FUNCIONES ELEMENTALES Funciones polinómicas

Cúbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Propiedades generales • Dominio: R • Recorrido: R • Continua en todo R Sí a>0 la función puede presentar dos gráficas distintas una con dos extremos relativos (máximo, mínimo) y un punto de inflexión entre ambos ó una gráfica con un punto de inflexión, pero sin extremos relativos.

Lím f ( x ) = −∞

Lím f ( x ) = +∞

x → −∞

x →+∞

Sí a0 la función puede presentar dos gráficas distintas una con tres extremos relativos (mínimo, máximo, mínimo) y dos puntos de inflexión, otra con un mínimo y sin puntos de inflexión.

Lím f ( x ) = +∞

Lím f ( x ) = +∞

x → −∞

x →+∞

Recorrido [ yo ,+∞ ) Sí a 1.

Creciente Lím f ( x ) = 0 Lím f ( x ) = +∞

x → −∞

x →+∞

Sí 0 < a < 1.

Decreciente Lím f ( x ) = +∞ Lím f ( x ) = 0

x → −∞

x → +∞

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Logarítmica f(x) = Log a x Propiedades generales • Dominio (0 , +∞ ) • Recorrido R • Continua en todo su dominio de definición • Log a 1 = 0 ∀ a ≠ 0 Log a f + Log a g = Log a (f ⋅ g ) • •

f  Log a f − Log a g = Log a   g

• •

k ⋅ Log a f = Log a f k Log a f = Log a g ⇔ f = g

Sí a > 1.

Creciente Lím f ( x ) = −∞

x →0 +

Lím f ( x ) = +∞

x → +∞

Sí 0 < a < 1.

Decreciente Lím f ( x ) = +∞ Lím f ( x ) = −∞

x →0 +

x → +∞

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Trigonométricas f(x) = sen x Propiedades generales • Dominio R • Recorrido [−1 , 1] • Continua en todo R • Periódica T = 2π • Simétrica impar

f(x) = cos x Propiedades generales • Dominio R • Recorrido [−1 , 1] • Continua en todo R • Periódica T = 2π • Simétrica par

f(x) = tg x Propiedades generales • • • • • •

{

}

Dominio R − π + πK , ∀ K ∈ Z 2 Recorrido R Discontinua no evitable de salto infinito en x = π + πK : ∀ K ∈ Z 2 Periódica T = π Simétrica impar Asíntotas verticales en x = π + πK : ∀ K ∈ Z 2

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f(x) = arcsen x Propiedades generales • Dominio [−1, 1] • • •

 π π Recorrido − ,   2 2 Continua en su dominio de definición Simétrica impar

f(x) = arcos x Propiedades generales • Dominio [−1, 1] • Recorrido [0, π] • Continua en su dominio de definición • No tiene simétrica

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f(x) = arctg x Propiedades generales • Dominio R  π π • Recorrido − ,   2 2 • Continua • Simétrica impar

•

Sí x → −∞ : y = − π 2 Asíntotas horizontales:  π  Sí x → ∞ : y = 2

f(x) = | f (x) | (Valor absoluto).

− f (x ) f (x ) =   f (x )

Si f (x ) < 0 Si f (x ) ≥ 0

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Desplazamiento de funciones. Partiendo de una función elemental, se pueden hacer cambios en la expresión que supongan únicamente desplazamientos laterales o verticales.

Desplazamientos horizontales. Se producen cuando se hace el cambio de x por x ± a. •

Horizontal hacia la derecha.

•

Horizontal hacia la izquierda.

Desplazamientos verticales. Se producen cuando se suma o se resta una constante a la función. •

Vertical hacia arriba.

•

Vertical hacia abajo

.

8

Deformaciones. Las deformaciones se producen cuando se multiplica la función por un número. La deformación más clásica es cuando se multiplica por −1, la gráfica de la función gira en torno al eje OX.

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