Pensamiento Analítico | Unidad 11

Cortes

Objetivos •  Conocer e identificar las secciones cónicas generadas al realizar cortes a los sólidos de revolución. •  Hallar el punto medio de una recta, partiendo del conocimiento que corta a un segmento en dos partes iguales. •  Calcular el valor del radio y del volumen de un cono recto que ha sido seccionado en n partes.

Introducción En esta unidad, compuesta prácticamente de cortes a sólidos de revolución, conocerás los tipos de cónicas que se generan a partir de dichos cortes. Estos pueden ser oblicuos, paralelos o perpendiculares a la base y, dependiendo de ello, generan diferentes figuras. Aprenderás también a calcular el punto medio de una recta en el plano cartesiano y con esto sabrás que este par de coordenadas corta al segmento de recta en dos partes exactamente iguales.

Desarrollo

Palabras clave

Realizar cortes a sólidos de revolución

• secciones cónicas

Ejemplo 1: Observa las figuras y contesta. ¿En cuál de las siguientes figuras se genera una hipérbola? b

c

d

a

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1

Respuesta: cuando un par de conos es cortado por un plano perpendicular a la base, genera otra sección cónica que recibe el nombre de hipérbola, la cual se caracteriza por ser una curva abierta de dos ramas. La respuesta correcta es la d.

Mitad de una línea recta Ejemplo 2: Un segmento de recta está formado por los puntos A ( 4, 6), B (2, 4), ¿cuál es el par de coordenadas que corta a este segmento de recta exactamente a la mitad?

Palabras clave • punto medio

B (2, 4)

X

A (4, 6)

A) PM (1, 1) B)     PM (1, 0) C) PM (0, 1) D) PM (0, 0)

Y

Respuesta: para cortar un segmento de recta exactamente a la mitad, utilizamos la fórmula x1  x2 y1  y2 4  2 2  2  1. del punto medio PMx  2 ; PMy  2  . Por tanto, PMx  2 6  4 2 PMy  2  2  1. El par de coordenadas que cortan exactamente a la mitad este segmento de recta es el PM (−1, −1). La respuesta correcta corresponde al inciso a.

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Consolidación En esta unidad estudiaste los temas relacionados con las secciones cónicas y el punto medio, es decir, aquel que corta una línea recta en dos partes exactamente iguales. En el ejercicio de cierre deberás encontrar el radio y el volumen en un cono recto que ha sido seccionado en n partes.

Identifica Traza

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

Selecciones cónicas Encuentra

Pensamiento analítico

Punto medio de una recta

Plano cartesiano

Conos truncados

Radio Volumen

Identifica Traza

Cierre Para finalizar, un ejercicio de esta unidad. Un cono recto tiene como radio en la base 6 cm y su altura es de 30 cm. Se pretende hacer cinco cortes paralelos a la base del cono, tal como se muestra en la figura. Con base en esta información, ¿cuál es el valor del volumen del cono que se genera en el tercer corte? Considera  = 3.14

5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm

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C1

A) 94.2 cm²

C2

B) 94.2 cm³

C3 C4

C) 141.3 cm²

C5 C6

D) 141.3 cm³

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Respuesta: se establecen proporciones correspondientes. Por ejemplo, para el primer corte, tenemos 5 cm de altura pero desconocemos el valor de su radio, así que lo comparamos con x 6 el cono original de 6 cm de radio y 30 cm de altura. Por lo tanto, 5  30  ; 30x  (5) (6); 30 30x  30; x  30  ; reducimos y el radio del primer corte, es decir, del primer cono es: x  1 cm. Hacemos el mismo procedimiento para el tercer corte, cuya altura es de 15 cm. x 6 90 Comparamos: 15  30  ; 30x  (15) (6); 30x  90; x  30  ; x  3 cm. La fórmula para en1 1 contrar el volumen de un cono recto es: V  r²h; V  5 r²h; V  3 (3.14) (3)² (15)  141.3 cm³. La respuesta correcta corresponde al inciso d.

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