2 Elementos finitos ejercicio 1D - SRK Consulting

Dr. Alejo O. Sfriso. Universidad de Buenos Aires materias.fi.uba.ar/6408 [email protected] SRK Consulting (Argentina) latam.srk.com [email protected] AOSA.
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Introducción al método de los elementos finitos Ejercicio 1D

Dr. Alejo O. Sfriso Universidad de Buenos Aires SRK Consulting (Argentina) AOSA

materias.fi.uba.ar/6408 latam.srk.com www.aosa.com.ar

[email protected] [email protected] [email protected]

Ejercicio 1D: Corriente en un circuito Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

(3)

I2=0.1A

• La tensión es única en cada nodo (equivalente de compatibilidad) ΔV • Ley de Ohm I= R (relación constitutiva)

R6

R4

(2)

(5) R7

R1 (1)

• Ley de Kirchhoff (equilibrio) 2

R2

Hipótesis

(4)

R3

R5

R8

(6) V6=12V

∑I =0 (N)

(Oñate y Zárate 2000)

1

Ley de Ohm en elemento Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

(1)

(3)

(2) R1=10Ω

(2)

R2

(3)

I2=0.1A

R2=3Ω

(3)

R6

R4

(2)

(5) R7

(4) R1

R3=2Ω

(4)

(4)

R3

R5

(5) (1)

R4=7Ω

(5) ⎧ ⎪ I 6 ⎫⎪ 1 ⎡ 1 −1 ⎤ ⎪⎧ 12V ⎪⎫ ⎨ ⎬= ⎬ ⎢ ⎥⎨ R5 ⎣ −1 1 ⎦ ⎪ V5 ⎪ I ⎩ ⎭ ⎩⎪ 5 ⎪⎭

(6) R5=12Ω

(3)

(5) R6=5W

I=

(2)

(5)

⎧ I ΔV ⎪ i →⎨ R ⎪⎩ I j

(6)

R8

V6=12V

⎫ ⎧ ⎫ ⎪ 1 ⎡ 1 −1 ⎤ ⎪ Vi ⎪ ⎬= ⎢ ⎬ ⎥⎨ ⎪⎭ R ⎣ −1 1 ⎦ ⎪⎩ V j ⎪⎭

R7=4Ω

(1)

(6) R8=9Ω

3

(Oñate y Zárate 2000)

Ley de Kirchhoff en nodo Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

(3) R2

∑I =0→

I2=0.1A 1

(5)

R1

2 2 2 I1( ) + I 2( ) + I 7( ) = I 2

(3)

(3)

I 2 + I3 + I6 = 0

(1)

R5

R8

(6) V6=12V

4 4 I 3( ) + I 4( ) = 0

I 4( ) + I5( ) + I 6( ) + I 7( ) = 0 → 5

5

6 6 I5( ) + I8( ) = 0

4

R4

R7

I1( ) + I 6( ) = 0 (3)

R6

(2)

(N)

1

(4)

R3

5

5

V5 − V4 V5 − V6 V5 − V3 V5 − V2 + + + =0 R4 R5 R6 R7

(Oñate y Zárate 2000)

2

Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

Matriz de conductividad global ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ K=⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ −R 8 ⎩



1 R1

1 1 1 + + R1 R2 R7 −





1 R2

0

0

1 R2

0



1 R7

1 R3



1 R6



1 R4

1 1 1 + + R2 R3 R6

0



1 R3

1 R7



1 R6

0



1 1 + R3 R4 −

0

1 R4

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ (3) − R5 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ + R2 R5 R8 ⎪ ⎭ −

0

1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 −

0

1 R5

1 R8

I2=0.1A

(4)

R3 R6

R4

(2)

(5) R7

R1

R5

(1) 5

R8

(6) V6=12V

(Oñate y Zárate 2000)

Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

Sistema global de ecuaciones

6

K ⋅V = I ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ −R 8 ⎩



1 R1

1 1 1 + + R1 R2 R7 −



1 R2



0

0

1 R2

0



1 R7

1 R3



1 R6



1 R4

1 1 1 + + R2 R3 R6

0



1 R3

1 R7



1 R6

0

0



1 1 + R3 R4 −

1 R4 0

0

1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 −

1 R5

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬⎨ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ − ⎩ R5 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ + R5 R8 ⎪ ⎭ −

1 R8

V1 ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ V2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V3 ⎪ ⎪ ⎬= ⎨ V4 ⎪ ⎪ V5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V6 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

I1 ⎫ ⎪ I2 ⎪ ⎪ I3 ⎪ ⎬ I4 ⎪ I5 ⎪ ⎪ I6 ⎪ ⎭

(Oñate y Zárate 2000)

3

Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

Condiciones de borde K ⋅V = I ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ −R 8 ⎩



1 R1

1 1 1 + + R1 R2 R7 −



1 R2



0

0

1 R2

0



1 R7

1 R3



1 R6



1 R4

1 1 1 + + R2 R3 R6

0



1 R3

1 R7



1 R6

0



1 1 + R3 R4 −

0

1 R4

1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 −

0

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬⎨ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ − ⎩ R5 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ + R5 R8 ⎪ ⎭ −

0

1 R5

1 R8

⎫ ⎪ ⎧ 0 ⎫ V2 ⎪ ⎪ 0.1A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V3 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎬= ⎨ ⎬ V4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V5 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎩ 0 ⎭ 12V ⎪⎭ V1

7

(Oñate y Zárate 2000)

Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

Reducción de la matriz de conductividad

8

Se elimina la última fila y columna y se actualiza el vector de cargas ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ −R 8 ⎩



1 R1

1 1 1 + + R1 R2 R7 1 − R2





0

0

1 R2

0

1 1 1 + + R2 R3 R6

0



1 R3

1 R7



1 R6

0

0

1 − R3 1 1 + R3 R4 −

1 R4 0

0 −

1 R7

1 − R6 −

1 R4

1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 −

1 R5

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬⎨ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ − ⎩ R5 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ + R5 R8 ⎪ ⎭ −

1 R8

⎫ ⎧ V6 K 61 ⎪ V2 ⎪ ⎪ 0.1A ⎪ ⎪⎪ V3 ⎪ ⎪ 0 ⎬= ⎨ 0 V4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V5 ⎪ ⎪ V6 K 65 0 12V ⎪⎭ ⎪⎩ V1

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(Oñate y Zárate 2000)

4

Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

Reducción de la matriz de conductividad

9

Se elimina la última fila y columna y se actualiza el vector de cargas ⎧ 1 1 + ⎪ ⎪ R1 R8 ⎪ 1 ⎪ − R1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎨ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪⎩



1 R1

1 1 1 + + R1 R2 R7 −



1 R2



0

0

1 R2

0

1 1 1 + + R2 R3 R6

0



1 R3

1 R7



1 R6



1 R3

1 1 + R3 R4 −

1 R4

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪⎧ − R7 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ − ⎬⎨ R6 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 − ⎪⎪ R4 ⎪⎩ 1 1 1 1 ⎪ ⎪ + + + R4 R5 R6 R7 ⎪ ⎭ 0

K ⋅V = I

V1 ⎫ ⎧ V K ⎪ 6 61 V2 ⎪ ⎪⎪ 0.1A ⎪ ⎪ V3 ⎬ = ⎨ 0 ⎪ ⎪ 0 V4 ⎪ ⎪ V5 ⎪ ⎪⎩ V6 K 65 ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(Oñate y Zárate 2000)

Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

Solución del sistema

Se invierte la matriz de conductividad reducida y se calcula el sistema lineal ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ −1 V =K ⋅I → ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

V1 ⎫ ⎧ ⎪ 12.39V V2 ⎪ ⎪ 12.82V ⎪ ⎪⎪ V3 ⎬ = ⎨ 12.75V ⎪ ⎪ V4 ⎪ ⎪ 12.74V V5 ⎪ ⎩⎪ 12.68V ⎭

⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭

Con la ecuación eliminada se calcula I 6 = 0.1A 10

(Oñate y Zárate 2000)

5

Introducción elementos finitos - Ejercicio 1D

Ejercicio 1D: casos alternativos

Tomando como base el ejercicio resuelto, resolver: Cambia el vector de carga I3=0.1A

(3) R3 R2

R6

I3=0.1A

(3)

(5)

(5) R7

R1

R5

R8

R4

(2)

R7

(1)

(4)

R3 R2

R4

(2)

R1

11

(4)

Cambia la matriz de conductividad

(6) V6=12V

(1)

R5

R8

(6) V6=12V

(Oñate y Zárate 2000)

6