FUNCIONES. ESTUDIO GENERAL Definición. Función real de variable real es una aplicación del conjunto de los números reales en sí mismo, de tal forma que a cada número real le hace corresponder otro número real. Al estar definida la función entre conjuntos numéricos, la relación entre elementos se puede establecer mediante una expresión. Según como sea esta expresión tendremos los distintos tipos de funciones: • Polinómicas • Racionales • Irracionales • Logarítmicas • Exponenciales • Trigonométricas La variable que representa a elementos pertenecientes al conjunto inicial se denomina variable independiente (x) y la variable que representa a los elementos del conjunto final se denomina variable dependiente (y) ó función (f(x)). Dominio. Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). Para calcular el dominio de una función se tendrá en cuenta el tipo de función del que se trate: (1) Función polinómica, su recorrido es todo R. (2) Cociente de polinomios, su dominio será todo R menos las raíces del denominador. (3) Raíces de funciones, el dominio será el conjunto de números que hace positivo el radicando. (4) Función logarítmica, solo existe para valores positivos. (5) Función exponencial, válida para todo R. Junto a estas restricciones, al calcular el dominio, tendremos en cuenta que el dominio de las funciones compuestas es la intersección de los dominios de las funciones por separado. Recorrido. Conjunto de valores que toma la función. Se puede calcular, calculando el dominio de la función inversa. Ceros. Valores finitos de x (xo) que hacen cero la función. Sí x = xo ⇒ y = 0. Polos. Valores finitos de x (xo) que hacen infinita la función(y). Sí x = xo ⇒ y = ∞. Para funciones racionales(cocientes de polinomios), los polos son la raíces de denominador, es decir los valores que lo anulan. SIMETRIA Función PAR – (SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE y) Cuando f (−x) =f (x) Función IMPAR – (SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN) Cuando f (−x) = −f (x) OPERACIONES SUMA: (f + g)(x) = f (x) + g (x) Propiedades: • Conmutativa • Asociativa • Elemento neutro. Función nula • Elemento opuesto. función opuesta PRODUCTO: (f ⋅ g)(x) = f (x) ⋅ g (x) Propiedades: • Conmutativa • Asociativa • Elemento neutro. Función unidad

• •

Elemento opuesto. Función inversa. Distributiva del producto respecto de la suma

COMPOSICIÓN: Si al valor x se le aplica la función f, se obtiene f(x). S ahora al valor f (x) se le aplica la función g se obtiene la g(f(x)). A la función que permite obtener el valor g(f(x)) a partir del valor de x se le denomina función compuesta (g compuesta de f ó f de g )

Propiedades • • •

(f ! g )( x ) ≠ (g ! f )(x ) excepto con la función identidad ó con su inversa (f ! g )−1 = g −1 ! f −1 f + (g ! h ) = f ! g + f ! h

INVERSA: Si la función f permite pasar del valor x al valor f(x), la inversa de la función f, f−1(x) permite calcular el valor de x conocida su imagen f(x)

Cálculo de la inversa 1. Se sustituye x por y e y por x 2. Se despeja y en función de x 3. Se sustituye y por f−1(x)