ELECTRONICA BASICA

... que la corriente en un circuito capacitivo puro está adelantada 90°. (π / 2) con respecto a la tensión. [ ]. ][][ . . ].[. 1 . 1. 1. ].[. 1 . 1. ]].[. ˆ. ˆ .ˆ sen.ˆ. : . 1. : V. A. segA.
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ELECTRONICA BASICA UNIDAD N°1

GENERACIÓN DE UNA TENSIÓN ALTERNA SENOIDAL Sabemos que una corriente continua (cd), tiene siempre un solo sentido, pero puede tener distintos valores absolutos. Se define una corriente alterna (ca) a aquella que puede cambiar de sentido, que toma valores de pico, un cierto numero de valores instantáneos y que además puede valer cero. En la técnica de las corrientes alternas, interesa la producción de una onda alterna senoidal pura. A continuación veremos como se puede generar una corriente alterna. De Física II sabemos que el valor de la fem inducida en un conductor al girar dentro de un campo magnético es proporcional a la densidad del campo, a la longitud útil del conductor dentro del campo, a la velocidad con que se mueve y que depende también de la posición en que se encuentre sobre la trayectoria circular, o sea proporcional al seno del ángulo α formado entre la dirección del campo y la dirección del movimiento.

S

α

e [V ] = B [G ].l [m].V [m / seg ]. sen α ..10 −8 e = E max . sen α N

Esta última ecuación nos da la forma general de una fem alterna. Mirando la fig., se observa que se genera una onda alterna completa al girar 360° el conductor, por lo tanto coincidente con el eje del tiempo se puede marcar ángulos. e Periodo = T

Amplitud

π

2

π 2π 3 2

t,α

π

Vemos que al tiempo T de duración de una onda le corresponde un ángulo de 2π, y para un tiempo t cualquiera le corresponde un ángulo α.

Se define la frecuencia como el numero de ciclos producidos en la unidad de tiempo : f =

1 T

⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ = [Herzio] = [Hz ] ⎣ seg ⎦

α = 2.π . f . t ; ω = 2.π . f ; α = ω .t ω : frecuencia angular Utilizando esta última equivalencia :

e = E max . sen ω t

Si esta fem se aplica a un circuito cerrado que tenga una resistencia, impulsará una corriente: i=

E max . sen ω t = I max . sen ω t R

Vemos que también es una senoide pero de diferente amplitud. A continuación diremos que dos o mas ondas están en fase cuando se hacen cero y adquieren el valor máximo en instantes iguales (Fig. 1)

FIG . 1



t,α

π

ϕ

i

FIG . 2

u



π

ϕ

t,α

Decimos que dos o mas ondas están desfasadas, cuando no se hacen cero ni adquieren los valores máximos al mismo tiempo. La Fig. 2 muestra una tensión u desfasada en adelanto un ángulo ϕ con respecto a la intensidad i. Decimos que la tensión esta adelantada con respecto a la intensidad, pues en el instante en que la intensidad recién comienza de cero, la tensión ya tiene un valor. El ángulo ϕ se llama ángulo de desfasaje y puede variar entre ± 90°

VALOR MEDIO DE UNA ONDA ALTERNA En una onda alterna pura el valor medio a lo largo del periodo completo es siempre nulo. Se toma como valor medio en alterna, el que corresponde a un medio periodo, es decir, durante el tiempo T/2, y para determinarlo se hace lo siguiente : el área encerrada bajo la curva entre 0 y π se hace igual al área de un rectángulo equivalente, cuya base sea π y cuya altura sea precisamente el valor medio buscado.

E max

Em

S = S

A través de cálculos matemáticos se calcula el área bajo la curva, lo que da :

S = 2.E max 2.E max = π .E m



Em =

2

π

.E max



E m = 0,6336.E max

VALOR EFICAZ DE UNA ONDA ALTERNA El valor eficaz, es el mas importante pues es el que indica la mayoría de los instrumentos de medida. Para su determinación se tiene en cuenta el efecto calórico producido por la corriente al circular por una resistencia R. Se define al valor eficaz de una corriente alterna como aquella intensidad de corriente que produce igual efecto calórico en una resistencia que una cierta corriente continua de valor I = cte.

I I ef = max 2

CIRCUITO RESISTIVO PURO Supongamos una tensión alterna cosenoidal aplicada a una resistencia R, la corriente que por ella circula también será cosenoidal. Si en todo instante se cumple la Ley de Ohm, la proporcionalidad entre tensión y corriente se cumple, ambas tienen la misma frecuencia y forma. v = Vˆ . cos ω .t Vˆ i = . cos ω .t R i = Iˆ. cos ω .t Vˆ Iˆ = R

v v R

i

i

ω. t

CIRCUITO INDUCTIVO PURO

v

i

Supongamos que una bobina como la de la fig. esta recorrida por una corriente de la forma : i = Iˆ. cos ω .t

L

v = −ω .L.Iˆ. sen ω .t

Se puede demostrar que la tensión inducida es de la forma : − sen α = cos(α + π 2 )

De trigonometría sabemos que : π

i = Iˆ. cos ω .t v = ω .L.Iˆ. cos (ω .t + π 2) v = Vˆ . cos (ω .t + π 2 )

2 i

Vˆ = ω .L.Iˆ = X L .Iˆ

v

Π

X L = reactancia inductiva ω. t

X L = ω .L = 2.π . f .L

[X L ] = ⎡⎢ 1 seg ⎤⎥.[Ω.seg ] = [Ω] ⎣



Vemos que la corriente en un circuito inductivo puro está atrasada 90° (π / 2) con respecto a la tensión.

Vˆ = X L . Iˆ



LEY DE OHM EN LA BOBINA

EJEMPLO : una tensión de la forma v = 10.sen 1000.t , aplicada a los bornes de una bobina de L = 2 [Hy].¿Cuánto vale i(t) ? Vimos que i (t) será de la forma :

i = Iˆ. sen (1000.t − π 2 )

Vˆ = 10 [V ] ; ω = 1000 10 1 Vˆ Iˆ = ; = = ω .L 1000.2 200

i (t ) =

1 . sen (1000.t − π 2) 200

CIRCUITO CAPACITIVO PURO De Física II sabemos que :

v

i=C I

ΔV Δt

C

Esto es válido para cualquier forma de onda. Supongamos ahora que el capacitor está recorrido por una corriente de la forma : i = Iˆ. cos ω .t Se puede demostrar que la tensión en bornes será de la forma :

v

i

Π ω. t

Iˆ v = Vˆ . sen ω .t ; Vˆ = ω .C ⎧ ⎪i = Iˆ. cos ω t ⎪⎪ ⎨ ⎪ ˆ ⎪v = I . sen ω .t ⎪⎩ ω .C

De acá vemos que la corriente en un circuito capacitivo puro está adelantada 90° (π / 2) con respecto a la tensión.

Reactancia capacitiva : X C =

1

ω .C

Ahora a la tensión la podemos escribir como : v = X .Iˆ. sen ω t = Vˆ .sem ω t C

Vˆ = X C .Iˆ ⎡1 [v] = [X C ].[ I ] = ⎢ ⎣ω



LEY DE OHM EN EL CAPACITOR

⎤ ⎡ ⎤⎡1⎤ ⎢ 1 ⎥.⎡ 1 ⎤.[ A] = [seg ].⎡ volt ⎤[ A] = [V ] I . .[ ] = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣ F ⎥⎦ ⎢1 ⎣ A.seg ⎦ ⎦ ⎣C ⎦ ⎢⎣ seg ⎥⎦

CIRCUITO R–L SERIE Una bobina real consta de una resistencia R en serie con una inductancia. La resistencia esta dada por el alambre de cobre con que esta constituida la bobina.

La tensión aplicada a los bornes de una bobina real se consume en una caída de tensión ohmica UR en fase con la corriente y una caída de tensión inductiva que está siempre adelantada 90° con respecto a la corriente.

i

L

R

i = Iˆ. sen ω t uR

u TOTAL = u = u R + u L u = Iˆ.R. sen ω t + Iˆ.ω .L. sen ( ω t + 90°)

uL

u = Iˆ.R. sen ω t + Iˆ.ω .L. cos ω t

u (t)

La suma de estas dos ondas sinusoidales es otra onda sinusoidal, de la misma frecuencia, con una cierta amplitud y un cierto ángulo de fase.

u = Uˆ . sen (ω t + ϕ ) Ahora nosotros debemos determinar cuanto vale û y cuanto vale ϕ (ángulo de la tensión con respecto a la corriente). Es evidente que ϕ debe estar comprendido entre 0 y 90°, ya que si L = 0, el circuito sería resistivo puro y ϕ = 0, o sea que la tensión estaría en fase con la corriente; y si R = 0, el circuito sería inductivo puro y ϕ = 90°, por lo que la tensión adelantaría 90° a la corriente. Se puede demostrar que la tensión vale :

ω .L ⎞ ⎛ u = Iˆ. R 2 + (ω .L )2 . sen⎜ ω t + tg −1 ⎟ R ⎠ ⎝ Si R = 0

→ u = Iˆ.ω .L.sen ( ω t + 90° )

Si L = 0

→ u = Iˆ.R.sen ( ωt )

Uˆ = Iˆ. R 2 + (ω .L )2

;

R 2 + (ω .L )2 = IMPEDANCIA Z

EJEMPLO : Dada la tensión u = 10.sen1000.t, aplicada a un circuito R-L, donde R = 1000 [Ω] y L = 2 [Hy], calcular la corriente i (t).

i (t)

X L = ω .L = 1000.2 = 2000 [Ω]

L

R

Z = R 2 + L2 = 1000 2 + 2000 2 = 10 3. 5

ϕ = tg −1 v (t)

XL 2000 = tg −1 = 63° R 1000

Vˆ 10 10 Iˆ = = 3 [ A] = [mA] R 10 . 5 5 10 i (t ) = . sen (1000.t − 65° ) 5

Diagrama Cartesiano

v uR

i

ω. t

uL

CIRCUITO R–C SERIE i

+

uR

-

+

uC

-

Dado :

i = Iˆ. sen ω t u = u R + uC

R

C v

u = Iˆ.R. sen ω t +

π Iˆ Iˆ . sen (ω t − ) = Iˆ.R. sen ω t − . cos ω t ω .C ω .C 2

Al igual que el caso anterior : u = Uˆ . sen (ω t − ϕ ) ( la tensión atrasa ) Donde : 2

⎛ 1 ⎞ Uˆ = Iˆ. R 2 + ⎜ ; ⎟ ⎝ ω .C ⎠ X 1 ϕ = tg −1 C = tg −1 ω .C.R R

2

⎛ 1 ⎞ R2 + ⎜ ⎟ = IMPEDANCIA Z ⎝ ω .C ⎠ 0 < ϕ < 90

2

1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 u = Iˆ. R2 + ⎜ ⎟ .sen⎜ ωt − tg ⎟ ω.C.R⎠ ⎝ ω.C ⎠ ⎝

Diagrama Cartesiano u = uR + uC

u

uC

ω. t

i

ϕ

uR

CIRCUITO R-L–C SERIE Si combinamos los tres elementos ( R, L, C ), el ángulo podrá estar comprendido entonces entre – 90° y + 90° .

uR i(t)

R

uL

uC

L

C

v (t) Dada : i = Iˆ . sen ω t u = u R + u L + uC Donde : u = Iˆ . R . sen ω t R

u L = Iˆ . X L . sen (ω t + π ) = Iˆ . X L . cos ω t = Iˆ .ω . L . cos ω t 2 1 . cos ω t u C = Iˆ . X C . sen (ω t − π ) = − Iˆ . X C . cos ω t = − Iˆ . 2 ω .C ⎡ ⎤ 1 ⎞ ⎛ u = Iˆ . ⎢ R . sen ω t + ⎜ ω . L − ⎟ . cos ω t ⎥ ω .C ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ Si : ω . L > Si : ω . L < Si : ω . L =

1

ω .C 1

ω .C 1 ω .C



prevalece

la bobina



prevalece

el capacitor



resistivo

puro ( resonancia

Ahora

u ( t ) será de la forma :

Donde

:

ˆ .sen ( ω t + ϕ ) u= U

1 Uˆ = Iˆ. R 2 + X 2 ; XT = ω .L − T ω .C

ϕ = tg

−1

ω .L −

)

( Reactancia total )

1

ω .C

R

Un curioso caso se presenta cuando :

R = 0 y ω .L =

1

ω .C

Uˆ Asi : Z = 0 → Iˆ = → ∞ Z

Ahora vamos a analizar dos casos : I- XL = XC ( el circuito se comporta como resistivo puro) EJEMPLO : Sea R = 10 [Ω] ; C = 100 [μF] ; L = 0,01 [Hy] ; u = 10.sen 1000.t ; i = ?

X L = ω .L = 1000.0,01 = 10 [Ω] XC =

1 1 = = 10 [Ω] ω .C 1000.100 −6

La corriente será de la forma : i = Iˆ. sen ( ω t + ϕ ) Uˆ 10 Donde : Iˆ = = = 1[ A] Z 10 2 + (10 − 10) 2

ϕ = tg −1

X L − XC 10 − 10 = tg −1 = 0° R 10

i = 1. sen 1000 t u R = i.R = 10. sen 1000 t u = Iˆ. X . cos ω t = 10. cos 1000 t L

L

u C = − Iˆ. X C . cos ω t = −10. cos 1000 t

uL + uC = 0



u = uR

uL

ω. t

uR i uC

II- XL > XC ( el circuito se comporta como óhmico – inductivo )

Sea R = 1000 [Ω] ; C = 1 [μF] ; L = 2 [Hy] ; u = 10.sen 1000.t ; i = ? X L = ω .L = 1000.2 = 2000 [Ω] XC =

1 1 = = 1000[Ω] ω .C 1000.10 −6

La corriente será de la forma : i = Iˆ. sen ( ω t − ϕ ) Uˆ Donde : Iˆ = = Z

ϕ = tg −1

i=

10 − 2 2

10 1000 2 + (2000 − 1000) 2

=

10 2 .1000

=

10 −2 2

[ A]

X L − XC 2000 − 1000 = tg −1 = 45° R 1000

. sen ( 1000 t − 45° )

u R = i.R = 1000

10 −2 2

. sen ( 1000 t − 45° ) =

10 2

. sen ( 1000 t − 45° )

20 u L = Iˆ. X L . sen (1000 t − 45° + 90° ) = . sen ( 1000 t + 45° ) 2 10 u C = Iˆ. X C . sen ( 1000 t − 45° − 90° ) = . sen ( 1000 t − 135° ) 2

uR + uL + uC = u