Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Función afín Docente responsable: Fernando Aso Función afín. Ecuación explícita de la recta A la función polinómica de primer grado f ( x ) = ax + b , siendo a y b números reales, se la denomina función afín. Los coeficientes principal e independiente de la función reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente. Ecuación explícita de la recta: y = a x + b → ordenada al origen ↓

pendiente La representación gráfica de una función afín es una recta. • La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente (Δy ) y la variación de la variable independiente (Δx ) de cualquier punto de la misma. y − y1 Δy = a= 2 x2 − x1 Δx • La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y. f (0 ) = b

El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente, constante o decreciente.

A las funciones afines que pasan por el origen de coordenadas (0;0 ) , se las denomina funciones lineales. Representación gráfica de una función afín dada en forma explícita. Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen (b ) y, a partir de ella, representar el par de valores que forman la pendiente (a ) pensada como una fracción.

Perpendicularidad y paralelismo entre rectas. Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Función afín Docente responsable: Fernando Aso M : y = a1 x + b1 ∧ P : y = a2 x + b2 ∧ M // P ⇔ a1 = a2

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas. 1 S : y = a1 x + b1 ∧ N : y = a2 x + b2 ∧ S ⊥ N ⇔ a1 = − a2

Ejemplos: a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2;1) y es paralela a y = 5 x + 1 . ∧ y =1 ∧ x=2 a=5 y = ax + b ⇒ 1 = 5 ⋅ 2 + b ⇒ 1 = 10 + b ⇒ b = −9 y = 5x − 9 b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (− 1;3) y es perpendicular a y = −2 x + 4 . 1 x = −1 ∧ y=3 ∧ a= 2 1 1 7 y = ax + b ⇒ 3 = ⋅ (− 1) + b ⇒ 3 = − + b ⇒ b = 2 2 2 1 7 y = x+ 2 2 Ecuación segmentaria de la recta

Toda ecuación de la forma

x y + = 1 representa una recta en m n

forma segmentaria. Los denominadores m y n representan a la abscisa y a la ordenada el origen, respectivamente.

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Función afín Docente responsable: Fernando Aso Dada la recta y = 3x − 2 , para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria se produce de la siguiente manera: y = 3x − 2 ⇒ 3x − y = 2 3x − y 2 3x y x y = ⇒ + =1⇒ + =1 2 −2 2 2 2 −2 3 Para representar gráficamente una función afín en forma segmentaria se determinan sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma. Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma

Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente (a ) y un punto perteneciente a la misma ( x1; y1 ) . y − y1 = a ( x − x1 ) La ecuación explicita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3) es: y − 3 = 2(x − 1) ⇒ y − 3 = 2 x − 2 ⇒ y = 2 x − 2 + 3 ⇒ y = 2 x + 1 Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma

Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella ( x1; y1 ) y

( x2 ; y 2 )

y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es: y − y1 =

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ 2{; 1{ ⎟ y ⎜ 5{ ; 3{ ⎟ ⎜x y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ x2 y2 ⎠ 3 −1 (x − 2) ⇒ y − 1 = 2 (x − 2) ⇒ y − 1 = 2 x − 4 ⇒ y −1 = 3 3 3 5−2 2 1 2 4 y = x − +1 ⇒ y = x − 3 3 3 3