APUNTES DE TOPOGRAFIA DE OBRAS

Carreteras. Paso 8. Replanteo de estacado del eje y cuerdas de curvas horizontales, identificando principio de curva y fin de curva. Paso 9. Obtener cotas tanto ...
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UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE GEOMENSURA          

APUNTES DE TOPOGRAFIA DE OBRAS Luis Fernández San Martin



I UNIDAD. OBRAS VIALES 1.1 Análisis matemático de la ecuación de las curvas y rectas Importante recordar algunos fundamentos matemáticos que ayudaran a una mejor comprensión de los elementos que conforman un camino, tales como curvas horizontales, verticales, y alineaciones rectas. 1.1.1 La línea recta Una línea recta, analíticamente, es una ecuación lineal de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación grafica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta. Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc. 1.1.1.1 Formas de la ecuación de la recta a) Punto-pendiente: La ecuación de la recta que pasa por un punto P1(x1,y1) y cuya pendiente sea m es

y-y1 = m(x-x1)

b) Pendiente-ordenada en el origen. La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje y en el punto (0,b), siendo b la ordenada en el origen es:

y = mx + b c) Cartesiana. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:

y-y1 = y1-y2 x-x1 x1-x2





d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen. La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados x e y en los puntos (a,0), siendo a la abcisa en el origen y (0,b), siendo b la ordenada en el origen, respectivamente, es:

x+y=1 a b e) General. Una ecuación lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma Ax + By +C = 0, donde A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita en esta forma es m = A y su ordenada en el origen b = C

B

B

f) Normal. Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0,0) y el ángulo que dicha perpendicular forma con el eje x. Sea AB la recta y ON la perpendicular desde el origen O a AB. La distancia p (parámetro) de O a AB se considera siempre positiva cualquiera que sea la posición de AB, es decir, para todos los valores del ángulo que la perpendicular forma con el semieje x positivo desde O a 360º. Sean (x1,y1) las coordenadas del punto C. En estas condiciones, x1=p*cos(), y1=p*sen(), y la pendiente de AB = 1/ tg  = - cotg  = - cos  / sen  Ejercicios 1.- Reducir a la forma normal la ecuaciones siguientes y hallar p y. a) 3x-4y-6=0 b) x+y+8=0 c)12x-5y=0 d) 4y-7=0 e) x+5=0

2.-Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (4.-2) y distan 2 unidades del origen. La forma normal de mx-y-(4m+2)=0 es mx-y-(4m+2) = 0 +-(m2 +1)





Luego, p = 4m + 2 = 2, o bien, (4m+2)2=4(m2+1). +-(m2 +1) Resolviendo, m=0,-4 3 Las ecuaciones pedidas son y+2=0, e y+2=-4 (x-4), o bien , 4x+3y-10=0 3 3.- Hallar las ecuaciones de las paralelas a la recta 12x-5y-15=0 que disten de ella 4 unidades. Sea P‟(x,y) un punto genérico cualquiera de la recta pedida. Entonces, 12x‟-5y‟-15=+-4 13 Simplificando y suprimiendo las primas, las ecuaciones pedidas son 12x-5y-67=0

y

12x-5y+37=0

4.- Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta 4x+y-1=0 que pase por el punto de intersección de 2x-5y+3=0 y x-3y-7=0. La pendiente de la recta 4x+y-1=0 es -4.Luego la pendiente de la recta pedida es 1/4. La ecuación del haz de las rectas que pasa por el punto de intersección de 2x-5y+3=0 y x-3y-7=0 es (1)

2x-5y+3+k(x-3y-7)=0,

o

bien,(2+k)x-(5+3k)y+(3-7k)=0

La pendiente de cada una de las rectas del haz es 2+k y la pendiente de la recta pedida es 1/4. 5+3k Por tanto

2+k = 1 , donde , k=-3 5+3k 4

Sustituyendo este valor de k = -3 en (1) resulta la ecuación pedida, x-4y24=0 5.-Hallar la ecuación de las rectas que pasan por los puntos: a) (2,-3) y (4,2) sol. 5x-2y-16=0 b) (-4,1) y (3,-5) sol. 6x+7y+17=0 c) (7,0) y (0,4) sol. 4x+7y-28=0 d) (0,0) y (5,-3) sol. 3x+5y=0 



1.1.2 La circunferencia Analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables. Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en determinadas condiciones. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio. 1.1.2.1 Ecuación de la circunferencia (x-h)2+(y-k)2 = r2 Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma x +y =r2. 2

2

Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo. x2+y2+Dx+Ey+F=0 Si escribimos esta ecuación de la forma x2+Dx+y2+Ey+F=0 y sumamos y restamos los términos que se indican para completar los cuadrados, se tiene, x2+DX+D2+y2+Ey+E2=D2+E2-F 4 4 4 4 o bien (x+D)2+(y+E)2=D2+E2-4F 2 2 4 El centro es el punto (-D,-E) y el radio r= 1( D2+E2-4F) 2 2 2 Si D2+E2-4F >0, la circunferencia es real. Si D2+E2-4F 200  curva a la derecha 



Formulas:

W = l - 200l, en valor absoluto. Tangente

T = R x Tg (W/2)

Bisectriz

S = (R x Sec (W/2)) – R

Ordenada media

M = R – (R x Cos (W/2))

Semi cuerda

c/2 = R x Sen (W/2)

Desarrollo

D = (  x R x W)/(200)

1.3.1 Replanteo de una curva circular La materialización de una curva circular en terreno, puede ser realizado mediante coordenadas rectangulares o polares, ya sea desde el vértice, desde el principio de curva o de otro punto que nos permita esta operación. Tratándose de un replanteo tradicional (ángulo y distancia), se instalara el instrumento en el PC, calando al vértice de la curva en cero grados. Desde este punto se generaran los ángulos de deflexión obtenidos con la siguiente fórmula:

Ang. de deflexión = Cm 1Recto = 31.83 * Cm R Donde Cm

:

1 Recto R

: :

Distancia recta desde V al punto establecido de la curva, respetando la distancia acumulativa en el sentido de avance del proyecto. equivalente al valor 100 tratándose ángulos centesimales. radio de la curva.





Ejemplo Se desea calcular los elementos de una curva que tiene como coordenadas. Pc(-4310.361 ; 12785.022) Fc(-5255.233 ; 13335.622) PI(-4756.285 ; 13105.819) R = 5700 m. Solución w = l212.22396 –200l T = R x Tg (/2) D = (2 x  x R x )/(400)

= 12.22396 = 549.326 = 1094.477

Deflexiones Cuerdas Acumulados 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1094.4770

Ang. Horizontales 0.2792 0.5584 0.8377 1.1169 1.3961 1.6753 1.9545 2.2338 2.5130 2.7922 3.0714 3.3506 3.6298 3.9091 4.1883 4.4675 4.7467 5.0259 5.3052 5.5844 5.8636 6.1120





Existen curvas circulares compuestas, formadas por dos o más curvas circulares, pero su uso es muy limitado, en la gran mayoría de los casos se utilizan en terrenos montañosos cuando se requiere que la carretera quede lo más ajustada posible a la forma del terreno, lo cual reduce el movimiento de tierra y por ende sus costos. También se pueden utilizar cuando existen limitaciones de libertad en el diseño, como, por ejemplo, en los accesos a puentes, en los pasos a desnivel y en las intersecciones. 1.3.2 Diagrama de curva peralte y bombeo 1.3.2.1 Definiciones Línea de Pendiente: Es aquella línea que pasa por dos puntos obligados del proyecto y conserva la pendiente uniforme especificada y que debe coincidir con el eje de la vía, éste no acepta cortes ni rellenos. En la figura, los puntos A y B se encuentran sobre dos curvas de nivel sucesivas, entonces la pendiente de la línea recta AB que los une es: Pendiente de AB = Tg  = DfnAB / DHAB

Peralte (P): Inclinación transversal de una calzada en todo su ancho, que orientada adecuadamente permite una marcha más cómoda a los vehículos. Compensa parte de la aceleración centrífuga quedando el saldo no compensado por cuenta de la fricción entre neumáticos y pavimento. Pendiente que toma el o las alas del camino para contrarrestar la fuerza centrifuga de un vehículo en desplazamiento por este.





Fig. Nº 5. Fuerzas que actúan sobre un móvil Si sobre una curva horizontal de radio "R" un vehículo circula a una velocidad constante "V", según la ecuación anterior, el peso "W" y la Fuerza centrífuga "F" son también constantes, pero sus componentes en las direcciones normal y paralela al pavimento varían según la inclinación que tenga la calzada. Bombeo (B): Es el equivalente a la combadura o convexidad que poseen los caminos para facilitar el escurrimiento de aguas de lluvia, en la zona norte generalmente es del 2%.

Fig. Nº 6. Bombeo





Pendiente Relativa de Borde (): Es la inclinación respecto de la horizontal que se produce en la vía que crece o decrece según el avance de una curva horizontal y que depende directamente del peralte y ancho de la vía en cada punto. Depende del ancho del camino, entre mas ancho existe mas pendiente relativa de borde, entre más pequeño el ancho, más pequeña es. Es la diferencia de nivel expresada en % desde que el camino se empieza a mover hasta lograr el peralte máximo, por el borde externo del camino. Es la pendiente que tiene el borde del camino en la transición, producto de pasar de bombeo al peralte máximo. Tipos de giro :

En el centro o eje de calzada. En los bordes, interno o externo.

Peralte Bombeo

Pendiente relativa de borde Fig. Nº 7. Peralte, bombeo y pendiente relativa





1.3.2.2 Diagrama de curvaturas Determina los puntos durante el trayecto donde comienzan o terminan curvas circulares con o sin enlaces, este diagrama es diseñado en el perfil longitudinal. En este diagrama se observa que:

Fig. Nº 8. Diagrama de curva PT FT L1

: : :

Principio de transición Fin de transición Distancia PT-PC y FC-FT

1.3.2.3 Diagrama de peralte y bombeo Este diagrama permite visualizar las variaciones de peralte y bombeo de cada uno de los lados de la vía. Para una determinada velocidad de diseño, están establecidas normas que permiten obtener los parámetros mínimos o máximos de peralte y otras aplicaciones.

Fig. Nº 9. Diagrama de peralte y bombeo





Para calcular estos valores se utilizan las siguientes fórmulas: L = n x a (P+B) %

(L) Distancia desde PT al punto donde se desarrolla el Peralte Máximo (Pmax)

L1 = n x a (0.7P+B) %

(L1) Distancia desde PT a PC. En este punto se desarrollará un 70% de Peralte.

L2 = n x a x B %

(L2) Distancia desde PT al punto donde el Peralte es igual a cero.

L3 = n x a ( 2B ) %

(L3)Distancia desde PT al punto donde el Peralte es igual al Bombeo.

Donde: a n 

: : :

Si x = L - L1

Ancho de la via Nº de vías Pendiente relativa de borde de la calzada y la curva es simétrica se cumple que:

L = D – 2x donde deberá respetarse la condición L  Vd/2 para una curva circular L axP axB

: : :

Tramo de la vía donde se desarrolla el Peralte máximo Diferencia de nivel desde el eje de la vía al peralte máximo Diferencia de nivel desde el eje de la vía al Bombeo

La pendiente relativa al borde se obtiene de tablas, establecidas las normas por el manual de carreteras. 1.3.2.4 Transición del peraltado Para pasar de una sección transversal con bombeo normal a otra con peralte, es necesario realizar un cambio de inclinación de calzada. Este cambio no puede realizarse bruscamente, sino gradualmente a lo largo de la vía entre este par de secciones. A este tramo de la vía se le llama Transición del peraltado, que comienza desde el Principio de Transición Hasta el Final de Transición pasando por la totalidad de la curva.





Fig. Nº 10. Transición del peraltado Los valores asociados al peralte dependen de la categoría de la vía, siendo menores aquellos correspondientes a las vías de menor velocidad de diseño. Los máximos tolerables son mayores para vías desplazadoras y troncales, aun cuando para las velocidades más bajas dentro del rango que les es propio se recomienda especialmente el uso de peralte máximo del 4%. En las autovías, más parecidas a las carreteras, se recomiendan peraltes máximos mayores -hasta el 8%- que es el correspondiente a carreteras y que se aplica también a las autopistas urbanas. Tabla 1.2. Peraltes Máximos CATEGORÍA Pmax Pmax Deseable Tolerabl e Locales 4% 4% Mixtas y Troncales 4% 6% Autovías 6% 8% Autopistas 8% 8%





1.3.2.5 Distancia en que el peralte es igual al bombeo Para determinar el peralte de una sección transversal (inclinación de la pista) en el sector correspondiente a los puntos que están comprendidos desde el principio de transición (PT) y el punto en que el peralte es igual al bombeo, se utiliza la siguiente fórmula:

P’ = ( 2 * b * X’ ) / d Siendo X‟ la distancia a la cual se quiere determinar el peralte. Esta va desde el PT en la dirección en que P = b. El valor obtenido (P‟), debe restarse al bombeo para obtener el peralte de la vía. Análogamente, se calcula el peralte correspondiente a los puntos que están comprendidos entre el punto en que P=b y el PC O FC

P’’ = [ (X’’ * ( P+ b )) – (b* L ) ] / L

Siendo X‟‟ la distancia a la cual se desea conocer el peralte. Esta va desde el PT en dirección del PC o desde FT en dirección FC. Estos valores se utilizan para dibujar el perfil tipo en el perfil transversal, de manera de determinar las cotas de los bordes y del eje del proyecto.

En la Fig. Nº 10, podemos observar los diagramas



Fig. Nº 11. Planta y perfil longitudinal, con diagrama de curva, peralte y bombeo

1.3.3 Secciones transversales A una carretera se pueden asociar secciones transversales que describen en un punto cualquiera de la vía, la inclinación que presenta tanto en sus tramos rectos como en las curvas. De esta forma el dibujo del perfil es la culminación del referido proceso de definición altimétrica y es recomendable que se realice en intervalos regulares del desarrollo de los ejes de replanteo y también en puntos donde la planta presente singularidades cuya definición ayude a clarificar sus complejidades.

Fig. Nº 12. Planta

Fig. Nº 13. Perfil transversal



1.3.4 Radios mínimos

MIXTAS TRONCALES EXPRESAS LOCALES

Al aplicar radios mínimos debe considerarse el papel que juega el ancho de calzada en la situación más desfavorable, que consiste en un vehículo transitando por una pista interior, la cual presentaría un radio de curvatura menor que el mínimo. Si la diferencia en cuestión supera el 10% del valor del radio de curvatura en el eje, conviene aumentar algo este último, sin reducir el peralte que le correspondía originalmente. Tabla 1.3. Radios Mínimos RADIOS MÍNIMOS SEGÚN V CATEGORÍA (Km/h CON EL Pmax DESEABLE ) Pmax=4% Pmax=4% Pmax=4% 20 8 25 15 30 23 35 34 40 47 44 45 64 60 50 86 79 55 109 100 60 135 124 65 167 152 70 204 184 168 75 247 222 202 80 280 252 230 85 335 300 271 90 376 336 304 95 418 374 339 100 464 415 375



1.3.5 Desarrollos mínimos Siempre que sea posible, se deberá evitar desarrollos demasiado cortos de la curva circular, ya sea que se trate de radios próximos a los mínimos o de deflexiones pequeñas. Los valores recomendables de dichos desarrollos se presentan en los cuadros que siguen. Tabla 1.4. Desarrollo Mínimo de Curvas Circulares (Cuando R » mín.) V (Km/h) 10 Dmin (m) 3

20 10

30 20

40 30

50 40

60 50

70 65

80 90

90 100 115 150

Tabla 1.5. Desarrollo Mínimo de Curvas Circulares (Cuando w > 6g) Dmín (m) V (Km/h) 10-35 40-60 70-90 100

2g 80 140 205 275

3g 75 125 190 250

4g 60 115 170 225

5g 50 100 150 200

6g 40 90 130 175

Cuando la deflexión es pequeña, es preciso utilizar radios amplios que tender a los valores de la primera tabla. 1.3.6 Pendiente relativa de borde Para producir un diagrama de peraltes hay que tener en cuenta que los bordes, al subir y bajar con respecto al eje de giro, lo hacen con una pendiente relativa a dicho eje, que en el diagrama de peraltes aparece como el ángulo que forman las líneas de borde con la horizontal, de acuerdo a una aproximación aceptable. Esta pendiente no puede ser muy grande, para evitar que se produzca un efecto dinámico desagradable (momento de vuelco) o un efecto antiestético, como resultado de acentuadas subidas y bajadas de los bordes de la calle. Los máximos recomendables y absolutos para la pendiente relativa de borde se tabulan en la tabla siguiente.



n 1 1,5 >2

Tabla 1.6. Pendiente relativa de borde TIPO DE SEGÚN EL Nº DE PISTAS PARA V (Km/h) MAXIMO 30 40 50 60 70 80 90 100 NORMAL 0,80 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 ABSOLUTO 1,80 1,50 1,20 1,00 0,80 0,70 0,60 0,50 NORMAL 1,20 1,05 0,95 0,90 0,80 0,75 0,65 0,60 ABSOLUTO 2,10 1,70 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 NORMAL 1,60 1,40 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 ABSOLUTO 2,50 2,00 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80

1.3.7 Enlace de curvas circulares Cuando se tengan dos curvas circulares sucesivas separadas por una alineación recta, dicha recta deberá tener una longitud mínima que depende de los sentidos de curvatura de ambos arcos circulares y de la velocidad de diseño. Si los sentidos de curvatura de los arcos circulares separados por recta son distintos y las inclinaciones transversales son también distintas -lo que ocurre cuando una de ellas o ambas consultan peraltes en vez de bombeo- el mínimo en cuestión será aquel que permita ejecutar la transición del peralte. Si las curvaturas son del mismo sentido, la longitud mínima de la recta intermedia será: L = (V-10) m Donde V es la velocidad de diseño desprovista de su dimensión (km/hr)



Fig. Nº 14. Curva y contra curva El problema de enlaces se genera básicamente cuando la distancia entre el Fin de la primera curva (FC1) y el Principio de la segunda curva (PC2), es menor que la distancia mínima que requiere cada curva para lograr su desarrollo ideal. 1.4 Análisis de peralte En este punto podemos preguntarnos dónde ejecutar la transición, tras lo cual tenemos tres posibilidades:   

En la recta (obligaría a tener una recta con inclinación transversal excesiva, incómoda y hasta peligrosa para vehículos altos si el peralte es considerable) En la curva (obligaría a tener parte de una curva con peralte insuficiente, más peligroso aún) Entre ambas (esta será la solución pues supone un compromiso adecuado entre las opciones anteriores)



Luego, la proporción del peralte que se debe desarrollar en la recta se tabula en la siguiente tabla: Proporción del Peralte Final a Desarrollar en Recta MÍNIMO NORMAL MAXIMO 0,5p 0,7p 0,8p El valor mínimo se usa cuando el tramo recto entre dos curvas de distintos sentido es breve. En este caso, puede ocurrir que no exista un tramo con bombeo, sino un punto con pendiente transversal nula, producto del paso de uno a otro peralte en forma continua. Los valores máximos pueden utilizarse cuando una curva circular tiene un desarrollo breve, ya que el peralte que le corresponde a dicha curva debe mantenerse al menos en una longitud igual a V/4 (m), que corresponde a una distancia (m) cercana a la recorrida en 1 seg. por el vehículo. Suponiendo que el problema se extiende al tramo recto, se opta por escoger el valor mínimo de factor para el peralte y se recalculan las distancias para el diagrama de la primera curva utilizando 0.5p, modificando así las longitudes. 1.4.1 Elección de un punto de enlace Si aún con las modificaciones realizadas al analizar el peralte, las curvas aun se cruzan, es necesario elegir un punto de enlace entre las dos curvas. El primero conocido es cuando el peralte es igual a cero, para el cual se recalculan las distancias a través de un factor F, de modo que: F=

 * Lr / (P1+ P2)*a

Lr: Distancia entre curvas

Este factor debe cumplir la condición 0.5