GUÍA PARA LA PRUEBA DE MATEMÁTICA DICIEMBRE 2012 / FEBRERO 2013 La prueba de Matemática tiene el propósito de evaluar tus habilidades para realizar operaciones matemáticas sencillas y tu capacidad de comprensión y resolución de problemas de nivel básico, ambas cuestiones consideradas imprescindibles para comenzar estudios universitarios con orientación científico-técnica. Para asistirte en la preparación del examen, te adjuntamos el siguiente material: •
el programa, con la lista de temas incluidos en la evaluación,
•
5 módulos de problemas con sus respuestas, para una adecuada ejercitación
•
ejemplos de exámenes tomados anteriormente.
Los módulos de ejercitación servirán para reforzar habilidades y conocimientos. Para ello, éstos contienen una abundante cantidad de problemas con sus respuestas, de modo que puedas tener un control sobre la validez de tus razonamientos. El nivel de dificultad de los temas va en aumento en los cuatro primeros módulos. El último presenta problemas de aplicación: cuestiones que surgen de situaciones cotidianas y que implican una solución empleando herramientas matemáticas. En estos problemas, tanto la comprensión del enunciado como la resolución matemática del problema son parte de la evaluación. La resolución de los exámenes tomados anteriormente te ayudará a conocer el nivel requerido para la prueba de admisión. Para aprobar, la nota mínima exigida es de 6 (seis) sobre un máximo de 10 (diez) puntos. El puntaje de cada ejercicio del examen, que puede variar de una fecha a otra, estará indicado en el momento de la prueba. Hay, además, horarios programados de consultas, donde podrás aclarar tus dudas con la ayuda de los docentes. También podrías usar estos horarios para trabajar en el aula y así acceder a consultas en el momento que éstas surgen. Como se trata de un espacio de consulta, no habrá clases formales programadas. Por último, te recordamos que el examen de matemática es el 15 de diciembre de 2012; si en esa fecha no lo rendís o no lo aprobás, podés presentarte el 23 de febrero de 2013. Te esperamos en diciembre o en febrero.
Examen de Admisión de Matemática PROGRAMA ANALÍTICO •
Unidad 1: Revisión de las operaciones con números racionales. Potenciación y radicación de números racionales. Números Irracionales. Números reales. Operaciones con números reales. Representación en la recta numérica. Intervalos reales. Notación. Unión, intersección y diferencia de intervalos. Resolución de ecuaciones, inecuaciones y situaciones problemáticas. Representación de puntos en el plano.
•
Unidad 2: Funciones. Concepto de función, dominio, codominio e imagen. Representaciones gráficas de funciones elementales. Conjunto de ceros, conjunto de positividad y negatividad de una función. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función, puntos máximos y puntos mínimos. Cálculo de imágenes y preimágenes. Modelización de situaciones.
•
Unidad 3: Función lineal. Representación gráfica. Rectas paralelas y perpendiculares. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Representación gráfica. Clasificación de sistemas. Intersección de rectas en el plano. Problemas de modelización.
•
Unidad 4: Función cuadrática. Representación gráfica. Dominio, Imagen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, positividad, negatividad. Parábola, vértice, eje de simetría, concavidad. Ecuación cuadrática.
Intersección de recta y parábola.
Intersección de parábolas. Funciones definidas por tramos. Problemas de modelización. •
Unidad 5: Trigonometría. Circunferencia trigonométrica: definición de seno, coseno y tangente. Reducción al primer cuadrante. Ecuaciones simples. Problemas de modelización.
•
Unidad 6: Vectores. Definición. Vectores en el plano. Coordenadas. Suma de vectores, producto de un vector por un escalar. Proyecciones. Producto escalar. Módulo de un vector. Ángulo entre dos vectores. Paralelismo y ortogonalidad. Aplicaciones.
1
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA •
Miguel Guzmán y otros. Matemática C.O.U.. Editorial Anaya.
•
Seveso de Larotonda, Julia y otros. Matemática 9 EGB. ED. Kapelusz.
•
Seveso de Larotonda, Julia y otros. Matemática 8. ED. Kapelusz.
•
Laurito, Liliana y otros. Matemática 9. EGB. ED. Puerto de Palos.
•
Silvia Altman y otros. Matemática/Polimodal. Vectores. Longseller. Buenos Aires, 2003.
•
Miguel Guzman , J. Colera , A. Salvador. Matemática Bachillerato 1, 2, 3. Editorial Anaya.
•
Kaczor, Pablo y otros. Matemática I-Polimodal. Editorial Estrada.
2
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Matemática – CPU
MATEMÁTICA – CPU MÓDULO 1 Números reales. Ecuaciones e inecuaciones. Representaciones en la recta y en el plano. 1. Marcar con una cruz los conjuntos a los cuales pertenecen los siguientes números: -8
2
0,25
0
-
2 3
(- 5)2
-1,32
- 52
3
16
-8
5
- 5
π
3,14
N Z Q R 2. En cada caso, unir con una flecha cada expresión con su resultado correspondiente.
12 - 4 - 5 + 2 - 7 + 4 - 1 + 6 = 12 - (4 - 5) + 2 - (- 7 + 4 - 1) + 6 =
a)
9 25
12 - 4 - [5 + 2 - (- 7 + 4 ) - 1] + 6 =
7
12 - (4 - 5 + 2) - (- 7 + 4 - 1 + 6) =
b)
6.5–2:2+1= 6 . (5 – 2) : (2 + 1) = 6 . 5 – (2 : 2 + 1) = 6 . ( 5 – 2 : 2) + 1 =
5 28 30 25 6
3. Completar el cuadro con los símbolos de las operaciones “+”, “–”, “.” ó “:” y con los números que faltan en los casilleros que corresponda, para que se cumplan las igualdades. 14 – : 2
–
+
= 12
–
+ 4
:
4
=
8 +
:
1
=
6 –
. .
=
=
=
16
2
= =
4
4. Colocar, en cada caso, un paréntesis donde sea necesario para que dé el resultado indicado. a) 6 . 2 + 6 : 2 + 1 = 25 b) 6 . 2 + 6 : 2 + 1 = 14 c) 6 . 2 + 6 : 2 + 1 = 31 5. Calcular: a) - 7 2 + (- 7 ) + 7 0 + (- 7 ) = 2
b) - 3 - 24 - 3 - (1 + 5) 2 - 5 2 + 10 2 : 2 =
0
d) (5 2 : 57 )(512 .5 4 : 59 ) - 5 2 .5 0 =
c) ( -2) 2 ( -2)(-2) 3 + ( -3) 6 : ( -3) 3 + [(-1) 3 ]2 = e) Módulo 1
4
2 3.2 - 5 ( -2) 6 : ( -2) + 3 ( -4) 2 ( -4) = 1
Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.
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6. a) Completar la tabla. Fracción irreducible Otra fracción equivalente Expresión decimal
24/15 -3,2 2/3 -22/10 b) De los siguientes números, -3/2; 5/3; -2/-3; 8/9; -0,27; -2; -1/2, indicar cuáles son: i. menores que 0. ii. mayores que 0 y menores que 1. iii. mayores que 1. iv. menores que -1. 7. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Marcar con una X en el casillero correspondiente. V
F
-2 2 es . -3 3 -2 2 El opuesto de es . 3 3 El opuesto de
La fracción irreducible de
125 12,5 es 30 3
125 12,5 = 30 3 1 1,3 = 3 13 1,3 = 10 5 = 0 ,71 7 1 1 @ 0 ,33 ( es aproximadamente igual a 0 ,33 ) 3 3 2 2 El opuesto de b - es - b 3 3 2 2 El opuesto de b - es - + b 3 3
8. Calcular y expresar el resultado como una fracción irreducible. 4 æ2 ö 5 1öæ 4ö æ2 3öæ4 1ö 3 æ a) - ç + 1÷ : = b) ç - ÷.ç - ÷ : + ç - 2 + ÷.ç - ÷ = 5 è3 ø 2 3øè 5ø è3 2øè5 2ø 4 è 3 1 3 1-1 3 2+ 2 c) = d) 5 = e) = 3 1 5 4 24 4 4 9. De un dinero se gastó la mitad, luego la mitad de lo que quedaba, y por último las dos terceras partes del resto. ¿Qué parte sobró? Módulo 1
2
Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.
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10. Indicar cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F). a 5 a 1 a 7 7 a) × 5 = a × b) × 5 = a × × 5 c) × = a 3 3 3 3 2 3 6 a 9 a×9 a+3 a+3 a d) × = e) = a +1 f) = +1 7 7 7 3 3 3 11. Resolver las siguientes ecuaciones en R. Hallar el conjunto solución. a) 4 x - 5 = 7 + 2 x
b) 5 - 2 x = 4 + x
e) 3x + (8 - 4 x ) : 2 = -4(- 2) + x
3x - 6 + 1 = 2x 5 3x x - 2 g) =x 4 4
c) 3 - 2 x - 3( x - 6 ) = -4 x f) 2 x -
d)
3x 1 + 5 = ( x + 10) 2 2
12. a) – Soy adivino - le dijo Juancito a su hermano Miguel. - No te creo - le contesta Miguel. - Hagamos la prueba. Pensá un número, sumale cinco, multiplicá el resultado por 2, al nuevo resultado sumale 10, y a lo que te dio restale el doble del número que pensaste. - El número que obtuviste es 20 - dice Juancito muy concentrado. Miguel después de pensar un rato, le dice: - ¡Ya sé como hiciste! Tratar de descubrir que pudo haber pensado Miguel. b) Nicolás: Diego tiene pocas figuritas, las que tengo yo superan en 5 al triple de las que él tiene. Fabián: Sí, tiene pocas, yo tengo el triple de: todas las que tiene más 5. Diego: Ustedes dos tienen la misma cantidad de figuritas. Nicolás: ¡No, no puede ser! Tratar de averiguar quién tiene razón. 13. Encontrar el valor de k si se sabe que x = -
1 4x es la solución de la ecuación - 5 = 6(2 - x ) . k 2
14. En cada caso, extraer el factor común indicado. 1 a) 2a 2 - a . 3 i. el factor a. ii. el factor 2a. 4 16 4 b) - b + b 3 + b 2 . 9 9 3 4 i. el factor b . ii. el factor - 1 . 3
iii. el factor - a .
15. a) Desarrollar y reducir a la mínima expresión posible. 2 x 2 2 i. (a + 3) ii. æç - 4 ö÷ iii. ( x + 5 y ) iv. ( x - 5)( x + 5) è2 ø b öæ bö b öæ bö 4 æ 2 öæ 2ö 2 æ æ v. ç a + ÷ç a - ÷ vi. ç a + ÷ç a + ÷ vii. + ç c - ÷ç c + ÷ - (c - 5) 3 øè 3ø 3 øè 3ø 9 è 3 øè 3ø è è b) Escribir como producto de dos factores. 25 i. x 2 - 9 ii. a 2 iii. x 4 - 4 4 Módulo 1
iv. b 4 - 4b 3
v. a 2 + 2ab + b 2 Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.
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16. Si se sabe que 4 ( p + q ) + 8 = 5 , calcular:
b) 5 - 10 ( p + q ) =
a) 2 ( p + q ) =
d) 5( p - q ) - 6( p + 2) + 4q =
c) 3 p + 3q + 7 =
17. Para calcular el volumen de la pirámide trunca de base cuadrada, los babilonios utilizaban la fórmula é a + b ö 2 1 æ a - b ö2 ù 1 2 2 V = h ê æç ÷ + ç ÷ ú mientras que los egipcios utilizaban la fórmula V = h ( a +b + ab ) . 2 3 2 3 ø è ø û ëè En ambos casos, h simboliza la altura de la pirámide, a simboliza el lado del cuadrado mayor y b simboliza el lado del cuadrado menor. ¿Son ambas fórmulas equivalentes? 18. Encerrar con un círculo del mismo color las expresiones equivalentes: 2
2
1 1 a) æç ö÷ ; - æç ö÷ ; 0 ,5 2 ; - 0 ,5 2 è2ø è2ø
(
b) 2 xy -2
)
2
4x2 ; y -4
;
2
æ - 1 ö ; - 2 -2 ; 2 - 2 ; ç ÷ è 2ø
2 2x2 ; 2(xy -1 ) : y 2 ; 4 y
(- 0,5)
-2
-2
-2
1 1 ; (- 0 ,5) ; æç ö÷ ; æç - ö÷ . è 2ø è 2ø 2
4x2 . y4
4 a. 3 a) Marcar con una X la o las expresiones que les permiten calcular el área del cuadrado. 2 a2 a2 a æaö ç ÷ 3 9 9 è3ø 2 b) Si el área del cuadrado es 4cm , ¿cuántos centímetros mide su perímetro?
19. El perímetro de un cuadrado es
20. Calcular y escribir el resultado como una fracción irreducible. -2
2
2
æ1ö æ1ö æ 1ö a) ç ÷ + ç ÷ + ç - ÷ + 3-2 = è 3ø è 3ø è 3ø
æ 1ö b) ç - ÷ è 5ø
3
1 3 .æç - 2 - ö÷ + 1 2 2 è ø
2
æ 3 ö : æ- 3 ö = ç ÷ ç ÷ è4ø è 2ø
82 0 49 + æ 1 - 7 8 ö = ç ÷ 2 è2 ø æ 5 - 1ö ç ÷ è7 ø 2-
-2
16 æ 1 ö 7 .ç ÷ + 3 - æç1 - ö÷ = 25 è 5 ø è 8ø
c)
2
d)
21. Completar con " =" o " ¹" . a)
1 4 + …. 4 9
1 4 + , 4 9
b)
25 4 . …. 4 9
25 4 . , 4 9
c)
8 …. 2 2 ,
169 - 1 …. 25
169 - 1, 25
1 4 1 4 : …. : , 4 9 4 9 3 3 …. , 3 3
a + b ….
1 4 1 : …. , 4 9 3 1 3 …. 3 3
a + b (a,b > 0) a .b ….
a . b (a,b ³ 0)
22. Operar, si es necesario racionalizar, y dejarlo expresado con la menor cantidad de términos posible. No aproximar. 1 a) 3 2 - 2 + 2= b) 7 2 - 12 - 3 3 - 2 + 1 + 75 = 2 c)
Módulo 1
3
93 3 -
3 3
16 3 + 16 - 3 2 = 2
d)
4
1 2+ 3
=
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e) g)
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1 1 1 - 3+ - 2+ 2= 2 2- 3 2
(2
) ( 2
3- 5 -
)
2
f)
(
(
3+2
) -(
)
2
3 -5 =
)
3 + 12 + 2 2 15 + 5 =
23. Resolver las siguientes ecuaciones. a) x 2 - 25 = 11 b) 3x 2 - 5 = ( x - 1)( x + 1) d) ( x - 3)2 + 11 = 2
2x2 g)
3
9 2 =0
k) x 3 + 4 x = 0 ñ) q)
x - 1 = -10 : ( -2)
( x + 3)
x =0
e)
(3x
2
+2 5
)
2
3
1ö 3 æ f) ç x - ÷ - 9 = -2 1 2ø 4 è
=5
i) (x 2 - 2 )( x - 2 ) = 0
h) ( x - 1)(2 x + 3) = 0 l) 5 x 2 = 4 x
c) 2(- 3 x + 5)2 - 7 = 1
j) 3 x 3 - 2 x 2 = 0
2
m)
2x = -2 5 2- 5
o) x + 6 = 3 r)
x-2 =0 x+5
n) 2 7 +
x =5+ 7 5- 7
p) 3 + 5 x = 2 s)
x2 - 9 =0 x-3
24. Proponer una ecuación que describa la situación planteada y resolverla. a) Los dos quintos de un número más 5 unidades da por resultado la mitad del dicho número. ¿Cuál es el número? b) El perímetro de un rectángulo cuya base es el triple de la altura es de 72cm. Calcular el área del rectángulo. c) El área de un rectángulo cuya base es el doble de la altura, es de 24cm2 . Calcular su perímetro. d) El perímetro de un triángulo isósceles es 20cm y los lados distintos miden (x + 8)cm y (2x – 4)cm respectivamente. ¿Cuáles son los posibles valores de los lados? Recordar: En un triángulo isósceles dos de sus lados tienen la misma medida. e) Juan gastó 2/3 de sus ahorros en libros y con el resto compró ropa por $180. ¿A cuánto ascendían los ahorros de Juan? 25. Representar en la recta numérica: a) Los números racionales 3, -2, 1/2, 3/4, -3/2, -9/4, -1/8 y 25/8. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 b) Todos los números reales menores que 2. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 c) Todos los números reales mayores o iguales que 1/2. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 d) Todos los números reales mayores que -7/2 y menores o iguales que 3. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 Módulo 1
5
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e) Todos los números reales mayores que 1 ó menores que 0. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 f) Todos los x Î R tales que - 2 £ x £ 3 . ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 g) Todos los x Î R tales que - 3 < x < 0 . ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 26. Representar en la recta numérica los conjuntos A = (- 3,4 ) y B = (1,6] y escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i. A Ç B
ii. A È B
iii. A - B
iv. B - A
27. Ídem 26. para: é 1 ö a) A = (- ¥ ,2 ) y B = ê- ,1÷ ë 2 ø
b) A = [0,3] y B = [3,+¥ )
c) A = [0,3) y B = [3,+¥ )
é5 ö d) A = (- ¥ ,1) È ê ,5 ÷ y B = (0,7] ë2 ø
{
}
28. Dados A = x Î R / x 3 - 5 x ³ 0 y B = {x Î R / - 4 £ x < 6}, completar con “ Î ” o “Ï” en cada caso: a) 0 …. A d) 0 …. B i) 0 …. A Ç B
b) 2 …. A e) –5 …. B j) 2 …. A Ç B
c) –1…. A f) 2 …. B k) 2 …. A È B
g) –4 …. B l) 2 …. B - A
h) 6…. B
29. Resolver las siguientes inecuaciones y expresar las soluciones como un intervalo o unión de intervalos. a) 3 x - 8 > 13 d)
b) - 2 x + 2 £ 14
5x x + 1 £ -2 x + 3 2 2
e)
3x x - 4 >x 2 2
c) 3( x - 4) - 2 ³ 5 x - 2(3 - x) f)
x x - ³ x +1 3 2
30. a) Dados A = {x Î R / 2 x - 4 > 1} y B = {x Î R / - 3x + 10 ³ -2 + x }, representar en la recta y escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i. A ii. B iii. A Ç B iv. A È B v. A - B b) Ídem a) para A = {x Î R / - 4 x + 5 ³ 2( x + 4)} y B = {x Î R / - 2( x - 4) < -10}. 31. a) Hallar todos los b Î R de manera que x = 1 satisfaga - 3 x + b > 2 . b) Hallar todos los a Î R de manera que x =2 no satisfaga 2 x + 3a ³ 1 . c) Hallar el valor de p para que 2/3 sea la menor solución de la inecuación 2 x - p ³ 1 .
( )
32. Representar en el plano R 2 ,
1ö æ7 7ö æ a) los puntos: P = (2,3); Q = (- 1,2); R = (2,-1); S = ç , ÷; T = (2,-2); U = (3,0); V = ç 0,- ÷ . 2 2 2ø è ø è Módulo 1
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b) todos los puntos que tienen: i. abscisa 3. ii. ordenada 1. iv. abscisa mayor o igual a 1/2. vi. abscisa y ordenada iguales. c) los siguientes conjuntos: i. A = ( x , y ) Î R 2 / x = 2
{ iii. C = {( x , y ) Î R v. E = {( x , y ) Î R
}
{ iv. D = {( x , y ) Î R vi. F = {( x , y ) Î R
/ x £ 3; y = -1
2
/ x = 2; y > 1
}
ii. B = (x , y ) Î R 2 / y = -1
}
2
}
iii. abscisa –1 y ordenada 2. v. abscisa menor que 2 y ordenada mayor o igual a 0.
}
2
/- 2 < x £ 3
2
/ - 1 £ x £ 4; - 3 < y £ 3
}
Más ejercicios... 33. Colocar los signos “+”, “–”, “.” ó “:” que correspondan para que se cumplan las igualdades. Puede haber más de una posibilidad. a) 3 .... 3 .... 3 .... 3 = 0 b) 3 .... 3 .... 3 .... 3 = 1 c) 3 .... 3 .... 3 .... 3 = 2 d) 3 .... 3 .... 3 .... 3 = 3 7 34. Si se sabe que ab = 5 y bc = , calcular: 2 a) b(c - a ) b) 6 ab 2 c c) a / c d) 2ca -1 3a
35. Marcar con una X la o las expresiones que representan: a
a) los 3/8 del perímetro del rectángulo. 3 3 a .8a 3a 8 8
3 .3a 8
b) los 5/6 del área del rectángulo. 5 5 5 5 .3a 2 .4 a 2 .6a 2 6 6 6 c) Si el perímetro del rectángulo es 24cm, cuál es su área? 36. ¿Para qué valores de x Î R la expresión a) b) c) d)
3 8
5 2 a 2
1æ1 1ö ö æ ç x - 1÷ - ç x + ÷( x - 2) 2è2 4ø ø è
da 0? da lo mismo que la expresión 4 - x 2 ? da lo mismo que la expresión 2 x - x 2 ? da lo mismo que 2 x - x 2 + 7 ?
37. a) Hallar un número real sabiendo que la raíz cúbica del cuadrado de dicho número es igual a 0,25 aumentado en 2. ¿Cuántos hay? b) El cubo de la diferencia entre las dos terceras partes de un número real y 3 es igual al opuesto de 1/27. ¿De qué número se trata? 38. Los números a = 7 + 4 3 + 7 - 4 3 y b = 4 - 2 3 - 4 + 2 3 son números enteros, sin usar calculadora averiguar cuáles son. Ayuda: elevarlos al cuadrado y observar que pasa. Módulo 1
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39. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 3 - x = 10 : (- 2 ) + (3 - 1)
3
d) g)
8 x 2 - 1 - 13 = 3(2 - 4 )
e)
x2 - x =0 3x - 3
x +1 + 2 = 5 2
b)
c)
3 5 æ1ö + - 2 + 1 = (2 x + 1) 3 - ç ÷ 4 è2ø
h) x 2 x + 1 = 0 k) (2 x + 1) 2 3 +
j) x 1 - x = 2 x
x -2 + 2 = (5 - 7 ) 2
2
f)
4x - 1 =0 3x
i) x 2 x - 6 = 0
1 x =0 2
l) 2 + 2 5 = 3 5 +
x 2+ 5
40. Sean los conjuntos A = [- 2,3) y B = {x Î R / - 2( x - 5) < 10} . a) Escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i. A Ç B ii. A È B iii. A - B b) Hallar un número real w tal que w Î A È B y w Ï A Ç B . c) Hallar un número real z tal que z Î A y 2 z Ï A . 41. En cada caso, encontrar todos los A Î R 2 si se sabe que: a) tiene abscisa 3 y está sobre el eje x b) la distancia al origen de coordenadas es 7 y está sobre el eje y. Respuestas 1. -8
2
N Z Q R
X X X X
X X X
0,25
-
0 X X X
X X
2 3
-1,32
(- 5)2
X X
X X X X
X X
2. a) 12 - 4 - 5 + 2 - 7 + 4 - 1 + 6 = 12 - (4 - 5) + 2 - (- 7 + 4 - 1) + 6 = 12 - 4 - [5 + 2 - (- 7 + 4 ) - 1] + 6 = 12 - (4 - 5 + 2) - (- 7 + 4 - 1 + 6) = 3.
14
–
– 4
+
2
+
4
:
16
1
.
2
:
2
16
X X X
X X X X
3
-8
X X X
5
X
- 5
π
3,14
X
X
X X
b) 6 . 5 – 2 : 2 + 1 = 6 . (5 – 2) : (2 + 1) = 6 . 5 – (2 : 2 + 1) = 6 . ( 5 – 2 : 2) + 1 =
9 25 7 5
28 30 25 6
8 +
=
6 –
=
=
4. a) 6 . ( 2 + 6 ) : 2 + 1 = 25 5. a) 2 b) –53 c) 38 Módulo 1
=
.
= –
4 –
+
= 12
:
:
: 2
24
- 52
10 =
=
4
b) 6 . 2 + 6 : ( 2 + 1 ) = 14 d) 0 e) 0 8
c) 6 . ( 2 + 6 : 2 ) + 1 = 31 Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.
ECyT – UNSAM
6. a)
Matemática – CPU
Fracción irreducible Otra fracción equivalente Expresión decimal
8/5 -16/5 2/3 -11/5
-32/10
1,6 -3,2
4/6 -22/10
-2,2
24/15
) 0,6
b) i. -3/2; -0,27; -2; -1/2. ii. -2/-3; 8/9. iii. 5/3 iv. -3/2; -2. 7. F, V, F, V, F, V, F, V, V, F. 8. a) 2/15 b) 1 c) 12/5 d) 3/20 e) 20/21 9. 1/12 10. a) V b) V c) V d) F e) F f) V ì1 ü ì 1ü 11. a) S = { 6} b) S = í ý c) S = {21} d) S = í- ý e) S = f f) S = R g) S = {1} î3þ î 7þ 12. a) Para cualquier número pensado n, nos quedaría: [(n + 5) 2 + 10] - 2n , reduciendo esta expresión nos da 20, o sea [(n + 5) 2 + 10] - 2n = 20 para cualquier valor de n. b) Nicolás tiene razón. Pues, si a la cantidad de figuritas que tiene Diego la llamamos d, entonces la cantidad de figuritas que tiene Nicolás está dada por la expresión 3d + 5 y la que tiene Fabián por 3.(d + 5) . Si los dos tuvieran la misma cantidad de figuritas, tendría que existir un valor de d para el cual 3d + 5 = 3.(d + 5) , si queremos resolver esta ecuación nos queda: 3d + 5 = 3d + 15 Û 5 = 15 , lo que es un absurdo. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. 13. k = -1 / 10 1ö 1ö 1ö æ æ æ 14. a) i. aç 2a - ÷ ii. 2aç a - ÷ iii. - aç - 2a + ÷ 3ø 3ø 6ø è è è 4 1 4 4 16 4 b) i. b æç - + b 2 + b ö÷ ii. - 1 æç b - b 3 - b 2 ö÷ . 3 è 3 3 9 3 ø ø è9 2 x 15. a) i. a 2 + 6a + 9 ii. - 4 x + 16 iii. x 2 + 10 xy + 25 y 2 iv. x 2 - 25 4 2 b b2 2 v. a 2 vi. a 2 + ab + vii. 10c - 25 9 3 9 5 öæ 5ö æ 2 b) Por ej.: i. ( x + 3)( x - 3) ii. ç a + ÷ç a - ÷ iii. (x 2 + 2 )(x 2 - 2 ) iv. b(b 3 - 4) v. (a + b ) 2 øè 2ø è 16. a) - 3 / 2 b) 25/2 c) 19/4 d) - 45 / 4 17. Sí, son equivalentes. 2 2 -2 -2 1ö 1ö 1ö 1ö 2 -2 æ æ æ æ 2 -2 18. a) Con un color: ç ÷ ; 0 ,5 ; ç - ÷ ; 2 ; (- 0 ,5) , con otro color: (- 0 ,5) ; ç ÷ ; ç - ÷ è2ø è 2ø è2ø è 2ø 2
1 y con otro color: - æç ö÷ ; - 0 ,52 ; - 2 -2. è2ø 2 2 4x2 2x2 b) Con un color: 2 xy -2 ; , con otro color: ; 2 xy -1 : y 2 . 4 4 y y
(
)
(
)
2
a a2 19. a) æç ö÷ ; b) 8cm. 9 è3ø 20. a) 28/3 b) –1/8 c) 5/3 d) 3 21. a) " ¹" , " ¹" , " ¹". b) " =" , " =" , " ¹" , " =". c) " =" , " ¹" , " =". 5 22. a) 2 b) 6 2 + 1 c) 1 + 3 2 d) - 2 + 3 2 Módulo 1
9
e) 2
f) 3 3 + 12
g) 0
Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
{
23. a) S = {- 6;6}
b) S = - 2 ; 2
ì5ü f) S = í ý î2þ
ì 3 3ü g) S = í- ; ý î 2 2þ ì 4ü l) S = í0; ý î 5þ p) S = {- 1}
k) S = { 0}
}
ì 7ü c) S = í1; ý î 3þ ì 3 ü h) S = í- ; 1ý î 2 þ
{
m) S = 5 - 2 5
e) S = {- 1; 1}
d) S = f
{
}
{
}
i) S = - 2 ; 2 ; 2
}
n) S = 32 - 10 7
o) S = f q) S = {0} r) S = {2} 2 1 24. a) x + 5 = x . El número es 50. 5 2 b) Una posible ecuación es 2( x + 3 x ) = 72 . El área es 243cm2. ( x = 9 )
ì 2ü j) S = í0; ý î 3þ
ñ) S = { 36} s) S = {- 3}
c) Una posible ecuación es 2 x .x = 24 . El perímetro es 12 3 cm. ( x = 12 = 2 3 ) d) Una posibilidad sería que 2(x + 8) + 2 x - 4 = 20 , en este caso x = 2 y por lo tanto un lado mediría 0cm, entonces no se formaría un triángulo. La otra posibilidad sería que x + 8 + 2(2 x - 4) = 20 , en este caso x = 4 , por lo tanto un lado mediría 12cm y los otros dos 4cm, entonces tampoco se formaría un triángulo (en cualquier triángulo siempre la suma de las medidas de dos de sus lados es mayor que la medida del otro lado. ¿Estás de acuerdo?). Conclusión: No existe un triángulo isósceles que cumpla lo pedido. 2 e) Una posible ecuación es x +180 = x . Juan tenía $540 ahorrados. 3 25. a) -9/4 25/8 3/4 -1/8 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 3 -2 -3/2 1 0 1/2 b) ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 2 c) ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1/2 1 d) ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ -7/2 0 1 3 e) ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 1 f) ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ -2 3 0 1 g) ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ -3 0 1 26. i. A Ç B = (1,4) ii. A È B = (- 3,6] iii. A - B = (- 3,1] iv. B - A = [4,6] 1ö é 1 ö æ 27. a) i. A Ç B = ê- ,1÷ ii. A È B = (- ¥ ,2 ) iii. A - B = ç - ¥ , ÷ È [1,2 ) iv. B - A = f 2ø ë 2 ø è b) i. A Ç B = {3} ii. A È B = [0,+¥ ) iii. A - B = [0,3) iv. B - A = (3,+¥ ) c) i. A Ç B = f ii. A È B = [0,+¥ ) iii. A - B = [0,3) iv. B - A = [3,+¥ ) é5 ö é 5ö d) i. A Ç B = (0 ,1) È ê ,5 ÷ ii. A È B = (- ¥ ,7 ] iii. A - B = (- ¥ ,0] iv. B - A = ê1, ÷ È [5,7 ] ë2 ø ë 2ø Módulo 1
10
Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.
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Matemática – CPU
28. a) “Î ” g) “Î ”
c) “Î ” i) “ Î ”
f) “Î ” l) “Î ” 7ù 6ù æ æ 29. a) S = (7 ,+¥ ) b) S = [- 6,+¥ ) c) S = (- ¥ ,-2] d) S = ç - ¥ , ú e) S = f f) S = ç - ¥ ,- ú 8 5û è û è æ5 ö æ5 ù 30. a) i. A = ç ,+¥ ÷ ii. B = (- ¥ ,3] iii. A Ç B = ç ,3ú iv. A È B = R v. A - B = (3,+¥ ) è2 ø è2 û 1ù 1ù æ æ b) i. A = ç - ¥ ,- ú ii. B = (9,+¥ ) iii. A Ç B = f iv. A È B = ç - ¥ ,- ú È (9,+¥ ) 2û 2û è è 1ù æ v. A - B = ç - ¥ ,- ú 2û è 31. a) b Î (5,+¥ ) b) a Î (- ¥ ,-1) c) p = 1 / 3 32. a) b) “Ï” h) “Ï”
d) “ Î ” j) “Ï”
e) “Ï” k) “Î ”
S P
Q
R V
U
1 T
b) i.
ii.
iii.
1
1
3
iv.
3
v.
vi.
1
2
c) i.
ii.
iii.
3
2 -1
-1
Módulo 1
11
Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.
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Matemática – CPU
iv.
v.
vi. 3
1 -2
3
2
-1
4
-3
33. Por ejemplo: a) 3 – 3 + 3 – 3 = 0 b) 3 – 3 + 3 : 3 = 1 c) 3 : 3 + 3 : 3 = 2 d) 3 . 3 – 3 – 3 = 3 34. a) - 3 / 2 b) 105 c) 10 / 7 d) 7 / 5
3 5 5 2 b) .3a 2 ; c) 18cm2. .8a ; 3a . a . 8 6 2 36. a) Para x = 0 ó x = 2 . b) Para x = 2 . c) Para cualquier valor de x. d) Para ningún valor de x. 37. a) Hay dos posibilidades, - 27 / 8 ó 27 / 8 b) Del número 4. 38. a = 4 y b = -2 . ¿Por qué a no puede ser -4 ni b puede ser 2? ì 5 5ü ì 1ü ì1 ü 39. a) S = {0} b) S = {16} c) S = f d) S = í- ; ý e) S = í- ý f) S = í ý î 2 2þ î 2þ î4þ 1ü ì 1 ü ì g) S = {0} h) S = í- ; 0ý i) S = {3} j) S = {- 3; 0} k) S = í- 6;- ý l) S = {- 1} 2þ î 2 þ î 40. a) i. A Ç B = (0,3) ii. A È B = [- 2,+¥ ) iii. A - B = [- 2,0] b) Por ejemplo, w = 4 . c) Por ejemplo, z = 5 / 2 . 41. a) A = (3,0) b) A = (0,-7 ) ó A = (0,7 ) 35. a)
Módulo 1
12
Números reales – Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta y el plano.
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Matemática – CPU
MATEMÁTICA – CPU MÓDULO 2 Funciones. Funciones lineales y cuadráticas. FUNCIONES distancia al
parque (m) 1. Damiana, al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta. Los gráficos hacen referencia al movimiento de la camioneta y de Vicente, que corre para alcanzarla. a) ¿Cuál es el gráfico que representa el recorrido de Vicente? 25 b) ¿A qué distancia estaba Damiana de Vicente cuando éste 15 tiempo(seg) comenzó a correr? c) Vicente, ¿alcanza a subir a la camioneta? En caso afirmativo, ¿cuánto tiempo y cuántos metros aproximadamente corrió? d) Inventar un gráfico en el que Vicente se vaya cansando y no logre llegar a la camioneta.
2. En la serie Viaje al fondo del mar aparece como una estrella el Sea-View, un súper submarino nuclear que en su interior lleva otro submarino muy pequeño llamado Aerosub. Éste utiliza como base al submarino estrella y además de transitar bajo el agua, es capaz de volar. Durante una misión de investigación, la tripulación del Sea-View siguió los desplazamientos del pequeño submarino. El gráfico que aparece a continuación muestra la altura h (en metros sobre el nivel del mar) a la que se encuentra el Aerosub en función del tiempo t (en horas). Donde t = 0 representa la cero hora del 3 de mayo de 1963. h(t) (metros) 100
50
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
t (horas)
-50
-100 -150
a) b) c) d) e) f) g) h)
Módulo 2
¿Qué día y a qué hora partió el Aerosub del Sea-View? ¿A qué profundidad se encontraba? ¿A qué altura se encontraba entre las 19 y 20 horas del 2 de mayo? ¿Desde qué hora y día hasta qué hora y día duró la misión? ¿Entre qué valores varió la altura del Aerosub? ¿Cuándo estuvo sobre el nivel del mar? ¿En qué momentos estuvo al nivel del mar? ¿En qué intervalos de tiempo estuvo ascendiendo?
1
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
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Matemática – CPU
i) ¿Cuánto tiempo pasaron los tripulantes estudiando un banco de coral que se encuentra a 50 metros de profundidad? ¿Entre que horas sucedió? j) Las respuestas a las preguntas d), e), f), g) y h),¿qué representan de la función h? (Por ejemplo: imagen, dominio, conjunto de positividad, etc.) Explicitar cada uno de ellos. 3. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a una función? a) b) y y
x
d)
c)
y
x
e)
y
x
f)
y
x
y
x
x
4. En cada caso, está representado el gráfico de una función f : R ® R , determinar: · ceros, C 0 = {x Î Domf / f ( x) = 0}, · conjunto de positividad, C + = {x Î Domf / f ( x) > 0} , · conjunto de negatividad, C - = {x Î Domf / f ( x) < 0}, · intervalos de crecimiento, · intervalos de decrecimiento, · imagen de f. a)
b)
10
3 3 -12
-6
2
4 6 8
-5 -4
-3
-3 -2
-1
1
2
-2 5
c)
4 3
-7 -6 -5 -4
-3 -2
-1
1
2 3
5
-2
Observando el gráfico c) calcular f (- 4), f (- 3), f (- 2), f (0) y f (1) . Módulo 2
2
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
2x - 6 . x -1 a) Calcular, si es posible f (2), f (3), f (0), f (- 1) y f (1) .
5. Sea f ( x) =
b) En cada caso, encontrar, si existe, x tal que: i. f ( x) = 1 ii. f ( x) = 0 iii. f ( x) = 2
iv. f ( x) = 3
c) Marcar cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos (V) y cuáles falsos (F):
2 Î Domf
1 Î Domf
1 Ï Domf
- 1 Ï Domf
0 Î Im( f )
2 Î Im( f )
1 Ï Im( f )
3 Ï Imf
d) ¿Cuáles son los puntos de corte del gráfico de f con los ejes coordenados? e) Hallar h y k para que los puntos (2 , h ) y (k ,1) pertenezcan al gráfico de f. 6. Para cada una de las siguientes funciones calcular su dominio y, si existen, los puntos de intersección con los ejes. 3 x-2 a) f ( x ) = 3x - 1 b) f ( x ) = c) f ( x ) = 2 2 - 2x + 8 x +1 x+5 d) f ( x ) = 2 x + 4 e) f ( x ) = - 3x + 9 FUNCIÓN LINEAL 7. En cada caso, hallar la función lineal f que cumpla lo pedido, hacer el gráfico correspondiente y encontrar la pendiente de la recta determinada por el gráfico de f. a) f (0) = 3 y f (-1) = 4 b) f (- 2) = 4 y f (1) = -2 c) f (-2) = 7 y f (3) = 7 d) f (1) = 0 y el punto (2,-3) pertenece al gráfico de f.
8. Sea la recta r de ecuación y = 2 x - 3 . a) Hallar tres puntos de r. b) ¿ (5,7) Î r ? ¿ (- 2,1) Î r ? c) Encontrar k para que: i. (- 4, k ) Î r ii. (k ,2) Î r iii. (k - 1,3k ) Î r d) Hallar los puntos de corte de la recta r con los ejes coordenados. 9. Calcular la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas. a) y = 2 x - 3
b) x = 4 y + 2
c) 3 x = 2 y
d)
x y + =1 2 3
e) y = 5
10. En cada caso, dar la ecuación de la recta que verifica lo pedido. a) Pasa por los puntos (1,2) y (-1,3). b) Pasa por el (2,1/2) y es paralela a y = 2x + 5. 2 c) Es perpendicular a y = x - 2 y pasa por el (-2,-1). 3 d) Es horizontal y pasa por (2,-5). e) Es vertical y pasa por el punto (2,-3). f) Es perpendicular a la recta y = 5 y pasa por el punto (3,8). Módulo 2
3
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
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Matemática – CPU
11. Probar analíticamente que el triángulos cuyos vértices son A = (1,4), B = (0,2) y C = (2,1) es rectángulo en B. 12. Dados los puntos A = (3,-1), B = (3,2) y C = (- 1,5) , hallar gráfica y analíticamente la ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo ABC que pasa por A. (Recordar: Una altura de un triángulo es el segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado, que pasa por el vértice opuesto) 13. Hallar la ecuación de la recta representada en cada gráfico. a)
b)
c)
2
7 4
1 2
2
d)
2
e)
f)
3
5
-3
1
-7/2
14. Hallar k para que los puntos (- 2,3), (0,-1) y (2, k - 3) estén alineados. 15. Graficar y hallar ceros, conjuntos de positividad y de negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento e imagen de las siguiente funciones. a) f : R ® R dada por f ( x ) = 2 x - 4 b) f : (- 2,3) ® R dada por f ( x ) = 2 x - 4 c)
f : [- 3,2 ) ® R dada por f ( x ) = 2 x - 4
d) f : R ® R dada por f ( x ) = 3 e) f)
si x < 2 ì x f : R ® R dada por f ( x) = í î- x + 4 si x ³ 2 si x < -1 ì 1 f : R ® R dada por f ( x) = í î- 2 x + 1 si x ³ -1
ì- 2 si x Î (- 1,3) g) f : R ® R dada por f ( x) = í î x si x Ï (- 1,3)
16. ¿Cuál debe ser el dominio de f ( x ) = 2 x + 1 para que su imagen sea el intervalo [ 0 ; 4 ) ? 17. Hallar analítica y gráficamente la intersección entre los siguientes pares de rectas. a)
r : y = x -1 r ¢ : y = -x + 2
b)
r : x + 2 y = -1 r ¢ : 2 x - 3 y = -9
c)
r : y = -3 x + 4 r ¢ : y = -2
d)
r : y = 5x - 4 r¢ : x = 2
e)
r : 2x - y = 3 r ¢ : -4 x + 2 y = -7
f)
r : y = 3x - 2 r¢ : 6x - 2 y = 4
Módulo 2
4
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
18. Proponer un sistema que describa la situación planteada y resolverlo. a) Las entradas para un espectáculo se vendieron a $40 la platea y $27,5 los palcos. Calcular cuántas entradas de cada tipo se vendieron si asistieron 800 personas y los ingresos fueron de $27625. b) El perímetro de un triángulo isósceles es 18,6cm. Si el lado desigual se aumenta en 3 cm, el triángulo obtenido es equilátero ¿Cuál es la longitud de cada lado del triángulo isósceles? c) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si se permuta el orden de los dígitos se obtiene el número aumentado en 45 unidades. ¿Cuál es el número? 19. En cada caso, hallar las coordenadas del punto P. a) b) r¢ r ^ r¢ r r 2
P
r¢
r ^ r¢
4
2
3
P
20. En cada caso, dibujar los gráficos de las funciones lineales f y g. Representar sobre el eje x el conjunto { x Î R / f ( x ) ³ g ( x )} y escribirlo como un intervalo. a) f ( x ) = 3x + 2 y g ( x ) = -5 b) f ( x ) = -2 x + 1 y g ( x ) = x + 5 2 21. Martina se fue de vacaciones con unos amigos y desean alquilar un auto por 10 días. Disponen de dos opciones: · A: 120 pesos por día. · B: 60 pesos por día más un recargo de 1,5 pesos por km recorrido. a) Si llamamos A( x ) y B( x ) , respectivamente, a las funciones de gasto respecto a los km recorridos al cabo de los 10 días, hallar sus expresiones y realizar un gráfico que represente cada opción. b) ¿Cuántos km deberían recorrer para que el gasto fuera el mismo con cualquiera de las opciones? c) ¿Cuál opción les convendrá elegir si piensan recorre alrededor de 500km? 22. Una escultura de un cierto artista plástico, comprada hoy cuesta $3500 y se sabe que aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal que, después de 10 años valdrá $5600. Otra escultura del mismo artista, hoy se vende a $4000 y se estima que dentro de 15 años valdrá $6400. a) Escribir la fórmula del valor V para cada una de las esculturas en función del tiempo ( V1 (t ) y V2 (t ) ). b) Determinar cuál de las dos esculturas aumenta su valor más rápidamente. c) ¿En qué momento el valor de las piezas será el mismo y cuál será dicho valor? 23. a) Dar una ecuación de una recta que pase por el punto (-3,1) y que no se interseque con la recta de ecuación x+3y = 4. b) Hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto (1,2). c) Encontrar la ecuación de la recta paralela a la recta r: y = 3, que pasa por el punto de intersección de las rectas y = –2/3 x + 3 e y = 1/3 x – 9. FUNCIÓN CUADRÁTICA 24. En cada caso graficar la función cuadrática f, especificando coordenadas del vértice, eje de simetría y concavidad de la parábola que representa y hallar imagen, ceros, conjuntos de positividad y negatividad e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. a) f ( x ) = x 2 - 4 d) f ( x ) = -2( x + 1)( x - 3) Módulo 2
b) f ( x ) = - x 2 + 3 e) f ( x ) = - x 2 + 6 x - 5 5
c) f ( x ) = 2 ( x + 1) - 8 f) f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 2
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
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25. Dar la ecuación de una función cuadrática f que verifique lo pedido: a) Sus raíces sean –1 y 5 y el punto (0,10) esté en el gráfico de f. b) Su vértice sea el punto (-1,2) y f (0) = 1 . c) No tenga raíces reales y el gráfico de f pase por el punto (1,4). d) Sus raíces sean –3 y 1 y su imagen sea el conjunto [- 2,+¥ ) . e) El eje de simetría sea la recta x = 4 y los puntos (2,0) y (3,9) están en el gráfico de f. f) C + = (- 4,0) e Im f = (- ¥,5] . g) El intervalo de decrecimiento de f es (- ¥,2) , su gráfico pasa por el origen e Im f = [- 8,+¥ ) . 26. Dada la función cuadrática f ( x ) = x 2 - x - 2 , a) determinar D = { x Î R / f ( x ) = 4} . b) Observando el gráfico de f y al conjunto D, escribir como un intervalo o unión de intervalos a los conjuntos E = { x Î R / f ( x ) £ 4} y F = { x Î R / 0 £ f ( x ) < 4}. 27. a) Calcular los puntos de intersección de los gráficos de las siguientes funciones y graficar. i. f ( x ) = x 2 - x - 2
g ( x ) = -2 x - 2
ii. f ( x ) =
g (x ) =
1 1 x - x2 + 2 2 2 iii. f ( x ) = ( x + 1) - 2 x
5 3 - x 2 2 g (x ) = 2 x
iv. f ( x ) = x 2 - 4
g (x ) = - x 2 + x - 3
v. f ( x ) = -2 x 2 + 8
g (x ) = - x 2 + 4
vi. f ( x ) = x 2 - 3
g ( x ) = x2 + x - 2
b) Observando el gráfico en cada caso, hallar el conjunto
{ x Î R / f (x ) £ g (x )}.
c) Para el caso i. encontrar la ecuación de una recta, paralela al gráfico de g y que no corte a la parábola. 28. a) Hallar las coordenadas del punto A, sabiendo que la parábola es el gráfico de f ( x ) = - x 2 + 8x + 4 y el punto V es el vértice de la parábola. b) Hallar los valores de x para los cuales el gráfico de la parábola está por encima del de la recta.
V
A
29. Al producir un cantidad x (en miles de toneladas) de cierto producto agropecuario se llegó a la conclusión que, de acuerdo al lugar donde viven y los diferentes gastos que tienen, dos productores reciben ganancias mensuales (en miles de pesos) determinadas por las siguientes funciones: 2 G1 ( x ) = -( x - 7 ) + 8 y G2 ( x ) = 2 x - 6 . a) Graficar ambas funciones y decidir cuántas toneladas deben producir ambos productores para obtener la misma ganancia. b) Si los dos producen aproximadamente la misma cantidad de toneladas mensuales, ¿para qué cantidades tiene más ganancia el primer productor? 30. Graficar las siguientes funciones y encontrar los conjuntos C 0 , C + , C - e Im( f ) .
ì x2 -1 a) f ( x ) = í î- x + 2
Módulo 2
ì 5 b) f ( x ) = í 2 î- x + 4
si x £ 0 si x > 0
6
si x < 2 si x ³ 2
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
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Matemática – CPU
Más ejercicios… 31. Dada la parábola y = ax 2 + 2 x + 3 a) Hallar el valor de a si se sabe que el eje de simetría es la recta x = 1 . b) Para el valor hallado en a) graficar la parábola indicando concavidad, vértice y puntos de intersección con los ejes. c) Hallar A = { x Î R / y > 3} . 5 32. Sea f ( x ) = - x + 5 . 2 a) Hallar una función cuadrática g que cumpla: · el conjunto de positividad de f es igual al intervalo de crecimiento de g, · los gráficos de f y g cortan al eje y en el mismo punto, · Im g = (- ¥ , 9] . b) Hallar el conjunto de negatividad de g. 33. Teniendo en cuenta el dibujo y sabiendo que el gráfico de f es una recta paralela a la recta de ecuación x - 2 y = 8 , a) hallar la función lineal f y el conjunto de los x tal que f ( x ) > g ( x ) .
f 2 g 5
b) Determinar la función cuadrática g. 34. Sea la parábola y = x 2 - 4 x + b .
(
)
a) Hallar b Î R para que la parábola pase por el punto 2 - 3 , 0 . b) Para el valor de b hallado en a), determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola y es perpendicular a la recta x + 2 y = 3 .
ì- ( x + 1) + a si x < 1 35. Hallar a, b Î R para que la imagen de f ( x ) = í sea î4 x + b si x ³ 1 2
( -¥; 2] È [5; +¥ ) .
ì y = ax 2 - bx ì y = -ax 2 + bx 36. Los sistemas S1 : í y S2 : í , con a y b positivos, están representados en î y = bx î y = bx alguno de los gráficos siguientes. ¿Cuál corresponde a cada uno?
Módulo 2
1
2
3
4
5
6
7
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
37. En cada caso, hallar dominio de f y los puntos de corte del gráfico de f con los ejes. a) f ( x ) = 2 - 6 - x - x 2 38. Sea f ( x ) =
b) f ( x ) =
1 - x2 2x - 1
c) f ( x) = x 2 - 4 +
2 1- x
2 x - 10
. 1 + x 2 + x - 12 a) Hallar su dominio. b) Determinar el conjunto de todos los valores de x Î Domf para los cuales resulta f ( x ) £ 0 .
ì x 2 + x - 2 si x < 0 39. Dada f ( x ) = í , se pide: si x ³ 0 î- x - 2 a) Realizar un gráfico aproximado de f y hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados. b) Determinar el conjunto de todos los valores de x para los cuales resulta f ( x ) ³ 1 . distancia al parque (m) Respuestas 1. a) El segmento de recta. b) 50m c) Sí, recorrió aprox. 75m en 55 seg. d) 2. a) 17h del 2 de mayo. b) 150m bajo el nivel del mar. c) 100m bajo el nivel del mar. d) Desde las 17h del 2 de mayo hasta las 12 del 3 de mayo. e) Entre 150m por debajo del nivel del mar hasta 25 100m por encima del nivel del mar. f) Entre las 21h del 2 de mayo 15 hasta las la 1 del 3 de mayo y entre las 5 y las 9 del 3 de mayo. tiempo(seg) g) A las 21h del 2 de mayo y a la 1, 5 y 9 del 3 de mayo. h) Entre las 17 y las 19, entre las y las 22 del 2 de mayo y entre las 4 y las 6 del 3 de mayo. i) 2 horas, entre las 2 y las 4 de las 3 de mayo. j) d) Dominio de f = [- 7,12] e) Imagen de f = [- 150,100] f) Ceros de f = {- 3,1, 5, 9} g) Positividad de f = (- 3,1) È (5, 9) h) Intervalos de crecimiento estricto de f: (- 7 ,-5) , (- 4,-2) y (4, 6) . 3. a) No. b) Sí. c) No. d) Sí. e) Sí. f) No. 4. a) C 0 = {- 12, 0, 4, 8}, C + = (- 12, 0) È (4, 8) , C - = (- ¥ , - 12) È (0, 4) È (8, + ¥ ) , crece en (- ¥ , - 6) y en (2, 6) , decrece en (- 6, 2) y en (6, + ¥ ) , Im( f ) = (- ¥, 10]. b) C 0 = {- 5, - 3, 2}, C + = (- ¥ , - 5) È (- 3,1) È (2 , + ¥ ) , C - = (- 5 , - 3) È [1, 2 ) , crece en (- 4, 0) y en (1, + ¥ ) , decrece en (- ¥ , - 4) y en (- 2, 1) , Im( f ) = [- 2, + ¥ ) . c) C 0 = {- 7 , - 5, - 3, 2 ,5}, C + = (- 7 , - 5) È (- 3,1) È (2 , 5) , C - = (- ¥ , - 7 ) È (- 5, - 3) È (1, 2 ) È (5 , + ¥ ) , crece en (- ¥ , - 6) , en (- 4, - 2) y en (1, 3) , decrece en (- 6, - 4) , en (- 2, 1) y en (3, + ¥ ) , Im( f ) = (- ¥ , 3] È [4, 5) . f (- 4) = -1, f (- 3) = 0, f (- 2) = 3, f (0) = 4,5 y f (1) = 4 . 5. a) f (2) = -2, f (3) = 0, f (0) = 6, f (- 1) = 4 y no está definido f (1) . b) i. x = 5 ii. x = 3 iii. No existe x. iv. x = -3 F 1 Î Domf V 1 Ï Domf F - 1 Ï Domf V 2 Î Domf c) F 2 Î Im( f ) F 1 Ï Im( f ) F 3 Ï Imf V 0 Î Im( f ) d) Punto de corte con el eje x: (3, 0) , punto de corte con el eje y: (0, 6) . e) h = -2 , k = 5 . 6. a) Dom( f ) = R , punto de corte con el eje x: (1 3 , 0) , punto de corte con el eje y: ( 0 , - 1) .
b) c) d) e)
Dom( f ) = R - {- 2, 2}, no corta al eje x, punto de corte con el eje y: (0, 3 8) . Dom( f ) = R , punto de corte con el eje x: (2, 0) , punto de corte con el eje y: (0,-2) . Dom( f ) = [- 2, + ¥ ) , punto de corte con el eje x: (- 2, 0) , punto de corte con el eje y: (0, 2) . Dom( f ) = (- ¥ ,3) , punto de corte con el eje x: ( -5, 0 ) , punto de corte con el eje y: ( 0 , 5 3 ) .
Módulo 2
8
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
7. a) f ( x ) = - x + 3 , pendiente: m = -1
b) f ( x ) = -2 x , pendiente: m = -2
c) f ( x ) = 7 , pendiente: m = 0 d) f ( x ) = -3 x + 3 , pendiente: m = -3 8. a) Por ejemplo, (0,-3), (1,-1) y (- 1,-5) . b) (5,7) Î r y (- 2,1) Ï r . c) i. k = -11 ii. k = 5 2 iii. k = -5 d) Punto de corte con el eje x: (3 2 , 0) , punto de corte con el eje y: (0,-3) . 9. a) pendiente: m = 2 , ord. al origen: b = -3 . b) pendiente: m = 1 4 , ord. al origen: b = - 1 2 . c) pendiente: m = 3 2 , ord. al origen: b = 0 . d) pendiente: m = - 3 2 , ord. al origen: b = 3 . e) pendiente: m = 0 , ord. al origen: b = 5 . 1 5 7 3 10. a) y = - x + b) y = 2 x c) y = - x - 4 d) y = -5 e) x = 2 f) x = 3 2 2 2 2 11. La recta que pasa por A y B tiene pendiente m AB = 2 y la recta que pasa por B y C tiene pendiente mBC = - 1 2 . Entonces m AB . mBC = 2.(- 1 2 ) = -1 . Por lo tanto las rectas que contienen a los lados AB y BC son perpendiculares. Luego, el triángulo es rectángulo en B. 2 12. y = x - 3 3 1 3 2 7 13. a) y = x b) y = x c) y = - x + 7 d) y = 5 e) x = -3 f) y = x + 2 2 3 3 14. k = -2 . 15. a) b) C 0 = {2}, C 0 = {2}, y
y
4
2 1 x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
c)
1
y
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y
3
2
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
g)
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
y
d)
5
C0 = f , C+ = R , C- = f , crece en todo R, decrece en todo R, Im( f ) = { 3} .
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
-1
f)
C 0 = { 1 2} , C + = (- ¥ ,1 2) ,
y
4 3 2
C = (- ¥ , 0 ) È (4,+¥ ) , crece en (- ¥ , 2) , decrece ( 2,+¥ ) , Im( f ) = (- ¥ , 2] .
C + = (2, 3) , C - = (- 2, 2 ) , crece en (- 2, 3) , no tiene intervalos de decrecimiento, Im( f ) = (- 8, 2) .
1 x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1 -2 -3 -4 -5
4
5
C - = (1 2 ,+¥ ) , crece en (- ¥ , - 1) , decrece en (- ¥ , - 1) y en ( - 1,+¥ ) , Im( f ) = (- ¥ ,3] .
y
6 5 4 3 2 1 x
-5
-1
-
1
-2
-2
-1
C 0 = { 0 , 4} , C + = (0, 4) ,
4
-3
x
C = f , C+ = f , C - = [- 3,2) , crece en (- 3 2 ) , no tiene intervalos de decrecimiento, Im( f ) = [- 10, 0 ) .
5
-1
e)
1
-3
0
x
-6
2
C + = (2, + ¥ ) , C - = (- ¥ , 2) , crece en todo R , no tiene intervalos de decrecimiento, Im( f ) = R .
3
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2
2
3
4
5
6
C 0 = f , C + = [3,+¥ ) , C - = (- ¥ ,3) , crece en (- ¥ , - 1) , en (- 1,3) y en (3,+¥ ) , decrece en (- 1,3) , Im( f ) = (- ¥ , - 1] È [3,+¥ ) .
-3 -4
Módulo 2
-5
9
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
é 1 3ö 16. Dom( f ) = ê- , ÷ ë 2 2ø 17. a) Las rectas se intersecan en el punto (3 2 ,1 2 ) . b) Las rectas se intersecan en el punto (- 3,1) .
c) Las rectas se intersecan en el punto (2,-2) .
d) Las rectas se intersecan en el punto (2, 6 ) .
e) El sistema que resolviste es incompatible. La solución es el conjunto vacío. Las rectas no se cortan, son paralelas. f) El sistema que resolviste es compatible indeterminado pues tiene infinitas soluciones. En este caso las dos ecuaciones corresponden a la misma recta. ì x + y = 800 18. a) í Se vendieron 450 plateas y 350 palcos. î40 x + 27 ,5 y = 27625 ì x + 2 y = 18,6 b) í Los lados iguales miden 7,2cm y el otro 4,2cm. îy = x + 3 ìx + y = 9 c) í El número es 27. î10 y + x = 10 x + y + 45 2 3 ö æ 12 18 ö æ 19. a) P = ç , ÷ , ç r : y = - x + 2 , r ¢ : y = x ÷ 3 2 ø è 13 13 ø è 1ù é 7 ö æ 20. a) ê- , + ¥ ÷ b) ç - ¥ , - ú 2û ë 3 ø è
21. a) A(x ) = 1200 y B( x ) = 600 + 1,5 x
1 æ ö b) P = (10,0 ) , ç r : y = 2 x , r ¢ : y = - x + 5 ÷ 2 è ø
b) 400km
c) La opción A.
22. a) V1 (t ) = 210t + 3500 , V2 (t ) = 160t + 4000 b) La primera escultura. c) Dentro de 10 años y su valor será $5600. 1 1 5 23. a) y = - x b) Por ejemplo, las rectas y = 2 x e y = - x + c) y = -5 3 2 2 24. a) vértice: V = (0,-4) , eje de simetría: x = 0 , concavidad positiva (cóncava), Im( f ) = [- 4,+¥ ) ,
C 0 = { - 2, 2} , C + = (- ¥ , - 2) È (2,+¥) , C - = (- 2, 2) , crece en (0,+¥ ) , decrece en (- ¥ , 0) .
b) vértice: V = (0,3) , eje de simetría: x = 0 , concavidad negativa (convexa), Im( f ) = (- ¥ ,3] ,
{
(
}
)
(
) (
)
3 ,+¥ , crece en (- ¥ ,0) , decrece en (0,+¥ ) .
C 0 = - 3 , 3 , C + = - 3, 3 , C - = - ¥ , - 3 È
c) vértice: V = (- 1,-8) , eje de simetría: x = -1 , concavidad positiva (cóncava), Im( f ) = [- 8,+¥ ) ,
C 0 = { - 3, 1}, C + = (- ¥ , - 3) È (1,+¥ ) , C - = (- 3,1) , crece en (- 1,+¥ ) , decrece en (- ¥ , - 1) .
d) vértice: V = (1,8) , eje de simetría: x = 1 , concavidad negativa (convexa), Im( f ) = (- ¥ ,8] ,
C 0 = { - 1,3}, C + = (- 1,3) , C - = (- ¥ , - 1) È (3,+¥ ) , crece en (- ¥ ,1) , decrece en (1,+¥ ) .
e) vértice: V = (3,4) , eje de simetría: x = 3 , concavidad negativa (convexa), Im( f ) = (- ¥ ,4] , C 0 = { 1,5} , C + = (1,5) , C - = (- ¥ ,1) È (5,+¥ ) , crece en (- ¥ ,3) , decrece en (3,+¥ ) .
f) vértice: V = (- 1,2 ) , eje de simetría: x = -1 , concavidad positiva (cóncava), Im( f ) = [2 ,+¥ ) , C 0 = f , C + = R , C - = f , crece en (- 1,+¥ ) , decrece en (- ¥ , - 1) .
25. a) f ( x ) = -2( x + 1)( x - 5)
b) f ( x ) = -( x + 1) + 2 2
c) Hay infinitas posibilidades, por ejemplo: f ( x ) = ( x - 1) + 4 ó f ( x ) = x 2 + 3 2
d) f ( x ) = 1 2 (x + 1) - 2
e) f ( x ) = -3( x - 2)( x - 6)
f) f ( x ) = - 5 4 ( x + 2 ) + 5
g) f ( x ) = 2 x( x - 4 )
2
2
26. a) D = { - 2,3} Módulo 2
b) E = [- 2,3] y F = (- 2,-1] È [2,3) . 10
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU y
y
4
4
27. i.
a) Los puntos ( 0 ,-2 ) y (- 1,0) .
3
2
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
2
1
x
c) Por ejemplo, la recta y = -2 x - 5 .
-2
-3
-4
-3
-2
-1
1
2
4
-2
-3
3
y
5
a) El punto (1, 2 ) .
4
3
iv.
y
a) Los puntos (1,-3 ) y
2 1 x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
b) {1}
2
( -1 2 , -15 4 ) .
-2 -3 -4
b) El intervalo [ -1 2 ,1] .
1 -5 x
-2
3
-1
-5
iii.
a) No se cortan. b) R
3
b) El intervalo [ -1,0 ] .
1
-4
ii.
-1
1
2
3
-6
4 -7
-1
-8 -9
y
v.
8 7
a) Los puntos ( -2 ,0 ) y ( 2 , 0 ) .
6 5
vi.
3 2 1 -5
-4
-3
-2
b) [- 1,+¥ ) .
2
1
x
x
-6
a) El punto ( -1, -2 ) .
3
b) (- ¥ ,-2] È [2,+¥ ) .
4
-7
y
4
-1
1
2
3
4
5
6
-3
-2
-1
1
2
3
4
7
-1
-1
-2 -2
-3 -4
-3
-5
28. a) A = (- 1,-5)
b) El intervalo (- 1,4) .
29. a) 5 ó 7 toneladas. 30. a)
b) Si producen entre 5 y 7 toneladas. b) C 0 = { - 1, 2} , C + = (- ¥ ,-1) È (0 ,2 ) ,
y
11 10
9 8 7 6
4 3 2 1 x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20
C - = (- 1,0] È (2,+¥ ) , Im( f ) = R .
5
5
y
5 4 3 2 1
-1 -2
x
1
2
3
4
5 6
7
8
9 10 11 12 13
C 0 = { 2} , C + = (- ¥ , 2 ) , C - = (2,+¥ ) , Im( f ) = (- ¥ , 0] È { 5}.
31. a) a = -1 b) Tiene concavidad negativa (es convexa), el vértice es V = (1, 4 ) , puntos de corte con eje x: (- 1,0 ) y (3,0 ) , punto de corte con eje y: ( 0 ,3 ) .
32. a) g ( x ) = -( x - 2 ) + 9
c) El intervalo ( 0 , 2 ) .
b) C - = (- ¥ , - 1) È (5 ,+¥ )
2
33. a) f ( x ) = 1 2 x , {x / f ( x ) > g ( x )} = (- ¥ ,0) È (4,+¥ ) b) g ( x ) = - 1 2 x( x - 5) b) y = 2 x - 7
34. a) b = 1
35. a = 2 y b = 1 . 36. A S1 le corresponde el 2 y a S 2 le corresponde el 6.
(
)
37. a) Dom( f ) = [- 3,2] , puntos de corte eje x: (- 2, 0) y (1,0) , punto de corte eje y: 0 , 1 - 6 .
b) Dom( f ) = [- 1,1] - {1 2}, puntos de corte eje x: (- 1, 0) y (1,0) , punto de corte eje y: (0, - 1) . c) Dom( f ) = (- ¥ ,-2] , no corta al eje x ni al eje y.
38. a) Dom( f ) = (- ¥ ,-4] È [3,+¥ ) 39. a)
11
b) (- ¥ ,-4] È [3,5]
y
10
Punto de intersección con eje x: (- 2, 0) ,
9 8 7 6
punto de intersección con eje y: (0,-2) .
5 4 3 2 1 x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
Módulo 2
2
3
4
5
6
7
8
æ - 1 - 13 ö ÷ b) çç - ¥ , ÷ 2 è ø 11
Funciones – Funciones lineales y cuadráticas
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Matemática – CPU
MATEMÁTICA – CPU MÓDULO 3 Trigonometría. Resolución de triángulos rectángulos. 1. a) ¿Qué arco representan los siguientes ángulos? Graficar sobre una circunferencia de radio 1.
360o , 30o ,180o , 60o , 90o ,120o , 45o ,75o , 240o .
p , 2p ,
b) ¿Qué ángulo representan los siguientes arcos?
3p p p p , 4p , , , . 2 2 5 6
Graficar sobre una circunferencia de radio 1. 2. Dibujar sobre la circunferencia trigonométrica, un ángulo α en el primer cuadrante, luego trazar en el mismo gráfico los siguientes ángulos: p - a , p + a , 2p - a . Marcar sobre los ejes los valores del seno y coseno para los ángulos dibujados y observando lo realizado escribir: a) en función de sen a i. sen(p - a ) = ii. sen(p + a ) = iii. sen(2p - a ) = b) en función de cos a i. cos(p - a ) = ii. cos(p + a ) = iii. cos(2p - a ) = 3. Observando la circunferencia trigonométrica, completar la tabla. α sen α cos α
0
p
p
p
p
6
4
3
2
1 2
2 p 3
p
2 - p 3
7 p 6
13 p 2
7 p 4
3 2 2 2
tg α
4. Los cálculos que se piden son exactos (no aproximar). 2 a) Sabiendo que cos t = , decidir en qué cuadrante puede estar t y en cada caso calcular sen t y tg t . 5 1 b) Sabiendo que sen t = - y t está en el tercer cuadrante, calcular cos t y tg t . 3 1 c) Si a Î (p 2 ,p ) y cos a = - , calcular tg a + sen a . 4 3 d) Si α pertenece al primer cuadrante y cos a = , calcular cos(a - p ) y sen(p - a ) . 10 4 e) Si a Î 3º cuad . y tga = , calcular cos a y sen(a - p ). 3 1 f) Sabiendo que cos b = - y b es un ángulo del segundo cuadrante, calcular cos(b + p ) - sen 2 (b ) . 5 11p p ö æ 5p 4p ö æ 5. Calcular el valor exacto de la expresión ç cos + sen ÷ .ç tg - sen ÷. 6 3ø è 6 3 ø è Práctica 3
1
Trigonometría – Resolución de triángulos rectángulos.
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6. Encontrar todos los x Î [0,2p ) que verifican: a) sen x = 1 / 2 b) cos x = 0 e) tg x = 1
f) tg x = - 3
c) sen x = 1
d) cos x = 3
g) cos x = 3/2
h) cos x = -1
7. a) Hallar todos los x Î R que cumplen: ii. cos (4 x ) = 0
i. sen x = 0
iii. sen ( x - p / 4 ) = - 3 / 2
iv. 2 cos (2p x ) = -1
b) Encontrar tres soluciones distintas de: i. sen(2 x ) = 1 ii. cos(p x ) = 0 c) Hallar todos los x Î [0,3p ]
pö æ i. cos ç x + ÷ = -1 ii. 4sen (2 x - p ) = 2 2 3ø è d) Hallar todos los x Î [- p ,p ] i. tg (2 x ) = -1
ii. cos(3 x + p ) = - 3 / 2
8. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 2 sen 2 x - sen x - 3 = 0
b) cos 2 x - sen 2 x = -1
pö pö æ æ c) sen ç 2p x - ÷ = - cos ç 2p x - ÷ 2ø 2ø è è
d) cos 2 (2 x ) = 3 cos(2 x )
e) 2 sen 2 (3 x - p ) - sen(3 x - p ) = 0 9. Sabiendo que el triángulo dibujado es rectángulo, x calcular los valores exactos de x, cos b , sena , tgb y tga .
5
b
α 13
10. Calcular los valores exactos de los elementos indicados en los siguientes triángulos rectángulos y su perímetro y su área. a)
60º y
b)
x
x
α
c)
4
y
α 45º
α
b 8
6
x
3
11. La distancia entre los edificios A y B es de 120m. Si el edificio A mide 98m de altura y el ángulo de elevación desde el punto más alto del edificio A al punto más alto del edificio B es de 32º. Calcular, aproximadamente, la altura del edificio B.
32º A Práctica 3
B
120m 2
Trigonometría – Resolución de triángulos rectángulos.
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12. Hallar las medidas del lado x y del ángulo α.
A
a) Si además se sabe que la altura desde A es 5.
x 5 α
30º
B
C
20 A
b) 6
α
5 2
45º
B
C
x
Más ejercicios…
pö 1 pö æ æ 13. Hallar todos los ángulos x Î [0,2p ) , que verifican senç x + ÷ = - y cosç x + ÷ > 0 . 3ø 2 3ø è è 25p sea solución de la ecuación 3sen(2 x ) - k = 7 . 12 b) Con el valor de k hallado, resolver dicha ecuación.
14. a) Encontrar k Î R para que x =
é 3 ù 15. a) Hallar todos los x Î ê0, p ú que satisfacen 2 sen 2 x + cos 2 x = 1 + 3sen x . ë 2 û b) Hallar todos los x Î [- 2p ,3p ] que cumple 2sen 2 x + 3 cos x = 2 .
tg (a ) + cos(p - a ) , de acuerdo a los datos sen(a + p ) α del triángulo rectángulo dibujado.
2
16. Encontrar el valor exacto de
5
17. Determinar x en la siguiente figura: 81 60º
30º x
Respuestas 360o « 2p , 30o « p 6 , 180o « p , 60o « p 3, 90o « p 2, 1. a) 120o « 2p 3, 45o « p 4, 75o « 5p 12, 240o « 4p 3 b)
p « 180o ,
2p « 360o ,
3p 2 « 270o ,
p 2 « 90o ,
p 5 « 36o ,
p 6 « 30o
2. a) i. sen(p - a ) = sen a b) i. cos(p - a ) = - cos a Práctica 3
4p « 720o ,
ii. sen(p + a ) = - sen a ii. cos(p + a ) = - cos a 3
iii. sen(2p - a ) = - sen a iii. cos(2p - a ) = cos a Trigonometría – Resolución de triángulos rectángulos.
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3.
p
p
p
p
6
4
3
2
0
1 2
2 2
3 2
cos α
1
3 2
2 2
1 2
tg α
0
3 3
1
α
0
sen α
3
p
2 p 3
1
0
3 2
0
–1
-
0
- 3
no existe
1 2
2 - p 3
-
3 2 1 2
3
7 p 6 -
-
13 p 2
1 2
1
3 2
0
3 3
no existe
7 p 4
-
2 2 2 2
–1
4. a) t puede estar en el primer o cuarto cuadrante. 21 21 Si t está en el 1er cuadrante Þ sen t = y tg t = 5 2 21 21 2 2 2 Si t está en el 1er cuadrante Þ sen t = y tg t = b) cos t = y tg t = 5 2 3 4 3 15 3 91 c) tg a + sen a = d) cos (a - p ) = y sen(p - a ) = 4 10 10 e) cos a = -3 / 5 y sen(p - a ) = 4 / 5 f) cos(a + p ) - sen 2 (a ) = -19 / 25
11p p ö æ 5p 4p ö æ 3 3 öæ 3 3ö 1 æ ÷ç ÷= 5. ç cos + sen ÷ . ç tg - sen + + ÷ = çç 6 3ø è 6 3 ø è 2 2 ÷øçè 3 2 ÷ø 2 è p 5p p 3p p 6. a) x = ó x = b) x = ó x = c) x = d) No existe x. 6 6 2 2 2 p 5p 2p 5p p 11p e) x = ó x = . f) x = . g) x = ó x = . h) x = p ó x= 4 4 3 3 6 6 p kp 7. a) i. x = kp , k Î Z . ii. x = + , k ÎZ . 8 4 19p 23p 1 2 iii. x = + 2 kp , k Î Z ó x = + 2 kp , k Î Z . iv. x = + k , k Î Z ó x = + k , k Î Z . 12 12 3 3 p 5p 9p 1 1 3 b) i. Por ejemplo: x = , x = y x= . ii. Por ejemplo: x = - , x = y x = . 4 9 4 2 2 2 2p 8p 5p 7p 13p 15p 21p 23p c) i. x = . ii. x = . ó x= , x= , x= , x= , x= ó x= 3 3 8 8 8 8 8 8 5p p 3p 7p d) i. x = . , x=- , x= ó x= 8 8 8 8 13p 11p p p 11p 13p ii. x = ,x=,x=- ,x= ,x= ó x= . 18 18 18 18 18 18 ì3 ü ì1 ü ì5 k ü 8. a) S = í p + 2kp , k Î Z ý b) S = í p + kp , k Î Z ý c) S = í + , k Î Z ý î2 þ î2 þ î8 2 þ kp 2kp 2kp ì1 ü ì p + kp ü ì 7 ü ì 11 ü d) S = í p + , k ÎZý e ) S = í , k Î Zý È í p + , k Î Zý È í p + , k Î Zý 2 3 3 î4 þ î 3 þ î 18 þ î 18 þ
9. x = 12 , cos b = 5 / 13 , sena = 5 / 13 , tgb = 12 / 5 y tga = 5 / 12 . Práctica 3
4
Trigonometría – Resolución de triángulos rectángulos.
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3 3 . 2 b) a = 45º , x = 2 2 , y = 2 2 , perímetro = 4 + 4 2 , área = 4 .
10. a) a = 30º , x = 2 3 , y = 3 , perímetro = 3 + 3 3 , área =
c) x = 10 , a @ 53º 7¢48¢¢
b @ 36º 52¢12¢¢
, perímetro = 24 , área = 24 .
11. Aproximadamente 173m. 12. a) x = 10 5 - 2 3 @ 12,39 , a @ 23º 48¢ b) x = 7 2 , a @ 98º 7¢48¢¢ 13. x =
3 p 2
p 5 11 b) S = ìí + kp , k Î Z üý È ìí p + kp , k Î Z üý 2 î 12 þ î 12 þ 1 1 3 5 ü ì 3 15. a) S = { 0, p } b) S = í - p , - p , p , p , p ý 2 2 2 2 þ î 2 14. a) k = -
2 21 tg (a ) + cos(p - a ) 11 21 5 16. = 21 = 2 sen(a + p ) 42 5 17. x = 54 3
Práctica 3
5
Trigonometría – Resolución de triángulos rectángulos.
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MATEMÁTICA – CPU Módulo 4 Vectores. 1. Sean u = (-1,3) , v = (2,-5) , w = (3,0) y t = (0,-2) . a) Graficar u , v, w y t . b) Calcular y graficar: 2 u + 2 (v - w) 3 c) En cada caso, hallar, si es posible, p, q Î R tales que:
i. - v
ii. 2u + v
iii. u - 2v + 3t
iv.
i. 3u - pv = (1, q + p ) iii. p w + ( q + 1) t = v - ( q - 1, 2q )
v. 2 ( v - 2t ) -
3 ( u + 3w ) 4
ii. pu - 3v = qw + (- p,2) iv. p u + q v = t
d) En cada caso, hallar s Î R 2 tal que: i. s - 2u = 3v
iii. 3u - 2 s = 3 ( s - 2u ) - w
ii. 2 s + u = v - 3w
2. Si u = (3,-4) , v = (- 3,0) y w = (5,1) , calcular la longitud de los vectores: a) u, v y w
b) u + v y u - w
c) 2u y - 3u
3. En cada caso, determinar todos los valores de k para que: a) u = 3 si u = (- 1, k ) b) v = 13 si v = (k - 3, 5)
c) w = 1 si w = k (- 4,3)
4. a) Graficar en el plano y decir qué figura geométrica representan. i. Todos los vectores de módulo 3. ii. Todos los vectores de longitud a lo sumo 3. b) Hallar todos los vectores de norma 2 que están sobre el eje y. 5. Dado v = (3,-4) , hallar: a) Un vector w con la misma dirección que v cuyo longitud sea el doble de la longitud de v. ¿Cuántos hay? b) Un vector u paralelo a v cuyo módulo sea 2 y tenga sentido opuesto a v. ¿Cuántos hay? 6. Si u = (3,-1), v = (0,2), w = (2,6) y t = (- 5,4) , a) calcular: i. u . v ii. u . w iii. w . t iv. u . (v - t ) b) Encontrar un vector s ¹ t que cumpla u . s = u . t .
v. u . v - u . t
7. a) Probar que los vectores i = (1,0 ) , j = (0,1) , llamados versores, tienen módulo 1 y son perpendiculares entre sí. Observar que cualquier vector ( a,b ) se puede expresar como combinación de los versores. O sea, ( a,b ) = ai + bj . b) Expresar los siguientes vectores de la forma ai + bj .
v = (1 2 ,3) , w = (- 2,0) y t = (0,3) . 8. Encontrar, analítica y gráficamente: a) Tres vectores perpendiculares a u = (3,-2) . ¿Cuántos hay? b) Un vector perpendicular a v = (-4,3) de módulo 2. ¿Cuántos hay? Módulo 4
1
Vectores
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9. Determinar a Î R para que u = (a + 3, 2a - 4) sea ortogonal a v = (4,-1) . 10. Graficar y averiguar el ángulo entre u y v en cada caso. a) u = (0,1) y v = (-2,2) b) u = i y v = -3i + 3 j d) u = ( 2 3 ,2) y v = ( 3 ,-1)
e) u = (2,-4) y v = ( -1,2)
c) u = 5i - 2 j y v = 2i + 5 j f) u = (3,1) y v = (- 3,2 )
11. Sean v = (2 ,-3) y w = (3,1) . a) Calcular las proyecciones ortogonales sobre los ejes coordenados de : i. v ii. 3w iii. v - w b) Calcular las proyecciones ortogonales de: i. v sobre w. ii. v sobre 2w. iii. 2v sobre w. iv. w sobre v. c) ¿Qué relación hay entre los vectores hallados en i. y ii.? ¿Podrías justificarlo geométricamente? d) Ídem c) para i. y iii. 12. En cada caso, encontrar las coordenadas de un vector que cumpla las siguientes condiciones: a) Forma un ángulo de 60° con el semieje positivo de las x (sentido antihorario) de módulo 3. b) Forma un ángulo de 150° con el semieje positivo de las x (sentido antihorario) de módulo 1/2. c) Forma un ángulo de 240° con el semieje positivo de las x (sentido antihorario) de módulo 2. d) ¿Qué relación hay entre los vectores hallados en a) y b)? e) ¿Y entre los hallados en a) y c)? 13. En cada caso, hallar a de manera que: a) v = (2, a ) forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 45°. b) w = (a - 2,3) forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 135°. c) s = a i - 3 j forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 210°. d) t = 3i + aj esté en el cuarto cuadrante y verifique t = 5 . 14. Determinar a y b para que u = (a ,b ) forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 180° y se cumpla que u = 7 . 15. a) Hallar un vector w del segundo cuadrante que sea paralelo al vector v = 2i - 2 j y su longitud sea la mitad que la de v. b) Calcular el módulo de w y el ángulo que forma con el semieje positivo de las x. c) Encontrar todos los vectores ortogonales a w de norma 1. 16. a) Determinar a para que el vector u = (3, a ) forme con el semieje positivo de las x un ángulo de 330°. b) Para el a encontrado, hallar b para que (b ,1) + u sea perpendicular a (- 2,6 ) . 17. a) Hallar b sabiendo que vector v = (1, b) está en el cuarto cuadrante y tiene módulo 2. b) Calcular el ángulo que forma el vector v con el semieje positivo de las x. c) Encontrar dos vectores perpendiculares a v, con sentidos opuestos y distintas longitudes. 18. Graficar los siguientes vectores de R 3 . u = (2,0,0) , v = (0,3,0) , w = (0,0,4) , p = (0,3,4) , q = (2,0,4) , r = (2,3,0) y s = (2,3,4) . 19. Sean u = (1,-2,0 ) , v = (2,3,-1) , w = (0,2,-4 ) y s = (2,1,7 ) . a) Calcular: i. u - v ii. 2u + 3w - s iii. 2(v - 2w) - 3(s + u ) b) Calcular los módulos de v, 3u y 2 w + s . c) Probar que: i. u ^ s ii. s ^ v iii. u y v no son paralelos. Módulo 4
2
Vectores
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Más ejercicios… 20. a) Hallar el vector v si se sabe que está en el segundo cuadrante, tiene norma 5 y su ordenada es 4. b) Hallar el vector w de norma 1 que forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las x . c) Teniendo en cuenta los vectores hallados. i. Determinar dos vectores s y t, de norma 1 y 3 respectivamente, ambos perpendiculares a v y con distintos sentidos. ii. Elegir c de manera que w + (0,c ) sea paralelo a v. 21. Dado v = 2i + 2 j , se pide: a) Calcular v , y el ángulo que forma v con el semieje positivo de las x. b) Dados w = a i - 4 j y t = -3 i + (b - 1) j , hallar a y b tal que w sea ortogonal a v, y t sea paralelo a v. 22. Dado v = -i - j . a) Calcular el módulo de v y el ángulo que forma con el semieje positivo de las x. b) Hallar un vector w de módulo 5, con igual dirección y distinto sentido que v. c) Hallar un vector s del cuarto cuadrante, perpendicular a v, de módulo menor que 1. 23. Dados los vectores v = 4i - 3 j y w = (- 1,-1) . a) Calcular el ángulo que forman v y w. b) Determinar el vector proyección ortogonal de v sobre w. c) Encontrar u , t Î R 2 tal que u y t sean ambos perpendiculares a w, además que u y t tengan distinto módulo e igual sentido. Respuestas 1. b) i. - v = (- 2,5)
iii. u - 2v + 3t = (- 5,7 )
ii. 2u + v = ( 0 ,1)
2 æ 8 ö u + 2(v - w) = ç - ,-8 ÷ 3 è 3 ø c) i. p = -2 , q = 1 ii. p = -13 / 3, q = -2 iv.
ii. s = (- 3,-4)
d) i. s = ( 4 , -9 )
3 ö (u + 3w) = æç - 2,- 17 ÷ 4 4 è ø iii. No existen p y q. iv. p = -4 , q = -2 æ 6 27 ö iii. s = ç - , ÷ è 5 5 ø v. 2(v - 2t ) -
2. a) u = 5, v = 3, w = 26 .
b) u + v = 4 , u - w = 29
3. a) k = - 8 ó k = 8 .
b) k = -9 ó k = 15 .
c) 2u = 10 , -3u = 15 . c) k = -
y
y
4
4. a) i.
4
ii.
3
1 1 ó k= . 5 5
3
2
2
1
1 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
4
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
2
3
4
-4
Una circunferencia de de radio 3 y centro el origen de coordenadas.
Un círculo de radio 3 y centro el origen de coordenadas.
b) (0,2) y (0,-2) . 5. a) Por ejemplo: w = (6,-8) . Hay dos (el otro posible es (- 6,8) ). b) u = (- 6 5 ,8 5) . Es el único. 6. a) i. u . v = -2 ii. u . w = 0 iii. w . t = 14 iv. u . (v - t ) = 17 v. u . v - u .t = 17 b) Por ejemplo, s = (1,22) . Módulo 4
3
Vectores
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7. b) v =
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1 i + 3 j , w = -2i y t = 3 j . 2
y
y
5
8. a) Por ejemplo: (2,3) , (- 2,-3) , (3,9 2) . Hay infinitos.
5
b) Por ejemplo: (6 5 ,8 5) . Hay dos, el otro es (- 6 5 , - 8 5) .
4 3 2 1 x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2
4 3 2 1 x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2
-3
-3
-4
-4
9. a) a = -8 10. a) 45° b) 135° c) 90° d) 60° e) 180° f) 127º 52´29´´ 11. a) i. proyejex (v ) = (2,0 ) , proyejey (v ) = (0 ,-3) ii. proyejex (3w) = (9 ,0 ) , proyejey (3w) = (0 ,3) iii. proyejex (v - w) = (- 1,0) , proyejey (v - w ) = (0,-4)
9ö æ9 3ö æ9 3ö æ9 3ö æ6 b) i. proyw (v ) = ç , ÷ ii. proy2 w (v ) = ç , ÷ iii. proyw (2v ) = ç , ÷ iv. proyv (w) = ç ,- ÷ 10 10 10 10 5 5 13 13 è ø è ø è ø è ø c) Son el iguales, porque estamos proyectando el mismo vector sobre la misma recta (la recta que contiene a w y 2w es la misma). d) proyw (2v ) = 2 proyw (v ) , lo podemos justificar utilizando el Teorema de Thales, o por triángulos semejantes. æ3 3 3ö æ 3 1ö ÷ 12. a) çç , b) çç , ÷÷ c) - 1,- 3 d) Son perpendiculares. e) Son paralelos. ÷ è2 2 ø è 4 4ø
(
)
13. a) a = 2 b) a = -1 c) a = -3 3 d) a = -4 14. a = -7 y b = 0 15. a) w = -i + j b) w = 2 y el ángulo es 135º. c) 1 2 ,1 2 y - 1
(
16. a) a = - 3
b) b = -3 3
17. a) b = - 3 b) 300º 19. a) i. u - v = (- 1,-5,1) b) v = 14 ,
3u = 3 5
( ) (
) (
2 ,- 1
)
2 .
)
c) Por ejemplo: 3,1 y - 2 3 , - 2 . ii. 2u + 3w - s = (0 ,1,-19) iii. 2(v - 2 w ) - 3(s + u ) = (- 5,1,-7 )
y
2w + s = 30 .
c) i. u . s = (1,-2,0)(. 2,1,7) = 2 - 2 + 0 = 0 ® u ^ s ii. s . v = (2,1,7 ) .(2,3,-1) = 4 + 3 - 7 = 0 ® s ^ v iii. Si u y v fueran paralelos existiría un número k tal que u = k .v . O sea, tendría que pasar que ì1 = 2k (1,-2,0) = k (2,3,-1) ® ïí- 2 = 3k de donde , por ejemplo, usando las dos últimas ecuaciones nos ï0 = -k î quedaría que 2 = 0 , lo que es absurdo. Por lo tanto, u y v no son paralelos. æ 2 2ö ÷ 20. a) v = (- 3, 4) b) w = çç , ÷ 2 2 è ø 7 2 æ 4 3ö æ 12 9 ö æ 4 3ö æ 12 9 ö c) i. s = ç , ÷ y t = ç - , - ÷ ó s = ç - ,- ÷ y t = ç , ÷ ii. c = 5 5 5 5 5 5 5 5 6 è ø è ø è ø è ø 21. a) v = 8 y el ángulo es 45º.
b) a = 4 y b = -2
5 5 1 1 i+ j c) Por ejemplo, s = ij. 2 2 2 2 2 2 æ1 1ö b) proyw (v ) = ç , ÷ c) Por ejemplo: u = (1,-1) y t = (2,-2) . è2 2ø
22. a) v = 2 b) w = 23. a) 98º 7´48´´ Módulo 4
4
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MATEMÁTICA – CPU MÓDULO 5 Problemas de aplicación. 1. ¿Cuántos centímetros mide el perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide el doble que el lado de un cuadrado de perímetro 16cm? 2. En un balneario, sobre la rambla se colocan postes cada 300m indicando las paradas de los colectivos. a) Si la rambla tiene 12km (12000m) de longitud y la primera parada está al inicio, ¿cuántos postes se necesitan? b) Se quiere poner tachos de basura a lo largo de la rambla, si se coloca uno en cada poste y 2 entre dos postes consecutivos, ¿cuántos tachos se necesitan? c) ¿A qué distancia estarán dos tachos consecutivos si la distancia entre ellos es siempre la misma? 3. Santiago está preparando su puesto para la feria de ciencias que se realizará en su escuela. Ha decidido poner como fachada un plancha de acrílico rectangular con un cuadrado cortado en el centro para atender a la gente. El lado menor mide 4m y el mayor el cuádruple de la mitad del otro. El perímetro del rectángulo es el doble del perímetro del cuadrado. a) Si quiere pegar una cinta alrededor del contorno de la fachada, ¿cuántos metros de cinta necesitará? El contorno de una figura es el conjunto de líneas que la limitan, tanto b) ¿Cuántos mP2 de acrílico utilizará para armar el frente? exterior como interiormente.
4. Gerardo, el dueño de una mueblería compra 6 docenas y media de sillas a $30 cada una. En el traslado 8 sillas se rayan, y las vende a $52 cada una. Como le gustaron mucho, Gerardo se llevó 4 para su casa. ¿A cuánto habrá vendido cada una de las sillas restantes si obtuvo una ganancia total de $2300? 5. Brenda y Juanita fueron a la librería. Brenda compró cuatro marcadores y dos carpetas y Juanita compró un cartucho de tinta. a) Brenda pagó por todo $34. Cada carpeta cuesta $5 más que cada marcador. ¿Cuál es el precio de cada carpeta? b) El cartucho que compró Juanita no le sirvió y volvió a cambiarlo. Agregó $5 y en su lugar llevó tres resmas de papel. El precio del cartucho supera al de cada resma en $25. ¿Cuánto pagó por cada resma? 6. ¿Cuál es el área de la figura coloreada si su perímetro es 86cm? 7 cm El perímetro de una figura es la longitud de su contorno.
8 cm
24 cm
7. Federico vendió 6 de sus cuadros más famosos. Cuando los puso a la venta deseaba obtener por cada uno la misma cantidad de dinero, pero la realidad superó sus expectativas, sólo 2 de los 6 cuadros los vendió al precio deseado, 3 los vendió al doble de lo esperado y al otro por $500 más. Si obtuvo en total $14000, ¿a cuánto vendió cada cuadro? Módulo 5
1
Probkemas de Aplicación
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8. En una ciudad hay 12 dentistas. Cada dentista atiende por lo menos a dos alumnos de una clase de 31 estudiantes y cada alumno es atendido por un único dentista. ¿Cuál es el mayor número de alumnos de esa clase que puede atender un único dentista? 9. En el dibujo están indicados los únicos caminos que comunican las casas de ocho amigos, Hugo, Pedro, Tamara, Roberta, Justino, Guido, Lautaro y María. La distancia entre las casas de Pedro y Roberta es la mitad que la distancia entre las de Guido y Lautaro. Tamara vive a la misma distancia de Pedro y de Roberta. a
P
H
T J
m
G
R 2b
M
L
a) En cada caso, marcar con una X la o las expresiones que te permiten calcular los recorridos pedidos. i. Entre la casa de Hugo y la de Justino. 2 (a + b) 2 a + b: 2 2a+b a + b: 2 ii. Entre la casa de Hugo y la de Tamara.
(a + b): 2
a + b: 2
a: 2 + b
a + b: 4
b) i. María sale de su casa y recorre a + 2m + 3b, ¿a quién va a visitar? ii. ¿Y si recorre 2(a + m) +3 b?
c) Si a < m, ¿quién vive más cerca de lo de Tamara; Guido o Hugo? d) Hugo recorre 360m para ir a lo de Guido y 320m para ir a lo de Justino. María vive a 300m de lo de Lautaro. ¿Cuántos metros recorre Roberta para ir a lo de Lautaro? 10. Los pasajeros de un vuelo procedente del exterior se trasladan al centro de la ciudad en distintos medios de locomoción. Los 3/5 del total lo hacen en microbuses, 1/4 del resto lo hace en taxi. a) ¿Qué parte del total tomó taxi? b) 30 de los pasajeros, que representan 1/8 del total, fueron en remís. ¿Cuántos pasajeros tomaron otros medios de locomoción? 11. Susana gastó en llamadas telefónicas de larga distancia $62,8. Hizo una llamada de 15 minutos a $1,2 el minuto, luego otra de 4 minutos, lo que le costó $3,2. También habló 8 minutos con su hermana, costándole el minuto la mitad que el anterior. El resto lo pagó por una llamada que le costó $1,6 cada minuto, ¿cuántos minutos duró esta llamada? 12. El tanque de nafta de un auto tiene una capacidad de 60 litros, pero sólo tiene lleno los 3/5 del mismo. El coche consume 2/3 de litro cada 15km. Si recorre 750km, ¿qué parte del tanque queda llena? Módulo 5
2
Probkemas de Aplicación
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
13. En el locutorio A la hora de internet cuesta $1,62 y cobran por fracción de 10 minutos. En el locutorio B cobran $1,50 la hora y se fracciona cada media hora. En un tercer locutorio (C) cobran $2,1 la hora y se factura por minutos utilizados. ¿Qué locutorio le conviene a Pedro si necesita comunicarse durante: a) 12 minutos? b) 30 minutos? c) 1 hora 45 minutos? 14. De los 900 aspirantes que se inscribieron para ingresar en el 2013 en las carreras de Ingeniería o Licenciaturas de la Escuela de Ciencia y Tecnología de la Universidad de San Martín, 720rindieron la prueba de admisión de Matemática, 600 la prueba de IEU y 120 no rindieron ninguna prueba. ¿Cuántos aspirantes rindieron ambas pruebas de admisión? 15. En la figura hay cuatro cuadrados cuyas dimensiones son las que muestra la figura.
1
a
7
a
3 7
a
5 7
a
a) ¿Qué parte del cuadrado grande es la zona sombreada? b) Si el lado del cuadrado es 7cm, i. ¿cuántos centímetros cuadrados es el área de la zona sombreada? ii. ¿cuántos centímetros es el perímetro de la zona sombreada? 16. Macarena está participando de un torneo de natación. Debe ganar por lo menos 4/7 de todas las competencias de las que ella participe para clasificar para las finales. De las 9 competencias que ya ha participado, sólo ganó la tercera parte. Si aún le falta competir en 5 eventos, ¿tiene alguna posibilidad de clasificar? ¿Por qué? 17. A Martina, Conrado y Damiana su papá los mandó a cortar el césped del jardín de su casa. Martina tarda 6 horas en cortarlo, Conrado demora 4 horas y Damiana lo hace en 3 horas. Si comienzan a cortarlo los tres a la vez, a) ¿qué parte del césped cortarán en una hora? b) ¿cuánto tiempo demorarán en cortarlo totalmente? 18. ¿Qué fracción representa los 3/5 de la parte sombreada del rectángulo PQRS?
Módulo 5
S
R
P
Q 3
Probkemas de Aplicación
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
19. La figura está formada por cuadrados superpuestos. El área de la parte rayada es 18cm2. ¿Cuál es el la longitud del contorno de la zona blanca?
20. Se tiene el siguiente registro del consumo eléctrico de determinados aparatos electrodomésticos: Artefactos encendidos
TV Microondas Equipo de música Heladera con freezer Computadora Video 2 lámparas 60 watts Lavarropas
Tiempo de uso
2 horas 1/2 hora 4 horas 6 horas 2 horas 3 horas 5 horas 1 hora
kWh consumidos
0,14 0,32 0,24 0,59 0,60 0,30 0,60 0,18
a) Marina calcula cuál es el consumo de algunos artefactos eléctricos en un día. El equipo de música lo tiene encendido durante 3 horas. La computadora la tiene encendida durante 5 horas, la heladera las 24 horas, 4 lámparas de 60 watts durante 8 horas. Si consumió 6,24 kWh, ¿cuántas horas tuvo prendida la TV? b) Si por cada 3,71 kWh gasta $0,43 incluyendo los cargos fijos e impuestos, ¿cuánto gastó por el encendido de los aparatos ese día? c) Si una familia consume 400kWh en un mes, ¿cuánto paga por mes? 21. La figura está formada por dos cuadrados y dos triángulos. El triángulo gris es equilátero. El área de cada cuadrado es 64cm2. ¿Cuál es perímetro de la figura?
22. El área de un cuadrado de lado a es 16cm2. ¿Cuántos cm2 es el área de un cuadrado de lado 2a? 23. En un triángulo uno de sus lados mide 7,2cm y la altura correspondiente 3,5cm. La medida de otro de sus lados es 8cm, ¿cuál es la medida de la altura correspondiente a este lado? 24. La guarda está formada por cuadrados y triángulos isósceles. El perímetro de cada cuadrado es 24cm y el perímetro de cada triángulo es 20,48cm. a) ¿Cuál es el perímetro de la guarda? b) ¿Cuál es el área de la guarda?
Módulo 5
4
Probkemas de Aplicación
ECyT – UNSAM
Matemática – CPU
25. La figura está formada por dos cuadrados congruentes. El perímetro de la figura es 42cm. M es el punto medio de AB . ¿Cuál es área de la figura? B
M A
26. La figura está formada por un rectángulo y cuatro triángulos equiláteros congruentes. El perímetro del rectángulo es 21cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
27. Lucas, Lautaro y Conrado asisten a un curso de cerámica. Al finalizar el mismo se hace una exposición de las piezas producidas por los alumnos. Conrado hizo dos piezas más que el doble de las que hizo Lautaro y Lucas cuatro más que Lautaro. Al transportar las piezas se le rompieron tres a Conrado y una a Lucas. Entre los tres expusieron 34 piezas. ¿Qué cantidad de piezas expuso cada uno? 28. En una sección de un banco, un cuarto de los empleados trabaja en cuentas corrientes, dos tercios del resto trabaja en cajas de ahorro y seis empleados lo hacen en atención al público. ¿Cuántos empleados trabajan en cajas de ahorro? 29. Talo, Jose y Manu realizaron unas láminas para un trabajo de ciencias naturales. Talo se sacó 1 punto más que Jose y 4 menos que Manu. La nota final del trabajo fue 6 y representa el promedio de las notas de cada uno. ¿Qué nota se sacó Jose? 30. Damiana tiene 11 años, su hermana 19 y su papá 47. a) ¿Cuántos años tendrá Damiana cuando su papá triplique la edad de Damiana? b) ¿Cuántos años tenía Damiana cuando su hermana triplicó su edad? 31. De los alumnos inscriptos para el primer año de la universidad de Ciudad Alta, la cuarta parte se inscribió en Ciencias Económicas, 50 menos de la mitad de los inscriptos lo hace para Ciencias Exactas y 250 para otras carreras. ¿Cuántos alumnos se inscribieron para primer año? Respuestas 4. $64 1. 24cm. 2. a) 41 b) 41 + 80 = 121 c) 100m 3. a) 36m b) 23m2 5. a) $9 b) $15 6. (192 – 28) cm2 = 164 cm2 7. $1500; $3000; $2000 8. 9 9. a) i. 2a+ b ii. a + b:2 b) i. Pedro ii. Hugo c) Hugo d) 290m 10. a) 1/10 b) 42 11. 24 minutos 12. 2/45 13. a) C b) B c) A 2 14. 540 aspirantes 15. a) 24/49 b) i. 32cm ii. 64cm 16. Debe ganar las 5 restantes (ganó 3; con las 5 carreras restantes ganadas pasaría a tener 8 de 14 o 4 de 7) 17. a) 3/4 b) 80 minutos o 4/3 de hora 18. 1/4 19. 6 2 1 + 2 cm 23. 3,15cm 20. a) 4 horas b) $0,72 c) $46,36 21. 53,86cm 22. 64cm2 2 2 24. a) 108,8cm b) 369cm 25. 72cm 26. 38,5cm 27. Lucas 11, Lautaro 8 y Conrado 15 28. 12 empleados 29. 4 30. a) 18 años b) 4 años 31. 800 alumnos
(
Módulo 5
5
)
Probkemas de Aplicación
Exámenes Tipo Nombre y apellido: ………………………………………...………..…………
Carrera: ………………………..
Observación: Los valores encontrados en cualquiera de los ejercicios deben ser utilizados en forma exacta, no aproximada. 1.
2.
De acuerdo al dibujo: a) Hallar la ecuación de la función cuadrática f si se sabe que V es su vértice. b) Si g es la función lineal graficada, escribir como un intervalo o unión de intervalos al conjunto {x ∈ R / f (x ) ≤ g ( x )}. c) Hallar analíticamente las coordenadas del punto P. Sea
f (x ) =
P V
2
-3
10 + 6 − 2x x+5
a) b) c)
Dar el dominio de f. Hallar el conjunto de positividad de f. Encontrar los valores de x tales que f ( x ) = 2
3.
Sea A un rectángulo cuya área es 100 cm2. Si uno de los lados del rectángulo mide b, calcular el perímetro de A.
4.
Encontrar el valor exacto de
5.
Sea
cos(π + β ) , de acuerdo a los datos del triángulo rectángulo dibujado. tg ( β )
3 β
v = (6, 8) .
7
u = 4 i − kj sea paralelo a v. b) Hallar un vector w en el 2º cuadrante tal que w ⊥ v y w = 2 . a) Determinar k para que el vector
Nombre y apellido: ………………………………………...………..…………
Carrera: ………………………..
Observación: Los valores encontrados en cualquiera de los ejercicios deben ser utilizados en forma exacta, no aproximada. 1.
De acuerdo al dibujo, hallar: a) La ecuación de la función lineal f . b) La ecuación de la función cuadrática g si se sabe que V es su vértice. c) Escribir como un intervalo o unión de intervalos al conjunto x ∈ R /
{
f 4
f ( x ) ≥ g ( x )} .
V -6
⎧ 3x − 5 si x ≤ 2 2. Sea f ( x ) = ⎨ si x > 2 ⎩x + 3
g
a) Graficar, indicando puntos de intersección con los ejes. b) Encontrar imagen de f y conjunto de positividad.
15 − − 9x 2 + 13 = a −1 + 2 . 2x
3.
Hallar todos los valores de a para los cuales x = 2 sea solución de la ecuación 3
4.
Juan cobra un salario que es un 25 % mayor que el de Pedro. Si la suma de los dos salarios es de $ 10800, ¿cuál es el salario de Pedro?
5.
Determinar x en la siguiente figura:
85 60º
(
)
Sea v = − 3,4 . a) Hallar un vector w, perpendicular a v de norma 6. Determinar c ∈ R para que t = v − 2 − 4, c sea paralelo a v.
6.
(
)
30º
x
Nombre y apellido: ………………………………………...………..…………
Carrera: ………………………..
Observación: Los valores encontrados en cualquiera de los ejercicios deben ser utilizados en forma exacta, no aproximada.
1. Hallar la ecuación de la función lineal que tenga por negatividad al intervalo (− 2,+∞ ) y cuyo gráfico sea perpendicular a la recta
2x − 3y = 2 . ⎧4 x − 1 ⎩− x − 2
2. Sea f ( x ) = ⎨
si x ≤ 1 si x>1
a) Graficar, indicando puntos de intersección con los ejes. b) Encontrar conjuntos de positividad, negatividad e imagen de f.
3. Encontrar la función cuadrática f cuyo gráfico pasa por el punto
Im f =[−2, +∞) .
4.
(x Hallar dominio y ceros de la función g ( x ) =
2
( 6,0) , el intervalo de crecimiento es (1, + ∞ ) e
)
− 25 8 − 2 x . 2 x+7
5. El perímetro de un rectángulo es 100 cm. Hallar el área del mismo si uno de los lados mide 20 cm. 6. Calcular los valores exactos del área y del perímetro del triángulo dibujado. 7. Sea el vector v = (− 2,3) . a) Determinar b ∈ R para que el vector
60º
4 3
w = 3 i + (b +1) j sea paralelo a v.
b) Hallar un vector u del segundo cuadrante, que tenga igual módulo que v y cuya proyección sobre el eje y sea
Nombre y apellido: ………………………………………...………..…………
5.
Carrera: ………………………..
Observación: Los valores encontrados en cualquiera de los ejercicios deben ser utilizados en forma exacta, no aproximada. 1.
2.
De acuerdo al dibujo: a) Hallar la ecuación de la recta r sabiendo que el área del triángulo sombreado es 16. b) Hallar la ecuación de la parábola si se sabe además que su eje de simetría es la recta x = 5 .
⎧-2 x − 1 ⎩ x−6
Sea f ( x ) = ⎨
si x ≤ 1 si x>1
c) Graficar, indicando puntos de intersección con los ejes. d) Encontrar conjunto de positividad e imagen de f. e) Escribir como un intervalo o unión de intervalos al conjunto 3.
Encontrar el valor exacto de
8
r
A = {x ∈ R / f ( x ) ≤ −4} .
tg (π − β ) , de acuerdo a los datos del triángulo rectángulo dibujado. cos(2π − β )
3
β
x−4 4. Hallar dominio de f ( x )= − 3 x+12+ . 2 x+7
7
5.
Una caja con base cuadrada tiene un volumen de 1000 cm3. Si la altura de la caja mide b cm, ¿cuánto mide un lado de la base?
6.
Dados los vectores
v = − 3 i + bj y w = a i + 4 j , determinar todos los a y b para que w esté en el 2º cuadrante, su módulo
sea 25 y el vector u = ( 4, − 1) + 2v sea perpendicular a w.
