadm ψ

(11.36)

ψ = coeficiente de fatiga Vemos finalmente que un problema de fatiga puede resolverse como un problema de cargas estáticas, afectando la tensión admisible de un coeficiente que depende de las características del material y de la tensión media. A continuación analizaremos algunos casos simples de dimensionamiento. 11.2.5.2 Fatiga por solicitación axial Consideremos una pieza sometida a una carga axial P variable entre Pmáx y Pmín.

σ máx =

Pm =

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Pmáx Ω

P 1 (Pmáx + Pmín ) → σ m = m 2 Ω

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ESTABILIDAD II

CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA

 Pm  ≤ β + (1 − β ) σ Ω Ω σ adm  adm  Pm P (1 − β ) Pm − (1 − β ) ≤ β → Ω ≥ máx − Ω σ adm β σadm β σ adm

σ máx trabajo = Pmáx Ωσ adm

Pmáx

Pmáx  1 1 P  − ( − 1) m   σ adm  β β Pmáx 

Ω≥

(11.37)

Consideremos el caso de un material con σF = 24 kN/cm2 y σA = 12 kN/cm2

β=

σ A 12 1 = = σ F 24 2

Ω≥

Pmáx σ adm

 Pm  2 − P  máx  

(11.38)

Para el caso en que Pmáx = - Pmín à Pm = 0 à ψ = 2 . Esta situación más desfavorable y corresponde a una carga oscilante alternada. Para el caso en que Pmín = 0 à Pm = Pmáx / 2 à ψ = 1.5. Si la carga es estática resulta Pmáx = Pmín = Pm à ψ = 1 11.2.4.3 Fatiga por flexión Supongamos una pieza con momento de inercia constante y una sección de ella solicitada por un momento flector variable entre dos valores límites, Mmáx y Mmín.

Mm =

1 (M máx + M mín ) 2

σ máx =

M máx W

Haciendo un desarrollo semejante al caso del ítem anterior se llega a la siguiente expresión de dimensionamiento:

W≥

M máx  1 1 Mm  − ( − 1)  σ adm  β β M máx 

(11.39)

Si suponemos un material con β = 0.75 entonces:

1 1 Mm  4 1 Mm ψ =  − ( − 1) = − β M máx  3 3 M máx β Carga estática: Carga intermitente: Carga alternada:

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ψ = 1.0 ψ = 1.17 ψ = 4/3 ≅ 1.33

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