Modelo 2011. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: f (x ) =

x −1

(x + 1)2

se pide: b. (1,5 puntos). Calcular el área del recinto acotado comprendido entre la gráfica de f; el eje OX y las rectas x = 0, x = 3. Solución. x −1 dx (x + 1)2 Para calcular la primitiva de la función se usa el método de descomposición en fracciones simples de polinomios con raíces reales de multiplicidad mayor que uno. x −1 A B = + 2 x + 1 (x + 1) (x + 1)2

∫

El calculo de las constantes A y B se hace por identificación de numeradores una vez sumadas las fracciones del miembro de la derecha de la igualdad. x −1 A ⋅ (x + 1) + B = : x − 1 = A ⋅ (x + 1) + B 2 (x + 1) (x + 1)2

Coeficientes  Término  A =1  x − 1 = Ax + A + B = Bx + A + B :  x: 1= A : Independiente − 1 = A + B B = −2  x −1 1 −2 = + 2 (x + 1) x + 1 (x + 1)2 x −1

 1

−2



1

2

∫ (x + 1)2 dx = ∫  x + 1 + (x + 1)2  dx = ∫ x + 1 dx − ∫ (x + 1)2 dx = 

=∫



1 (x + 1)−1 + C = Ln x + 1 + 2 + C dx − 2 ∫ (x + 1)−2 dx = −Ln x + 1 − 2 x +1 x +1 −1

Septiembre 2006. Ejercicio 1A. (2 puntos) Calcular

dx

2

∫1

x + 2x Solución. Primero resolvemos la integral indefinida por descomposición en fracciones simples, y a continuación la integral definida. Para resolver la integral hay que descomponer la expresión racional en fracciones simples, y para ello hay que factorizar el denominador, que en este caso es muy sencillo por tratarse de un polinomio de 2º grado sin término independiente. 1 1 A B = = + 2 x + 2 x x ⋅ (x + 2) x x + 2 Para calcular las constantes A y B sumamos las fracciones e igualamos los numeradores. A ⋅ (x + 2) + B ⋅ x 1 = ⇒ 1 = A ⋅ (x + 2 ) + B ⋅ x x ⋅ (x + 2) x ⋅ (x + 2) Dando a x las raíces del polinomio (0, −2) se obtienen respectivamente los valores A y B. 1 • x = 0 : 1 = A ⋅ (0 + 2) + B ⋅ 0 ⇒ A = 2 1 • x = −2 : 1 = A ⋅ (− 2 + 2) + B ⋅ (− 2) ⇒ B = − 2 Sustituyendo 1 −1 1 2+ 2 = 1 ⋅ 1 − 1  =   2 x x + 2 2  x x+2 x + 2x

1

2

Una vez hallada la descomposición en fracciones simples se resuelve la integral aplicando la 1   primitiva del logaritmo neperiano  dx = Ln x + a + C  .  x+a 

∫

∫x

1 2

+ 2x

dx = =

1 1

1 

1 1

1 

1 1



1

∫ 2 ⋅  x − x + 2  ⋅ dx = 2 ∫  x − x + 2  ⋅ dx = 2 ∫ x dx + ∫ x + 2 dx = 1 (Ln x − Ln x + 2 ) + C = 1 Ln x + C = Ln x + C 2 2 x+2 x+2

La integral definida se calcula mediante la regla de Barrow.

∫

2

1

2

x  2 1 1 1 = Ln − Ln = Ln − Ln = Ln  = Ln 2 x + 2  2+2 1+ 2 2 3 x + 2x 1 dx

1 1

2

= Ln

3 2

3

Modelo 2003. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 2 puntos. Calcular la siguiente integral indefinida:

∫x

x2 + 4 2

− 5x + 6

dx

Solución. Por ser de igual grado los polinomios de numerador y denominador, se dividen obteniendo 1 de cociente y 5x ‒ 2 de resto.

x2 + 4

5x − 2



5x − 2



∫ x 2 − 5x + 6 dx = ∫ 1 + x 2 − 5x + 6 dx = ∫ dx + ∫ x 2 − 5x + 6 dx =

5x − 2 2

x − 5x + 6

=

5x − 2

(x − 2) ⋅ (x − 3)

=

A B A ⋅ (x − 3) + B ⋅ (x − 2) + = x −2 x −3 (x − 2) ⋅ (x − 3)

Igualando los numeradores y dando a la x las raíces del denominador se calculan las constantes A y B:

5x − 2 = A ⋅ (x − 3) + B ⋅ (x − 2)

x=2

;

5 ⋅ 2 − 2 = A ⋅ (2 − 3) + B ⋅ (2 − 2) ;

A = −8

x =3

;

;

B = 13

5x − 2

5 ⋅ 3 − 2 = A ⋅ (3 − 3) + B ⋅ (3 − 2 ) 5x − 2 −8 13 = + 2 x − 2 x −3 x − 5x + 6  −8

13 

−8

13

∫ dx + ∫ x 2 − 5x + 6 dx = ∫ dx + ∫  x − 2 + x − 3 dx = ∫ dx + ∫ x − 2 dx + ∫ x − 3 dx = 1 1 = dx − 8 ⋅ ∫ ∫ x − 2 dx + 13 ⋅ ∫ x − 3 dx = x − 8 ⋅ Ln x − 2 + 13 ⋅ Ln x − 3 + C

2