Integración por cambio de variable Consiste en cambiar la variable x por una expresión en función de otra variable de forma que la integral resultante sea más sencilla. Cuando se realiza el cambio de variable se debe cambiar también el diferencial.  x = ϕ( t )  f ( x )·dx =   = f (ϕ( t ) ) ⋅ ϕ' ( t )·dt dx = ϕ' ( t )·dt 

∫

∫

La función ϕ se debe elegir de tal manera, que el segundo miembro de la expresión anterior tome una forma más adecuada para la integración. Ejemplo:  x + 2 = t3    dx 3·t 2 ⋅ dt 3·t 2 = diferenciando = = ⋅ dt 3 3 1+ t 1+ 3 x + 2  2  1 t +  dx = 3·t ⋅ dt  Mediante el cambio de variable se consigue cambiar la expresión irracional por otra racional, más sencilla de integrar.

∫

∫

∫

Para resolver la integral racional se descompone la expresión en un cociente más resto dividido por divisor 3·t 2 3 = 3·t − 3 + 1+ t 1+ t sustituyendo en la integral 3·t 2 3  3t 2  − 3t + 3·Ln 1 + t + C ⋅ dt =  3·t − 3 +  ⋅ dt = 1+ t 1+ t  2  una vez resuelta la integral se deshace el cambio

∫

∫

x + 2 = t3 ⇒ t = 3 x + 2 dx

3

∫ 1 + 3 x + 2 = 2 ⋅3 (x + 2)

2

− 3 ⋅ 3 x + 2 + 3·Ln 1 + 3 x + 2 + C

Algunos cambios de variable típicos. •

En expresiones que contengan un radical de la forma

•

En expresiones que contengan radicales del tipo

n

f ( x ) un cambio típico seria f(x) = tn.

n

m f (x)

f (x) ,

, ... un cambio típico seria

m.c.m. de los índices

f(x)=t •

.

En expresiones de la forma

a 2 − x 2 el cambio seria x = a·sen t

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2  2 x = a ⋅ sent :  a − x = a − a sen t = a 1 − sen t = a cos t = a ⋅ cos t  dx = a ⋅ cos t ⋅ dt

•

En expresiones de la forma

x 2 − a 2 el cambio seria x = a·sec t

  1   x 2 − a 2 = a 2 ⋅ sec 2 t − a 2 = a 2  − 1 = a 2 tg 2 t = a ⋅ tg (t ) 2   cos t  x = a ⋅ sec t :  sen (t )  dx = a ⋅ ⋅ dt  cos 2 t 

•

En expresiones de la forma

x 2 + a 2 el cambio seria x = a·tg t

 2    x 2 + a 2 = a 2 ⋅ tg 2 t + a 2 = a 2  sen t + 1 = 2     cos t  x = a ⋅ tg(t ) :  dt  dx = a ⋅  cos 2 t 

a2 2

cos t

=

a = a ⋅ sec t cos t